钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷二十五
　　体部三
　　　各体形总论
　　　直线体

　　各体形总论
体之为形成于面面之相合为厚角故凡体形皆自
厚角所合而生面之所合不能成厚角则体亦不能
成形惟浑圆则无角然求积之法亦合众尖体而成
浑圆是虽无角而实赖于角也方体有正方斜方尖
方方环阳马堑堵之异圆体则有浑圆长圆尖圆之
殊至于各等面体惟成于三角四角五角之面而兼
尽乎方圆之理函于圆者其角切于球之外面函圆

者球之外面切于各面之中心而各体又有互相容
之妙因其各面皆等故其中心至每边之线皆同就
其各形而分视之则成各等边面形因其各形而细
剖之则成各同底尖体形然求积总以勾股为准则
盖体成于面面生于线理固然也有积求边则必以
方圆为比例是以边线等者体积不等如圆球径与
各等面体之一边俱设为一○○○则正方体积为
一○○○○○○○○○圆球体积为五二三五九
八七七五四面体积为一一七八五一一二九八面

体积为四七一四○四五二一十二面体积为七六

六三一一八九○三二十面体积为二一八一六九
四九六九此各形之体积皆以方积比例者也或以
圆球体积设为一○○○○○○○○○则圆球径
得一二四○小馀七○○九八如圆球径与各等面
体之一边俱设为一二四○小馀七○○九八则圆
球体积为一○○○○○○○○○正方体积为一
九○九八五九三一七四面体积为二二五○七九
○七七八面体积为九○○三一六三一七十二面

体积为一四六三五四七九○五一二十面体积为
四一六六七三○四六三此各形之体积皆以球积
比例者也盖因各形之边线相等体积不同故皆定
为体与体之比例也体积等者边线不等如圆球体
积与各等面体积俱设为一○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○○○○则正方体之
每边为一○○○○○○○○而圆球径为一二四
○七○○九八四面体之每边为二○三九六四八
九○八面体之每边为一二八四八九八二九十二

面体之每边为五○七二二二○七二十面体之每

边为七七一○二五三四此各形之边线皆以方边
比例者也或以圆球径设为一○○○○○○○○
则圆球体积为五二三五九八七七五五九八二九
八八七三○七一九二三如圆球体积与各等面体
积俱设为五二三五九八七七五五九八二九八八
七三○七一九二三则圆球径为一○○○○○○
○○正方体之每边为八○五九九五九七四面体
之每边为一六四三九四八八一八面体之每边为

一○三五六二二八五十二面体之每边为四○八
八一八九五二十面体之每边为六二一四四三三
二此各形之边线皆以球径比例者也盖因各形之
体积相等边线不同故皆定为线与线之比例也要
之边求积者亦皆本于勾股而积求边者一皆归之
正方此方所以为立法之原入算之本也

　　直线体
设如正方体每边二尺今将其积倍之问得方边几
　何
　　　　　法以每边二尺自乘再乘得八尺倍之
　　　　　得一十六尺开立方得二尺五寸一分
　　　　　有馀即所求之方边数也如图甲乙丙
　　　　　丁正方体每边二尺其体积八尺倍之
　　　　　得一十六尺即如戊己庚辛正方体积

　　　　　每边得二尺五寸一分有馀试于戊己
　　　　　庚辛正方体形内作甲乙丙丁正方体
　　　　　形则其外之戊己乙甲壬丁丙庚辛癸
　　　　　磬折体形即与甲乙丙丁正方体积相
　　　　　等也
设如正方体每边二尺今将其积八倍之问得方边
　几何
　　　　　法以每边二尺倍之得四尺即所求之
　　　　　方边数也如图甲乙丙丁正方体每边

　　　　　二尺其体积八尺八倍之得六十四尺

　　　　　即如戊己庚辛正方体积其每边得甲
　　　　　乙丙丁正方形每边之二倍是故不用
　　　　　八倍其积开立方止以每边二尺倍之
　　　　　而即得也此法盖因两体积之比例比
　　　　　之两界之比例为连比例隔二位相加
　　　　　之比例(见几何原本/十卷第四节)故戊己庚辛正方
　　　　　体积六十四尺与甲乙丙丁正方体积
　　　　　之八尺相比为八分之一而戊己庚辛

　　　　　正方边之四尺与甲乙丙丁正方边之
　　　　　二尺之比为二分之一夫六十四与三
　　　　　十二三十二与十六十六与八八与四
　　　　　四与二皆为二分之一之连比例而六
　　　　　十四与八之比其间隔三十二与十六
　　　　　之两位故为连比例隔二位相加之比
　　　　　例也
设如长方体长一尺二寸阔八寸高四寸今将其积
　倍之仍与原形为同式形问得长阔高各几何

　　　　　法以长一尺二寸自乘再乘得一尺七

　　　　　百二十八寸倍之得三尺四百五十六
　　　　　寸开立方得一尺五寸一分一釐有馀
　　　　　即所求之长既得长乃以原长一尺二
　　　　　寸为一率原阔八寸为二率今所得之
　　　　　长一尺五寸一分一釐有馀为三率求
　　　　　得四率一尺零七釐有馀即所求之阔
　　　　　也又以原长一尺二寸为一率原高四
　　　　　寸为二率今所得之长一尺五寸一分

　　　　　一釐有馀为三率求得四率五寸零三
　　　　　釐有馀即所求之高也或以阔八寸自
　　　　　乘再乘倍之开立方亦得一尺零七釐
　　　　　有馀为所求之阔以高四寸自乘再乘
　　　　　倍之开立方亦得五寸零三釐有馀为
　　　　　所求之高也如图甲乙丙丁长方体甲
　　　　　乙高四寸丁戊阔八寸甲戊长一尺二
　　　　　寸将其积倍之即如己庚辛壬长方体
　　　　　此两长方体积之比例即同于其相当

　　　　　二界各作两正方体积之比例(见几何/原本十)

　　　　　(卷第/五节)故依甲乙丙丁长方体之甲戊长
　　　　　界作甲戊丑子正方体将其积倍之即
　　　　　如己庚辛壬长方体之己癸长界所作
　　　　　之己癸卯寅正方体故开立方得己癸
　　　　　为所求之长也既得己癸之长则以甲
　　　　　戊与丁戊之比即同于己癸与壬癸之
　　　　　比得壬癸为所求之阔又甲戊与甲乙
　　　　　之比同于己癸与己庚之比得己庚为

　　　　　所求之高也若以原阔自乘再乘倍之
　　　　　开立方亦得一尺零七釐有馀为今所
　　　　　求之阔原高自乘再乘倍之开立方亦
　　　　　得五寸零三釐有馀为今所求之高皆
　　　　　如以其相当二界各作正方体互相为
　　　　　比之理也
设如长方体长一尺二寸阔八寸高四寸今将其积
　八倍之仍与原形为同式形问得长阔高各几何
　　　　　法以长一尺二寸倍之得二尺四寸即

　　　　　所求之长又以原阔八寸倍之得一尺

　　　　　六寸即所求之阔又以原高四寸倍之
　　　　　得八寸即所求之高也如图甲乙丙丁
　　　　　长方体甲乙高四寸丁戊阔八寸甲戊
　　　　　长一尺二寸将其积八倍之即如巳庚
　　　　　辛壬长方体其每边得甲乙丙丁长方
　　　　　体每边之二倍是故不用八倍其积开
　　　　　立方止以各边之数倍之而即得也此
　　　　　法盖因两长方体之比例既同于其相

　　　　　当二界各作正方体之比例而两正方
　　　　　体之比例比之二界之比例为连比例
　　　　　隔二位相加之比例故两长方体积之
　　　　　比例较之两体各界之比例亦为连比
　　　　　例隔二位相加之比例也
设如堑堵体形阔五尺长十二尺高七尺问积几何
　　　　　法以阔五尺与长十二尺相乘得六十
　　　　　尺又以高七尺再乘得四百二十尺折
　　　　　半得二百一十尺即堑堵体形之积也

　　　　　盖堑堵体形即平行二勾股面之三棱

　　　　　长体如甲乙丙丁戊己堑堵体形其两
　　　　　端之二面皆为勾股形一为甲乙丙一
　　　　　为丁戊己俱平行以乙丙阔与丙丁长
　　　　　相乘成乙丙丁己长方面形又以甲乙
　　　　　高再乘成甲乙丙丁庚戊长方体形凡
　　　　　平行面之长方体自其一面之对角线
　　　　　平分为两三棱体此两三棱体之积相
　　　　　等(见几何原本五/卷第十七节)夫一长方体所分两

　　　　　三棱体之积既相等则三棱体积必为
　　　　　长方体积之一半故将所得之甲乙丙
　　　　　丁庚戊长方体积折半即得甲乙丙丁
　　　　　戊己堑堵体形之积也
　　　　　又法以阔五尺与高七尺相乘得三十
　　　　　五尺折半得一十七尺五寸与长十二
　　　　　尺相乘得二百一十尺即堑堵体形之
　　　　　积也如甲乙丙丁戊己堑堵体形以甲
　　　　　乙高与乙丙阔相乘折半得甲乙丙一

　　　　　勾股面积又与丙丁长相乘即得甲乙

　　　　　丙丁戊己堑堵体形之积也
设如刍荛体形阔四尺长十二尺高四尺问积几何
　　　　　法以阔四尺与长十二尺相乘得四十
　　　　　八尺又与高四尺相乘得一百九十二
　　　　　尺折半得九十六尺即刍荛体形之积
　　　　　也盖刍荛体形即平行两三角面之三
　　　　　棱长体(有直角为堑堵体/无直角为刍荛体)如甲乙丙丁
　　　　　戊己刍荛体形其两端之二面皆为三

　　　　　角形一为甲乙丙一为丁戊巳俱平行
　　　　　以乙丙阔与丙丁长相乘成乙丙丁已
　　　　　长方面形又以甲庚高再乘成辛乙丙
　　　　　丁壬癸长方体形凡平行面之三棱体
　　　　　积为平行面方体积之一半(见几何原/本五卷第)
　　　　　(二十/节)故将所得之辛乙丙丁壬癸长方
　　　　　体积折半即得甲乙丙丁戊己刍荛体
　　　　　形之积也
　　　　　又法以阔四尺与高四尺相乘得一十

　　　　　六尺折半得八尺与长十二尺相乘得

　　　　　九十六尺即刍荛体形之积也如甲乙
　　　　　丙丁戊己刍荛体形以乙丙阔与甲庚
　　　　　高相乘折半得甲乙丙三角形面积又
　　　　　与丙丁长相乘即得甲乙丙丁戊己刍
　　　　　荛体形之积也
设如方底尖体形底方每边五尺自尖至四角之斜
　线皆六尺问自尖至底中立垂线之高几何
　　　　　法以底方每边五尺求对角斜线法求

　　　　　得底方对角斜线七尺零七分一釐零
　　　　　六丝有馀折半得三尺五寸三分五釐
　　　　　五豪三丝有馀为勾以自尖至四角之
　　　　　斜线六尺为弦用勾弦求股法求得股
　　　　　四尺八寸四分七釐六豪八丝有馀即
　　　　　自尖至底中立垂线之高数也如图甲
　　　　　乙丙丁戊方底尖体形先求得乙丙丁
　　　　　戊底方面之乙丁对角斜线折半于己
　　　　　得乙巳为勾以自尖至角之甲乙斜线

　　　　　为弦求得甲己股即自尖至底中立垂

　　　　　线之高也
　　　　　又法以底方每边五尺为平面三角形
　　　　　之底以自尖至四角之斜线六尺为两
　　　　　腰用平面三角形求中垂线法求得一
　　　　　面中垂线五尺四寸五分四釐三豪五
　　　　　丝为弦以底方每边五尺折半得二尺
　　　　　五寸为勾求得股四尺八寸四分七釐
　　　　　六豪七丝有馀即自尖至底中立垂线

　　　　　之高数也如图甲乙丙丁戊尖方体其
　　　　　四面皆为平面三角形一为甲乙丙一
　　　　　为甲丙丁一为甲丁戊一为甲戊乙任
　　　　　以甲乙丙三角形之乙丙为底以甲乙
　　　　　甲丙为两腰求得甲庚中垂线而以此
　　　　　甲庚为弦底边折半得庚己为勾求得
　　　　　甲己股即自尖至底中立垂线之高也
设如方底尖体形底方每边六尺高三尺问积几何
　　　　　法以下方每边六尺自乘得三十六尺

　　　　　又以高三尺再乘得一百零八尺三归

　　　　　之得三十六尺即方底尖体形之积也
　　　　　如甲乙丙丁戊方底尖体形以乙丙一
　　　　　边自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲
　　　　　己高再乘得庚乙丁辛扁方体形此扁
　　　　　方体与尖方体之底面积等其高又等
　　　　　故庚乙丁辛一扁方体之积与甲乙丙
　　　　　丁戊尖方体三形之积等(见几何原本/五卷第二十)
　　　　　(三/节)试将甲己高倍之得壬己与乙丙丁

　　　　　戊底面积相乘得癸乙丁子正方体形
　　　　　此正方体之乙丙丁戊子寅癸丑癸乙
　　　　　丙丑戊丁子寅乙戊寅癸丙丁子丑六
　　　　　方面皆与尖方体之底面积等又自甲
　　　　　心依各棱至各角剖之则成甲乙丙丁
　　　　　戊甲子寅癸丑甲癸乙丙丑甲戊丁子
　　　　　寅甲乙戊寅癸甲丙丁子丑六尖方体
　　　　　此每一尖方体俱为倍高正方体之六
　　　　　分之一既为倍高正方体之六分之一

　　　　　则必为同高扁方体之三分之一故将

　　　　　所得庚乙丁辛之同高方体积三分之
　　　　　而得甲乙丙丁戊尖方体之积也
设如阳马体形底方每边六尺高亦六尺问积几何
　　　　　法以底方每边六尺自乘得三十六尺
　　　　　又以高六尺再乘得二百一十六尺三
　　　　　归之得七十二尺即阳马体形之积也
　　　　　如甲乙丙丁戊阳马体形以乙丙一边
　　　　　自乘得乙丙丁戊正方面形又以甲丁

　　　　　高再乘得己乙丁甲正方体形此己乙
　　　　　丁甲一正方体之积与甲乙丙丁戊阳
　　　　　马体三形之积等故三分之即得阳马
　　　　　体之积也此阳马体与尖方体形虽不
　　　　　同而法则一盖尖方体形尖在正中阳
　　　　　马体形尖在一隅然大凡体形其底面
　　　　　积等高度又等则其体积亦必相等(见/几)
　　　　　(何原本二卷/第二十二节)故今阳马体之乙丙丁戊
　　　　　底面积即如尖方体之底其甲丁高度

　　　　　即如尖方体之高度故形虽不同而积

　　　　　则一也
设如鳖臑体形长与阔俱四尺高九尺问积几何
　　　　　法以长与阔四尺自乘得十六尺以高
　　　　　九尺再乘得一百四十四尺六归之得
　　　　　二十四尺即鳖臑体形之积也盖鳖臑
　　　　　体即勾股面之尖体如甲乙丙丁鳖臑
　　　　　体形以丁丙长与乙丙阔相乘成乙丙
　　　　　丁戊正方面形以甲丁高再乘成甲庚

　　　　　戊乙丙己长方体形此一长方体之积
　　　　　与甲戊乙丙丁阳马体三形之积等而
　　　　　甲乙丙丁鳖臑体之积又为甲戊乙丙
　　　　　丁阳马体积之一半盖各类尖体其底
　　　　　面积等其高又等则其体积亦等(见几/何原)
　　　　　(本二卷第/二十二节)今甲乙丙丁鳖臑体之乙丙
　　　　　丁底积为甲戊乙丙丁阳马体之乙丙
　　　　　丁戊底面积之一半则甲乙丙丁鳖臑
　　　　　体积亦必为甲戊乙丙丁阳马体积之

　　　　　一半鳖臑体既为阳马体之一半而阳

　　　　　马体又为长方体之三分之一则鳖臑
　　　　　体必为长方体之六分之一故将所得
　　　　　甲庚戊乙丙己长方体积六分之即得
　　　　　甲乙丙丁鳖臑体之积也又凡正方体
　　　　　或长方体按法剖之即成堑堵阳马鳖
　　　　　臑各体而自得其相比之率也如图甲
　　　　　乙丙丁戊己正方体自其庚乙一面对
　　　　　角线至对面戊辛对角斜线平分之即

　　　　　得甲乙辛戊己与庚乙丙丁戊二堑堵
　　　　　体又将庚乙丙丁戊堑堵体自其上棱
　　　　　戊角至乙对角依乙丙下棱斜剖之则
　　　　　得戊乙丙丁辛一阳马体乙丙戊庚一
　　　　　鳖臑体又将戊乙丙丁辛阳马体自其
　　　　　戊乙相对斜棱平分之则得戊乙丁辛
　　　　　与戊乙丙丁二鳖臑体夫一正方体剖
　　　　　之得二堑堵体是堑堵体为正方体二
　　　　　分之一也一堑堵体剖之得一阳马体

　　　　　一鳖臑体而一阳马体剖之又得二鳖

　　　　　臑体是阳马体为堑堵体之三分之二
　　　　　即为正方体之三分之一而鳖臑体为
　　　　　堑堵体之三分之一即为正方体之六
　　　　　分之一也
设如上下不等正方体形上方每边四尺下方每边
　六尺高八尺问积几何
　　　　　法以上方每边四尺自乘得一十六尺
　　　　　下方每边六尺自乘得三十六尺又以

　　　　　上方每边四尺与下方每边六尺相乘
　　　　　得二十四尺三数相并得七十六尺与
　　　　　高八尺相乘得六百零八尺三归之得
　　　　　二百零二尺六百六十六寸有馀即上
　　　　　下不等正方体形之积也如甲乙丙丁
　　　　　上下不等正方体形戊丁上方边自乘
　　　　　得甲戊丁己正方面形庚丙下方边自
　　　　　乘得乙庚丙辛正方面形戊丁上方边
　　　　　与庚丙下方边相乘得壬癸子丑长方

　　　　　面形将此三方面形相并与高八尺相

　　　　　乘得三长方体形其一上下方面俱如
　　　　　甲戊丁己其一上下方面俱如乙庚丙
　　　　　辛其一上下方面俱如壬癸子丑盖乙
　　　　　庚丙辛长方体比甲戊丁己长方体多
　　　　　壬癸戊甲戊寅卯丁己丁子丑辰甲已
　　　　　巳四方廉体又多乙壬甲辰癸庚寅戊
　　　　　丁卯丙子已已丑辛四长廉体而壬癸
　　　　　子丑长方体比甲戊丁巳长方体多壬

　　　　　癸戊甲巳丁子丑二方廉体若将共多
　　　　　之六方廉体四长廉体俱截去则此三
　　　　　长方体之上下方面必皆如甲戊丁己
　　　　　乃以每一方廉体变为二堑堵体每一
　　　　　长廉体变为三阳马体共得十二堑堵
　　　　　体十二阳马体将甲戊丁已类三长方
　　　　　体各加四堑堵体四阳马体则皆成上
　　　　　下不等三正方体故三归之而得甲乙
　　　　　丙丁上下不等一正方体形之积也

　　　　　又法以上方边四尺与下方边六尺相

　　　　　减馀二尺折半得一尺为一率高八尺
　　　　　为二率下方边六尺折半得三尺为三
　　　　　率求得四率二十四尺为上下不等正
　　　　　方体形上补成一尖方体之共高乃以
　　　　　下方边六尺自乘得三十六尺与所得
　　　　　共高二十四尺相乘得八百六十四尺
　　　　　三归之得二百八十八尺为大尖方体
　　　　　之积又以高八尺与共高二十四尺相

　　　　　减馀十六尺为上小尖方体之高以上
　　　　　方边四尺自乘得十六尺与上高十六
　　　　　尺相乘得二百五十六尺三归之得八
　　　　　十五尺三百三十三寸有馀为上小尖
　　　　　方体之积与大尖方体积二百八十八
　　　　　尺相减馀二百零二尺六百六十六寸
　　　　　有馀即上下不等正方体形之积也如
　　　　　甲乙丙丁上下不等正方体形加戊甲
　　　　　丁小尖方体形遂成戊乙丙大尖方体

　　　　　形先以上方边与丁方边相减折半如

　　　　　巳庚下方边折半如己辛依勾股比例
　　　　　巳庚与壬庚之比即同于己辛与戊辛
　　　　　之比以戊辛与乙丙下方面相乘三归
　　　　　之得戊乙丙大尖方体积以戊癸与甲
　　　　　丁上方面相乘三归之得戊甲丁小尖
　　　　　方体积于戊乙丙大尖方体积内减去
　　　　　戊甲丁小尖方体积所馀必甲乙丙丁
　　　　　上下不等正方体形之积也

设如上下不等长方体形上方长四尺阔三尺下方
　长八尺阔六尺高十尺问积几何
　　　　　法以上长四尺与上阔三尺相乘得十
　　　　　二尺倍之得二十四尺下长八尺与下
　　　　　阔六尺相乘得四十八尺倍之得九十
　　　　　六尺又以上阔三尺与下长八尺相乘
　　　　　得二十四尺以下阔六尺与上长四尺
　　　　　相乘得二十四尺四数相并得一百六
　　　　　十八尺与高十尺相乘得一千六百八

　　　　　十尺六归之得二百八十尺即上下不

　　　　　等长方体形之积也如甲乙丙丁上下
　　　　　不等长方体形戊丁上长与甲戊上阔
　　　　　相乘得一甲戊丁庚长方面形倍之得
　　　　　二甲戊丁庚长方面形已丙下长与乙
　　　　　己下阔相乘得一乙己丙辛长方面形
　　　　　倍之得二乙己丙辛长方面形甲戊上
　　　　　阔与已丙下长相乘得一壬癸子丑长
　　　　　方面形乙己下阔与戊丁上长相乘得

　　　　　一寅卯辰巳长方面形将此六长方面
　　　　　形相并与高十尺相乘得六长方体形
　　　　　其二上下方面俱如甲戊丁庚其二上
　　　　　下方面俱如乙己丙辛其一上下方面
　　　　　俱如壬癸子丑其一上下方面俱如寅
　　　　　卯辰巳盖二乙己丙辛长方体比二甲
　　　　　戊丁庚长方体为多二壬癸戊甲二戊
　　　　　卯辰丁二庚丁子丑二寅甲庚己八方
　　　　　廉体又多二乙壬甲寅二癸巳卯戊二

　　　　　丁辰丙子二巳庚丑辛八长廉体而一

　　　　　壬癸子丑长方体比一甲戊丁庚长方
　　　　　体多一壬癸戊甲一庚丁子丑二方廉
　　　　　体而一寅卯辰巳长方体比一甲戊丁
　　　　　庚长方体多一寅甲庚巳一戊卯辰丁
　　　　　二方廉体若将共多之十二方廉体八
　　　　　长廉体俱截去则此六长方体之上下
　　　　　方面必皆如甲戊丁庚乃以每一方廉
　　　　　体变为二堑堵体每一长廉体变为三

　　　　　阳马体共得二十四堑堵体二十四阳
　　　　　马体将六长方体各加四堑堵体四阳
　　　　　马体则皆成上下不等六长方体故六
　　　　　归之而得甲乙丙丁上下不等长方体
　　　　　形之积也
　　　　　又法以上长四尺倍之得八尺加下长
　　　　　八尺共十六尺与上阔三尺相乘得四
　　　　　十八尺又以下长八尺倍之得十六尺
　　　　　加上长四尺得二十尺与下阔六尺相

　　　　　乘得一百二十尺两数相并得一百六

　　　　　十八尺与高十尺相乘得一千六百八
　　　　　十尺六归之得二百八十尺即上下不
　　　　　等长方体形之积也此法与前法同此
　　　　　法之以上长倍之加下长与上阔相乘
　　　　　之数即前法之上长上阔相乘倍之又
　　　　　加上阔与下长相乘之数也又此法之
　　　　　以下长倍之加上长与下阔相乘之数
　　　　　即前法之下长下阔相乘倍之又加下

　　　　　阔与上长相乘之数也图解并同
　　　　　又法以上长四尺与上阔三尺相乘得
　　　　　十二尺下长八尺与下阔六尺相乘得
　　　　　四十八尺又以上长四尺与下阔六尺
　　　　　相乘下长八尺与上阔三尺相乘共得
　　　　　四十八尺折半得二十四尺三数相并
　　　　　得八十四尺与高十尺相乘得八百四
　　　　　十尺三归之得二百八十尺亦即上下
　　　　　不等长方体形之积也盖此法与上下

　　　　　不等正方体求积之法同但正方体上

　　　　　下俱系正方面故止用上下方边各自
　　　　　乘上方边与下方边相乘此则上下方
　　　　　面各有长阔既用上方长阔相乘下方
　　　　　长阔相乘又必以上长乘下阔下长乘
　　　　　上阔相加折半以取中数乃可相并而
　　　　　与高数相乘三归之而得体积也
　　　　　又法以上长四尺与下长八尺相减馀
　　　　　四尺折半得二尺为一率高十尺为二

　　　　　率下长八尺折半得四尺为三率求得
　　　　　四率二十尺为上下不等长方体形上
　　　　　补成一尖长方体之共高乃以下长八
　　　　　尺与下阔六尺相乘得四十八尺与所
　　　　　得共高二十尺相乘得九百六十尺三
　　　　　归之得三百二十尺为大尖长方体之
　　　　　积又以高十尺与共高二十尺相减馀
　　　　　十尺为上小尖长方体之高以上长四
　　　　　尺与上阔三尺相乘得十二尺与上高

　　　　　十尺相乘得一百二十尺三归之得四

　　　　　十尺为上小尖长方体之积与大尖长
　　　　　方体积三百二十尺相减馀二百八十
　　　　　尺即上下不等长方体形之积也如甲
　　　　　乙丙丁上下不等长方体形加戊甲丁
　　　　　小尖长方体形遂成戊乙丙大尖长方
　　　　　体形先以上长与下长相减折半如己
　　　　　庚以下长折半如己辛依勾股比例己
　　　　　庚与壬庚之比即同于己辛与戊辛之

　　　　　比以戊辛与乙丙下长方面相乘三归
　　　　　之得戊乙丙大尖长方体积以戊癸与
　　　　　甲丁上长方面相乘三归之得戊甲丁
　　　　　小尖长方体积于戊乙丙大尖体积内
　　　　　减去戊甲丁小尖体积所馀必甲乙丙
　　　　　丁上下不等长方体形之积也
设如上下不等刍荛体形上长十尺下长十四尺下
　阔五尺高十二尺问积几何
　　　　　法以上长十尺与下阔五尺相乘得五

　　　　　十尺以高十二尺再乘得六百尺折半

　　　　　得三百尺为上下相等刍荛体积又以
　　　　　上长十尺与下长十四尺相减馀四尺
　　　　　与下阔五尺相乘得二十尺以高十二
　　　　　尺再乘得二百四十尺三归之得八十
　　　　　尺与先所得上下相等刍荛体积三百
　　　　　尺相并得三百八十尺即上下不等刍
　　　　　荛体之积也如甲乙丙丁戊上下不等
　　　　　刍荛体形自其上棱之甲戊两端直剖

　　　　　之则分为甲己辛壬戊一刍荛体甲乙
　　　　　丙辛与戊庚壬丁二尖方体故以与上
　　　　　长相等之己庚与己辛阔(与乙/丙等)相乘即
　　　　　得己辛壬庚刍荛体之底面积与甲癸
　　　　　高相乘折半得甲己辛壬戊刍荛体积
　　　　　又以甲戊上长与丙丁下长相减所馀
　　　　　丙辛壬丁二段即二尖方体之共长与
　　　　　乙丙阔相乘得乙辛与庚丁二尖方体
　　　　　之底面积与高相乘三归之即得甲乙

　　　　　丙辛与戊庚壬丁二尖方体积与甲己

　　　　　辛壬戊一刍荛积相加即得甲乙丙丁
　　　　　戊一上下不等刍荛体之总积也
设如两两平行边斜长方体形长二尺四寸阔八寸
　高三尺七寸问积几何
　　　　　法以长二尺四寸与阔八寸相乘得一
　　　　　尺九十二寸又以高三尺七寸再乘得
　　　　　七尺一百零四寸即两两平行边斜长
　　　　　方体形之积也如图甲乙丙丁戊己斜

　　　　　长方体形以乙丙阔与丙丁长相乘得
　　　　　乙丙丁庚长方面积以戊丙高再乘成
　　　　　己乙丙丁辛壬长方体凡平行平面之
　　　　　间所有立于等积底之各平行体其积
　　　　　必俱相等(见几何原本五/卷第十九节)故甲乙丙丁
　　　　　戊己斜倚之长方体必与己乙丙丁辛
　　　　　壬正立之长方体为相等也
设如空心正方体积一千二百一十六寸厚二寸问
　内外方边各几何

　　　　　法以厚二寸自乘再乘得八寸八因之

　　　　　得六十四寸与共积一千二百一十六
　　　　　寸相减馀一千一百五十二寸六归之
　　　　　得一百九十二寸用厚二寸除之得九
　　　　　十六寸为内方边与外方边相乘长方
　　　　　面积乃以厚二寸倍之得四寸为长阔
　　　　　之较用带纵较数开平方法算之得阔
　　　　　八寸即内方边得长一尺二寸即外方
　　　　　边也如图甲乙丙丁戊己庚辛空心正

　　　　　方体其甲丑即空心正方体之厚以之
　　　　　自乘再乘八因之得壬辛子癸类八小
　　　　　隅体与空心正方体相减则馀空心正
　　　　　方体之六面丑寅巳子类六长方扁体
　　　　　六归之得丑寅巳子一长方扁体用厚
　　　　　二寸除之得丑寅卯辰一长方面积其
　　　　　丑寅阔与戊己等即内方边其丑辰长
　　　　　与甲乙等即外方边其丑戊辛辰皆与
　　　　　甲丑厚度等丑戊辛辰并之即长阔之

　　　　　较故以厚二寸倍之为带纵求得阔为

　　　　　内方边长为外方边也
　　　　　又法以厚二寸倍之得四寸为内方边
　　　　　与外方边之较自乘再乘得六十四寸
　　　　　与空心正方体积一千二百一十六寸
　　　　　相减馀一千一百五十二寸三归之得
　　　　　三百八十四寸以内外方边之较四寸
　　　　　除之得九十六寸为长方面积以内外
　　　　　方边之较四寸为长阔之较用带纵较

　　　　　数开平方法算之得阔八寸即内方边
　　　　　加较四寸得一尺二寸即外方边也如
　　　　　图甲乙丙丁戊己庚辛空心正方体以
　　　　　戊己庚辛空心小正方形移置乙角之
　　　　　一隅则空心正方体变为甲戊辛庚丙
　　　　　丁壬磬折体形其甲戊即磬折体之厚
　　　　　为甲乙外方边与戊己内方边之较依
　　　　　开立方次商法分之得癸子丑三方廉
　　　　　体寅卯辰三长廉体巳一小隅体以甲

　　　　　戊厚度自乘再乘得巳一小隅体与共

　　　　　积相减馀三方廉体三长廉体三归之
　　　　　则馀癸一方廉体寅一长廉体共成午
　　　　　甲乙庚未申一扁方体其午甲厚与甲
　　　　　戊等以午甲厚除午甲乙庚未申扁方
　　　　　体则得甲乙庚未之长方面形甲戊即
　　　　　长阔之较故用带纵较数开平方法算
　　　　　之得乙庚阔与戊乙等即空心方体之
　　　　　内方边以甲戊与戊乙相加得甲乙即

　　　　　空心方体之外方边也
设如大小两正方体大正方体比小正方体每边多
　四寸积多二千三百六十八寸问大小两正方边
　各几何
　　　　　法以大正方边比小正方边所多之较
　　　　　四寸自乘再乘得六十四寸与大正方
　　　　　体比小正方体所多之积二千三百六
　　　　　十八寸相减馀二千三百零四寸三归
　　　　　之得七百六十八寸以边较四寸除之

　　　　　得一百九十二寸为长方面积乃以边

　　　　　较四尺为长阔之较用带纵较数开平
　　　　　方法算之得阔十二尺即小正方之边
　　　　　数加较四尺得十六尺即大正方之边
　　　　　数也如图甲乙丙丁一大正方体戊己
　　　　　庚辛一小正方体试于甲乙丙丁大正
　　　　　方体减去戊己庚辛小正方体馀壬甲
　　　　　戊辛庚丙丁三面磬折体形即大正方
　　　　　积比小正方积所多之较甲戊为磬折

　　　　　体之厚即大正方边比小正方边所多
　　　　　之较此三面磬折体形依开立方次商
　　　　　法分之则得癸子丑三方廉体寅卯辰
　　　　　三长廉体巳一小隅体以甲戊边较自
　　　　　乘再乘得巳一小隅体与磬折体积相
　　　　　减馀三方廉体三长廉体三归之则得
　　　　　癸一方廉体寅一长廉体共成午甲乙
　　　　　庚未申一扁方体其午甲厚与甲戊等
　　　　　以午甲厚除之则得甲乙庚未之长方

　　　　　面形甲戊即长阔之较故用带纵开平

　　　　　方法算之得乙庚阔与戊乙等即小正
　　　　　方之边数以甲戊与戊乙相加得甲乙
　　　　　即大正方之边数也
设如大小二正方体共边二十四尺共积四千六百
　零八尺问两体之每边及体积各几何
　　　　　法以共边二十四尺自乘再乘得一万
　　　　　三千八百二十四尺内减共积四千六
　　　　　百零八尺馀九千二百一十六尺三归

　　　　　之得三千零七十二尺以共边二十四
　　　　　尺除之得一百二十八尺为长方面积
　　　　　乃以共边二十四尺为长阔和用带纵
　　　　　和数开平方法算之得阔八尺即小正
　　　　　方之边数与共边二十四尺相减馀十
　　　　　六尺即大正方之边数也如图甲乙丙
　　　　　丁一大正方体戊己庚辛一小正方体
　　　　　以共边二十四尺自乘再乘则成壬乙
　　　　　癸子一总正方体内减甲乙丙丁与戊

　　　　　己庚辛大小两正方体之共积馀丑寅

　　　　　　卯三方廉体辰巳午三长廉体三归之
　　　　　　则得丑一方廉体辰一长廉体共成未
　　　　　　壬乙丙戊申一扁方体用壬乙共边除
　　　　　　之则得未壬戊申之长方面形其未壬
　　　　　　阔与壬甲等其壬戊长与甲乙等故以
　　　　　　壬乙共边为长阔和用带纵和数开平
　　　　　　方法算之得未壬阔即小正方之边数
　　　　　　与长阔和相减馀壬戊长即大正方之

　　　　　　边数也
　
　
　
　
　
　
　
　

御制数理精蕴下编卷二十五