钦定四库全书
　历算全书卷十一
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　环中黍尺卷五之六
加减捷法
　用加减则乘除省矣今惟用初数则次数亦省又耑
　求矢度省馀弦则角之锐钝得矢自知边之大小加
　较即显无诸拟议之烦故称捷法

如法角旁两弧度相加为总相减为存视总弧过象
限以总存两馀弦相加不过象限则相减并折半为初
数
若总弧过两象限与过象限法同(其馀弦/仍相加)过三象限与
在象限内同(其馀弦/仍相减)若存弧亦过象限则反其加减(总/弧)
(过象限或过半周宜相加今反以相减若/总弧过于三象限宜相减今反以相加)并以两馀弦
同在一半径相减不然则加也
　总存两馀弦同在一半径当相减折半图

　　　　　　　　　　　　乙丁丙三角形
　　　　　　　　　　　　丁为钝角
　
　
　　　　　　　　　　　　丙卯为总弧其正弦卯
　　　　　　　　　　　　戊馀弦戊己　庚丙为
存弧其正弦庚壬馀弦壬巳　两馀弦同在丙已半径
宜相减(壬巳馀弦内减/戊巳成戊壬)折半为初数丑壬(即甲庚亦/即未酉)

　总存两馀弦分在两半径当相加折半图
　　　　　　　　　　　　乙丁丙形　丁为锐角
　
　
　　　　　　　　　　　　庚丙为总弧其正弧庚
　　　　　　　　　　　　壬馀弦壬巳　卯丙为
　　　　　　　　　　　　存弧其正弦卯戊馀弦
戊已径两馀弦分在丙巳子巳两半径宜相加(以戊巳/加壬巳)

(成壬/戊)折半为初数丑戊(即甲酉亦/即未卯)
三边求角初数恒为法以两矢较乘半径为实法为初
数与两矢较若半径与角之矢也
　一　初数(即角旁两正弦相乘半径/除之之数今以加减得之)
　二　两矢较(或两俱正矢或两俱大矢或/存弧用正矢对弧用大矢)
　三　半径
　四　角之矢(正矢角锐/大矢角钝)
角求对边则以初数乘角之矢为实半径为法法为半

径与角之矢若初数与两矢较也
　一　半径
　二　角之矢(或正矢/或大矢)
　三　初数
　四　两矢较(并以较加存弧矢为对弧矢加满半径以上为/大矢其对弧大不满半径为正矢其对弧小)
乙丁丙形　三边求丁角
　小边乙丁(正弦/卯辛)大边丙丁(正弦/壬丙)　初数卯癸(两正弦相乘/半径除之也)
今改用加减

　
　
　　　　　　　　　　　两馀弦相减(馀房/戊)折半得
　　　　　　　　　　　丑戊即初数卯癸(与先所/得同)
　
　
一系　总弧过半周而存弧亦过象限则馀弦相减
法为卯癸初数与两矢较牛乙若卯辛正弦(距等/半径)与乙

庚(距等/大矢)亦即若寅巳半径与角之大矢酉子
　一　初数　　卯癸(即丑/戊)
　二　两矢较　牛乙(即房/甲)
　三　半径　　寅巳
　四　角之大矢酉子
若先有丁钝角而求乙丙对边则反用其率
　一　半径　　寅巳
　二　角之大矢酉子

　三　初数　　卯癸
　四　两矢较　牛乙
以所得两矢较加存弧大矢房丙得大矢甲丙
乙丁丙形
三边求丁角
　小边乙丁(正弦/乙辛)　大边丙丁(正弦/戊壬)
　初数戊癸
今用加减

　
　
　　　　　　　　　　两馀弦相减(馀辰/甲)折半得辰
　　　　　　　　　　丑即初数戊癸
　　　　　　　　　　对弧(乙/丙)大矢斗乙
　　　　　　　　　　存弧　大矢甲乙(两矢较/斗甲)
法为初数戊癸与两矢较斗甲若戊壬正弦(距等/半径)与丙
庚(距等/大矢)亦即若寅巳半径与角之大矢酉子

　一　初数戊癸(即丑/甲)
　二　两矢较　斗甲
　三　半径　　寅巳
　四　角之大矢酉子
论曰此移小边于外周如法求之所得并同其故何也
先有之角及角旁二边并同则诸数悉同矣然则句股
之形不同何也曰前图是用乙丁小弧之正弦为径分
大矢之比例则所用句股是丁丙大弧之正弦此图是

用丁丙大弧正弦为径分大矢比例则所用句股是乙
丁小弧正弦故句股形异也然句股形既异而所得初
数何以复同曰此三率之精意也初数原为两正弦相
乘半径除之之数前图用大弧正弦偕半径为句与弦
而小弧正弦用为大矢分径之比例是以大弧正弦为
二率而小弧正弦为三率也今改用小弧弦为二率大
弧弦为三率而首率之半径不变则四率所得之初数
亦不变也又何疑焉

一系　角旁二弧可任以一弧之正弦为全径上分大
小矢之比例其馀一弧之正弦即用为句股比例不拘
大小同异其所得初数并同
又论曰以句股比例言之则戊庚通弦为弦(即距等/圈全径)戊
女倍初数为句(即总存两馀弦/相加减之数)一也戊壬正弦为弦则
戊癸初数为句二也丙庚为弦(通弦之大分/即距等大矢)则斗甲两
矢较为句(即丙/房)三也丙壬为弦(正弦之分线/即距等馀弦)则斗丑为
句(对弧馀弦内减次数丑/巳得斗丑亦即丙牛)四也戊丙为弦(正弦之分线/即距等小矢)

则午戊为句五也
以全与分之比例言之则戊庚为距等全径与寅子全
径相当一也戊壬正弦为距等半径当寅巳半径二也
丙庚如距等大矢当酉子大矢三也丙壬如距等馀弦
当酉巳馀弦四也戊丙如距等小矢当寅酉正矢五也
一系　初数恒与角旁一弧之正弦为句股比例其正
弦恒为弦初数恒为句而其全与分之比例俱等又即
与员半径上全与分之比例俱等若倍初数即与全员

径上大小矢之比例等
一系　角旁两弧任以一弧之正弦为径上全与分之
比例初数皆能与之等
若先有丁钝角求对边乙丙则更其率
　一　半径　　巳子
　二　丁角大矢酉子
　三　初数　　丑甲
　四　两矢较　斗甲

以四率斗甲加存弧大矢乙甲成斗乙为对弧大矢内
减巳乙半径得斗巳为对弧馀弦捡表得未丙弧度以
减半周得对弧丙乙度
乙丁丙形　三边求丁角
　乙丁边(九十/五度)　丁丙边(一百一/十二度)　乙丙对弧(一百一/十九度)
　总弧丙未二百○七度　馀弦辛巳　八九一○一
　存弧丙戊一十七度　　馀弦壬巳　九五六三○
　两馀弦相加辛壬一八四七三一

　　　　　　　　　　　初数卯亥(即半辛/壬丑辛)九二三六五
　　　　　　　　　　　对弧大矢癸丙一四八四八一
　　　　　　　　　　　存弧正矢壬丙　　四三七○
　　　　　　　　　　　两矢较癸壬　一四四一一一
　　　　　　　　　　　法曰卯亥(即丑/辛)与癸壬若
　　　　　　　　　　　未亥与乙戊亦必若庚巳
与甲子
一　初数　卯亥　　　九二三六五

二　两矢较癸壬　　一四四一一一
三　半径　庚巳　　一○○○○○
四　角之矢申子　　一五六○二二
　四率大于半径为大矢其角钝法当以半径一○○
　○○○减之馀五六○二二为钝角馀弦捡表得馀
　弦度五十五度五十六分以减半周为丁角度
依法求到丁钝角一百二十四度○四分
论曰试作辰戊线与倍初数辛壬平行而等又引未辛

(总弧/正弦)至辰成未辰戊句股形又引牛乙癸(对弧/正弦)至寅作
亥丑线引至斗各成句股形而相似则其比例等
一未辰戊大句股　以辰戊倍初数为句未戊通弦为弦
一乙寅戊次句股　以寅戊两矢较为句乙戊(距等/大矢)为弦
一(未卯亥/亥斗戊)两小句股并以(卯亥/斗戊)初数为句(未亥/亥戊)正弦为弦
辰戊倍初数与寅戊两矢较若未戊通弦与乙戊距等
大矢是以大句股比小句股也
卯亥初数与癸壬两矢较若未亥正弦与乙戊距等大

矢是以小句股比大句股也　用亥斗戊形比乙寅戊
其理更著
又未戊通弦上全与分之比例原与全员径上全与分
之比例等故三者之比例可通为一也
　(一大句股截数种小句股/故又为全与分之比例)
仍用全图取乙丁女形　求丁锐角
　乙丁边(九十/五度)　女丁边(六十/八度)　女乙对弧(六十/一度)
总弧女戊(一百六/十三度)馀弦(壬/巳)九五六三○

存弧女未(二十/七度)　馀弦(辛/巳)八九一○一
　　　两馀弦并(辛/壬)一八四七三一初数卯亥九二三五六
　
　
　一　初数　卯亥　九二三六五
　二　两矢较癸辛　四○六二○
　三　半径　巳庚一○○○○○
　四　角之矢申庚　四三九七七　(以减半径得丁角馀/弦入表得丁角度)

依法求得丁锐角五十五度五十六分
辛丁乙形
　三边求丁角
　辛丁边五十度一十分　乙丁边六十
　总弧卯辛一百一十度一十分
　　馀弦庚丙二四四七五
　存弧戊辛九度五十分
　　馀弦子丙九八五三一

　　　　　　　　　　　馀弦并子庚一三三○○六
　　　　　　　　　　　初数子午(即戊/癸)六六五○三
　　　　　　　　　　　辛乙对弧八十度
　　　　　　　　　　　对弧矢辛酉　八二六三五
　　　　　　　　　　　存弧矢辛子　一四六九
　　　　　　　　　　　两矢较子酉　八一一六六
　一　初数　　子午　六六五○三
　二　两矢较　子酉　八一　一六六

　三　半径　　壬丙一○○○○○
　四　丁角大矢壬甲一二二○五○(用馀弦入表得丁外/角减半周得丁角度)
依法求到丁钝角一百○二度四十四分
论曰此如以日高度求其地平上所加方位也乙为太
阳乙甲其高度其馀度丁乙日距天顶也亥乙赤道北
纬辛乙为距纬之馀即去极纬度也辛壬为极出地度
其馀辛丁极距天顶也所求丁钝角百○二度太距正
北壬之度外角七十七度少距正南巳之度也算得太

阳在正东方过正卯位一十二度太
乙丙辛形　有(辛丙三十三度/辛乙百卅二度)　对弧乙丙(百度/八)
　求辛角
总弧(丙/壬)一百六十五度
　馀弦(己/戊)九六五九三
存弧(丙/庚)九十九度
　馀弦(己/甲)一五六四三　两馀弦相减馀(戊/甲)八○九五○
初数甲丑四○四七五　对弧大矢酉丙一三○九○二

　　　　　　　　　　存弧大矢甲丙一一五六四三
　　　　　　　　　　两矢较甲酉　一五二五九
　　　　　　　　　　一初数甲丑　四○四七五
　　　　　　　　　　二两矢较甲酉一五二五九
　　　　　　　　　　三半径申巳一○○○○○
　　　　　　　　　　四角之矢未申三五三五二
得辛锐角四十九度二十八分
恒星岁差算例

老人星黄道鹑首宫九度三十五分二十七秒为庚角(康/熙)
　　　　　　　　　　　　(甲申年距历元戊辰七十/七算每年星行五十一秒)
　　　　　　　　　　　　(讣行一度○五分二十七/秒以加戊辰年经度鹑首)
　　　　　　　　　　　　(八度三十/分得今数)
　　　　　　　　　　　　黄道南纬七十五度　距
　　　　　　　　　　　　黄极一百六十五度为庚
　　　　　　　　　　　　辛边　用巳庚乙三角形
(一角/二边)求对弧巳乙(赤/纬)

　
　
　　　　　　　　　　　　馀弦较丁甲二○六六一
　　　　　　　　　　　　　初数甲戊一○三三○
　　　　　　　　　　　庚角正矢申酉　一三九八
一　半径　　申丙一○○○○○　　大矢内减半径
二　庚角矢　申酉　　一三九八　　取馀弦检表得
三　初数　　甲戊　一○三三○　　三十八度廿三

四　两矢较　甲丑　　　一四四　分半以减半周
　加存弧大矢巳甲一七八二三四　得星距北极一百
　得对弧大矢巳丑一七八三七八　四十一度三十六
　　　　　　　　　　　　　　　分半为对弧巳乙
求到甲申年老人星赤纬在赤道南五十一度三十六分半
　(以校历元戊辰年纬五十一度三十三分及仪象志/康熙壬子年纬五十一度三十五分可以略见恒星)
　(赤纬岁/差之理)
求巳角(赤/经)

　　　　　　　　　　巳庚角旁弧二十三度三
　　　　　　　　　　十一分半
　　　　　　　　　　巳乙角旁弧一百四十一
　　　　　　　　　　度三十六分半
　　　　　　　　　　庚乙对弧一百六十五度
　　　　　　　　　　三边求角

　　　　　　　　　　　　　馀弦较子斗　四九五七七
　　　　　　　　　　　　　　初数午斗　二四七八八
　　　　　　　　　　　对弧大矢庚亥一九六五九三
　　　　　　　　　　　　存弧大矢庚斗一四七○七六
　　　　　　　　　　　　　两矢较亥斗　四九五一七
一　初数　午斗　二四七八八　大矢内减半径得
二　两矢较亥斗　四九五一七　馀弦检表得度以
三　半径　丙氐一○○○○○　减半周得已角度

四　角大矢亢氐一九九七六一　　　一百七十六度○二分
　置三象限以已角度减之得星距春分九十三度五十八分
求到甲申年老人星赤道经度在鹑首宫三度五十八分
　(以校戊辰年赤经九十三度三十九分及仪象志壬子年/赤经九十三度五十一分可以见恒星赤经东移之理)
加减捷法补遗
　捷法以两馀弦相加减以两矢较备四率其用巳简
　然有阙馀弦无可加减阙矢度无可较者虽非恒用
　而时或遇之亦布算者所当知也

一加减变例
　凡馀弦必小于半径常法也然或总弧适足半周则
　馀弦极大即用半径为总弧馀弦　法以存弧馀弦
　加减半径折半为初数(视存弧不过象限则相/加存弧过象限则相减)
　又若角旁两弧同数则无存弧而馀弦反大即用半
　径为存弧馀弦　法以总弧馀弦加减半径折半为
　初数(视总弦过象限或过半周则相加总/弧在象限内或过三象限则相减)
　　以上用半径为馀弦者六

　凡加减取初数必用两馀弦常法也然或总弧适足
　一象限或三象限或存弧适足一象限皆无馀弦
　法即用一馀弦折半为初数不须加减(总弧无馀弦/即单用存弧)
　(馀弦存弧无馀弦/即单用总弧馀弦)
　又或总弧(适足象限/或三象限)无馀弦而两弧又同数(准前论即以半/径为存弧馀弦)
　　或存弧(适足/象限)无馀弦而总弧又适足半周(即以半径为/总弧馀弦)
　二者并以半径之半为初数不须加减
　　以上无加减者六

一两矢较变例
　凡两矢相较常法也然或其弧满象限则即以半径
　为矢(对弧满象限则以半径为对弧矢与存弧矢相/较存弧满象限亦然亦即以半径与对弧矢相)
　(较/)　捷法视对弧存弧但有一弧满象限即命其又
　一弧之馀弦为两矢较不更求矢(对弧满象限即用/存弧馀弦存弧满)
　(象限即用对弧馀弦并即/命为两矢较与上法同)
　凡以矢较加存弧矢成对弧矢(正矢则对弧小/大矢则对弧大)常法
　也然或有相加后适足半径者其对弧必适足象限

　又有四率中无两矢较者以无存弧矢故也(准前论/角旁两)
　(弧同度无存弧则亦/无存弧矢之可较)法即以对弧矢为用不必更求
　矢较　若角求对边其所得第四率即对弧矢若三
　边求角其所用第三率亦对弧矢(馀详/后例)
设角旁两弧同度总弧在象限以内　求对角之边丙
　乙丁形
　乙角一百一十度馀弦三四二○二　乙丙　乙丁
　并三十度

　
　
　
　
　
　
　
　

　　　两馀弦相减　五○○○○　　丙庚
　　　半之为初数　二五○○○　　丙癸
一　半径　寅已　一○○○○○
二　初数　丙癸　　二五○○○
三　(乙角/大矢)　寅午　一三四二○二
四　(对弧/矢)　丙甲　　三三五五○(四率本为两矢较因无存/弧矢故即为对弧之矢)
　　(对弧/馀弦)　甲巳　　六六四五○
　求到对弧丁丙四十八度二十二分

论曰以半径为存弧馀弦何也弧大者馀弦小弧小者
馀弦大今存弧既相减而至于无则小之至也故其馀
弦亦大之至而成半径也　四率即为对弧矢何也弧
大矢亦大弧小矢亦小既无存弧则亦无矢矣无矢则
无可较故四率即对弧矢也　然则其比例奈何曰半
径寅已与大矢寅午若正弦子丙与距等大矢丁丙亦
即若初数丙癸与对弧矢丙甲
若三边求角则反其率

　一初数　　二半径　　三对弧矢　　四乙角矢
若总弧过三象限其法亦同
前图丁丑丙形
　丑角同乙角

　其所用四率以得对弧丁丙并同上法
若三边求角则反其率
　一初数　　二半径　　三对弧矢　　　四丑角矢
一系　两边同度无存弧矢则径以对弧矢当两矢较之用
设总弧满半周而较弧亦过象限　求对角之边
前图卯丑丁形
　丑角　　　七十度馀弦　三四二○二　午已
　丑丁　一百五十度

　丑卯　　　　三十度
　
　
　　　　　　　　　　　相减　五○○○○庚丙
　　　　　　　　　　　初数　二五○○○庚癸
　　　　　　　　　存弧大矢一五○○○○庚卯
　　　　　　　　　　丑角矢　六五七九八午酉
一　半径　　　酉巳　　　　一○○○○○

二　初数　　　丙癸(即庚/癸)　　二五○○○
三　丑角矢　　午酉　　　　六五七九八
四　两矢较　　庚甲　　　　一六四四九
　　加存弧大矢庚卯　　　一五○○○○
　　得对弧大矢甲卯　　　一六六四四九
　求到对弧卯丁一百三十一度三十八分
设三小边同数
　求角

　
　　　　　　　　　　丙乙丁形
　　　　　　　　　　三边并三十度
　　　　　　　　　　求乙角

　　　　　　相减　五○○○○　丙庚
　　　　　　初数　二五○○○　丙癸
对弧(丁/丙)三十度馀弦　八六六○三　甲巳
　　　　　　　矢　一三三九七　丙甲
一　初数　丙癸　　二五○○○
二　半径　寅己　一○○○○○
三　对弧矢丙甲　　一三三九七
四　乙角矢寅午　　五三五八八

　　　馀弦午巳　　四六四一二
　求到乙角六十二度二十分　丁丙二角同
论曰此亦因存弧无矢故以对弧矢为三率也其比例
为初数丙癸与对弧矢丙甲若乙丙正弦丙辰与丙丁
距等矢则亦若寅巳半径与乙角矢寅午
一系　凡三边等者三角亦等
前图丁丑丙形　二大边同度一小边为大边减半周之馀
　三边求角

　
　
　
　
其对弧丁丙亦三十度所用四率并同上法所得丑角
六十二度二十分亦同乙角惟馀两角(丁/丙)并一百一十
七度四十分皆为丑角减半周之馀
若先有角求对边则反其率

又于前图取丁丑戊形
　丑丁　　一百五十度
　丑戊　　　　三十度
　
　
其对弧戊丁(一百五/十度)为丑戊(三十/度)减半周之馀故所用四率亦
同但所得矢度为丑外角之矢当以其度减半周得丑角
(一百一十七/度四十分)戊角同丑角丁角(六十二度/二十分)即丑外角

一系凡二边同度其馀一边又为减半周之馀与三边同
度者同法但知一角即知馀角其一角不同者亦为相同两角
之外角
　　　　　　　　　　　　设角旁两弧同数而总弧适
　　　　　　　　　　　　足一象限求对角之边
　　　　　　　　　　　　子乙丙形
　　　　　　　　　　　　乙角一百度馀弦　一七
　　　　　　　　　　　　三六五

　
　
　
　
　　　　　　初数　五○○○○　　丙辛(即半径/之半)
一　半径　　壬巳　一○○○○○
二　初数　　丙辛　　五○○○○
三　乙角大矢壬丑　一　一七三六五

四　对弧矢　丙癸　　五八六八二
　　　　馀弦癸巳　　四一三一八
　求到对弧子丙六十五度三十六分
论曰半半径为初数何也准前论半径即存弧馀弦而
总弧无馀弦无可相减故即半之为初数　问总弧何
以无馀弦曰弧大者馀弦小总弧满象限则大之极也
故无馀弦　其比例可得言乎曰壬巳与壬丑若丙甲
与丙子则亦若丙辛与丙癸　若所设为子戊丙形

　戊角同乙角一百度
　(戊子/戊丙)同为一百三十五度　总二百七十度(满三/象限)亦
无馀弦亦如上法以半半径为初数依上四率求到对
戊角之子丙弧六十五度三十六分
若三边求角则反其率
　一初数　　二半径　　三对弧矢　　四角之矢
设角旁两弧之总满半周而存弧亦满象限　求对角
之弧　用前图子戊卯形

　戊角　　八十○度馀弦　一七三六五
　子戊一百三十五度
　卯戊　　四十五度
　
　
　馀弦无减半半径为初数五○○○○　己辛即庚甲
　存弧满象限半径为正矢一○○○○○　即卯巳半径
一　半径　辰巳　一○○○○○

二　初数　己辛　　五○○○○
三　戊角矢辰丑　　八二六三五
四　两矢较己癸　　四一三一七　即对弧卯子馀弦
　对弧大矢卯癸　一四一三一七　(以两矢较加存弧/矢得对弧大矢)
　求到对弧卯子一百一十四度二十四分
论曰总弧以半径为馀弦何也凡过弧大者馀弦大过
弧满半周则大之至也故其馀弦亦最大而即为半径
也　然则存弧又能以半径为矢何也弧大者矢大存

弧既满象限故其矢亦满半径矣
问两矢较巳癸即对弧之馀弦也何以又得为两矢较
曰他存弧之矢有大小而不得正为半径故其与对弧
矢相较亦有大小而不得正为馀弦今矢既为半径较
必馀弦矣
若三边求角则反其率
一　初数　巳辛　　　其比例为巳辛与巳癸若丁甲
二　半径　辰巳　　　与丁子则亦若辰巳与辰丑

三　两矢较己癸
四　戊角矢辰丑
　　　　　　　　　设对弧满象限　三边求角
　　　　　　　　　乙丙甲形
　　　　　　　　　对弧乙甲九十度　无馀弦
　
　
　　　　　　　　　求丙角

　
　
　　　　　　　　　相加辰癸　一三五六二一
　　　　　　　　　初数午癸　　六七八一○
　　对弧满象限矢即半径已甲一○○○○○
　用捷法即以存弧馀弦癸已为矢较
一　初数　　午癸　　六七八一○
二　半径　　巳戊　一○○○○○

三　矢较　　巳癸　　四二二六二　即存弧馀弦
四　丙角矢　庚戊　　六二九○四
　求到丙角六十八度一十四分
其比例为初数午癸与馀弦巳癸若正弦壬辛与距等
矢乙辛也亦必若半径己戊与角之矢庚戊
若先有丙角求对弧则反其率
　一半径(戊/巳)　二初数(午/癸)　三丙角矢(戊/庚)　四两矢较(巳/癸)
　以所得四率与存弧矢甲癸(五七七/三八)相加适足半径(成巳/甲)命

　对弧乙甲适足九十度　捷法视所得四率矢较与
　存弧馀弦同数即知对弧为象限不必更问存弧之矢
　　　　　　　　　设角旁两弧同数总弧过象限
　　　　　　　　　求对角之弧
　　　　　　　　　辛乙丙形
　　　　　　　　　乙角七十三度馀弦二九二三七
　
　

　
　
　　　相加折半为初数　八二一三九　癸丙
一　半径　己戊一○○○○○
二　初数　癸丙　八二一三九
三　乙角矢甲戊　七○七六三
四　对弧矢丁丙　五八一二四
　　　馀弦丁巳　四一八七六

　求到对弧辛丙六十五度一十五分
若三边求角则反其率
　一初数(癸/丙)　二半径(巳/戊)　三对弧矢(丁/丙)四乙角矢(甲/戊)
设角旁弧同数总弧过半周其算并同
前图辛丑丙形
　辛丑　丙丑并一百十五度
　总弧丙丑壬二百三十度馀弦　六四二七九　庚巳
　丑角同乙角

　其所用四率求对弧及三边求角并如上法
设总弧满半周而存弧不过象限　求对弧
前图辛乙卯形
　乙角　　一百○七度馀弦　二九二三七　甲巳
　乙卯　　一百十五度
　乙辛　　　六十五度

　　　　　相加半之为初数　八二一三九　癸庚即子辰
一　半径　　寅巳　一○○○○○
二　初数　　庚癸　　八二三一九
三　乙角大矢寅甲　一二九二三七
四　两矢较　庚丁　一○六一五三　即辛未
　加存弧正矢庚卯　　三五七二一
　得对弧大矢丁卯　一四一八七四
　求到对弧卯辛一百一十四度四十五分

加减又法(解恒星历指第四题三/率法与加减捷法同理)
　弧三角有一角及角旁二边求对角之弧
法曰以角旁大弧之馀度与小弧相加求其止弦为先
得弦　次以角旁两弧相加视其度若适足九十度即
半先得弦为次得弦(此大弧之馀/弧与小弧等)
若角旁两弧总大于象限(此大弧之馀/弧小于小弧)则以大弧之馀
弧减小弧而求其弦以加先得弦然后半之为次得弦
若两弧总不及象限(此大弧之馀/弧大于小弧)则以小弧减大弧之

馀弧而求其弦以减先得弦然后半之为次得弦
又以角之矢为后得弦
以后得弦乘次得弦为实半径为法除之得数为他弦
　一率　全数
　二率　次得弦(即初/数)
　三率　后得弦(即角/之矢)
　四率　他弦(即两/矢较)
并以他弦与先得弦相减为所求对角弧之馀弦若他

弦大于先得弦即以先得弦减他弦(不问何弦但/以小减大)
　(右法不载测量全义而附见历指人自江南来得小儿以燕/家信以此为问谓与环中黍尺有合也乃为摘录以疏其义)
论曰此亦加减代乘除之一种也加减法以总弧存弧
之馀弦相加减以取初数此则不用存弧而用存弧之
馀度(以馀度取正弦即/存弧之馀弦故也)又不正用存弧之馀度而用大
弧之馀度(以大弧之馀度加小弧/即存弧之馀度故也)至其加减又不用总
弧而用大弧馀度与小弧相减之较弧(以此较弧之正/弦即总弧之馀)
(弦故/也)取径迂回而理数吻合非两法相提并论不足以

明其立法之意也举例如后
乙丙丁形(有乙角及/角旁二边)求对弧丁丙(以加减捷法求得诸数与/恒星历指法相参论之)
　　　　　　　　　　(乙丙小弧/乙丁大弧)正弦(甲丙/辰庚)
　　　　　　　　　　(总/存)弧(戊丙/庚丙)馀弦(壬巳/癸巳)
　　　　　　　　　　　　(馀弦并癸壬/初数 癸甲)　(即辰寅/)
　　　　　　　　　　(丁丙对弦/庚丙存弧)正矢(卯丙/癸丙)
　　　　　　　　　　(一/)　(半两矢较卯癸/ 径 酉巳)
　　　　　　　　　　(二/三)　(角之矢/初数)　(酉午即辰寅/甲癸)

　　　　　　　　　　(四末两矢较加癸卯癸卯即丁子/ 以卯癸 丙得 丙为对)
　　　　　　　　　　　(弧矢乃查其度得对弧丁丙/)
　右加减法也
今改用恒星历指之法　先以酉庚为角旁大弧(乙/丁)之
馀弧(乙庚同乙丁大弧度也乙酉同乙午皆象限也乙/酉象限内减乙庚犹之乙午内减乙丁也故庚酉)
(即乙丁/之馀)又以牛酉当角旁小弧乙丙(乙酉与牛丙皆象/限内减同用之丙)
(酉同/乙丙)二者相加成牛庚取其正弦戊庚是为先得弦
次视角旁两弧(乙丙/乙丁)之总(丙/戊)大于象限(丙/辛)法当以大弧

馀度去减小弧得较(于同小弧之午酉内减同大弧馀/度之氐酉其较牛氐与牛房等)
而取其弦(牛氐较与牛房等则氐井弦与房井等而/即与危戍等是危戌即牛氐较之弦也)以
加先得弦(以危戍加戌/庚成危庚)然后半之(危庚半之于/未成未庚)为次得
弦
又以乙角之矢(午/酉)为后得弦与次得弦(未/庚)相乘为实半
径为法除之得他弦(亥/庚)
未以他弦(亥/庚)减先得弦(戌/庚)其馀亥戌为对弧(丁/丙)之馀弦
(查表得/对弧)

论曰牛庚之正弦戍庚与癸巳平行而等即存弧之馀
弦也(牛庚为小弧与大弧馀度之并实即/存弧丙庚之馀度故戌庚即同癸巳)次得弦未庚
与甲癸平行而等即初数也(以危戍加戌庚而成危庚犹总/存两馀弦相加成癸壬也)
(危庚既同癸壬则其/半未庚亦同甲癸)他弦庚亥与卯癸平行而等即两
矢较也末以他弦与先得弦相减而得对弧馀弦犹以
两矢较与存弧之矢相加而得对弧之矢也(两矢较即/两馀弦较)
(也故加之得矢者/减之即得馀弦)然则此两法者固异名而同实矣
又论曰加减本法用大弧小弧之总与较取其馀弦以

相加减今此法则用大弧馀度与小弧之总与较而
取其正弦以相加减(如牛庚是大弧馀度与小弧之/总牛氐是大弧馀度与小弧之)
(较/)用若相反而得数并同者何也曰馀弧与正弧
互为消长其数相待是故大弧之馀度大于小弧
则总弧不及象限矣大弧之馀度小于小弧则总弧过
象限矣总弧过象限宜相加此条是也总弧不及象
限宜相减后条是也宜加宜减之数无一不同得数
安得而不同(得数谓初数也在/此法则为次得弦)

又论曰此法之于加减法犹甲数乙数之于初数次数
也初数次数用馀弦甲数乙数用正弦加减法用馀弦
此法用正弦所以然者皆以角旁之弧半用馀度也(甲/数)
(乙数法内一弧用本度一弧用馀/度此法小弧用本度大弧用馀度)一加减法乃有四用
其省乘除并同而繁简殊矣
乙丙丁形
　有乙角及角旁二边
　求对弧丁丙

　　　　　　　　　　(乙丙小弧/乙丁大弧)正弦(申丙/辰庚)
　　　　　　　　　　(总/存)弧(戊丙/庚丙)馀弦(壬巳/癸巳)
　　　　　　　　　　　　　(馀弦较壬癸/ 初数癸甲)
　　　　　　　　　　(丁丙对弧/庚丙存弧)正矢(卯丙/癸丙)
　　　　　　　　　　(一/)　　(两矢较卯癸/半径 酉巳)
　　　　　　　　　　(二/三)　(角大矢/ 初数)　(酉午/甲癸)
　　　　　　　　　　(四/)　(两矢较/)　(卯癸/)
　(末以卯癸加癸丙成卯丙为对/弧矢查其馀弦得对弧丁丙)

　右加减法也
今依恒星法改用大弧之馀度(庚酉即/午丁)与小弧(牛酉即/乙丙)
相加(成牛庚即存弧/丙庚之馀度)求其正弦为先得弦(戍庚同巳癸/即存弧之馀)
(弦/)次视两弧之总(戊/丙)不及象限法当以小弧减大弧馀
度(取氐酉如酉庚/以牛酉减之)得较(氐牛与/牛房等)取其正弦(女房即女氐/亦即戍危)
以减先得弦(戍危减戌庚馀/危庚与癸壬等)然后半之(危庚半之于虚/成庚虚与甲癸)
(等/)为次得弦又以(乙/)钝角大矢(午/酉)为后得弦与次得弦
相乘为实半径为法除之得他弦(亢庚与/卯癸等)末以他弦(亢/庚)

减先得弦(戍/庚)其馀戍亢(即卯/巳)为对弧馀弦查表得对弧
丁丙
一率　半径　酉巳
二率　次得弦庚虚(即初数/甲癸)
三率　后得弦午酉(即角/大矢)
四率　他弦　亢庚(即两矢/较卯癸)
乙丙丁形(有丙角及/角旁二边)求对弧丁乙
法以(丁/丙)大弧之馀(午丁即/酉甲)与小弧(乙丙即/戊酉)相加(成甲/戊)求

　　　　　　　　　其正弦(庚/甲)为先得弦次视两弧
　　　　　　　　　之总(丑/乙)适足象限即半先得弦
　　　　　　　　　为次得弦(癸甲或/癸庚)又以角之大矢(午/酉)为
　　　　　　　　　后得弦乘之(午酉乘/癸甲)半径(酉/巳)除之
　　　　　　　　　得他弦(卯甲即/壬未)以减先得弦(甲/庚)得
　　　　　　　　　对弧馀弦(卯庚即/壬巳)查表度得对弧(丁/乙)
解曰此因大弧之馀酉甲与小弧戊酉同数则无加
减故即半先得弦为次得弦也在加减法则为总弧无

馀弦而即半存弧馀弦为初数
丙戊丁形(有戊角及/角旁二边)求对弧丁丙
　　　　　　　　　　如法以大边(丙/戊)之馀(卯丙即/癸庚)
　　　　　　　　　　与小弧(丁戊即/癸辛)相加(成辛/庚)取
　　　　　　　　　　其正弦(庚/乙)为先得弦次视角
　　　　　　　　　　旁两弧之总(辰/丁)大于象限法
　　　　　　　　　　当以癸庚减癸辛得较子辛
　　　　　　　　　　(即辛/井)而取其正弦(子斗即井/斗亦即乙)

(甲/)以加先得弦(乙/庚)而半之(甲庚之半/为甲丑)为次得弦又以角
之大矢(卯/癸)为后得弦以乘次得弦为实半径为法除之
得他弦(牛/庚)末以他弦(牛/庚)与先得弦(庚/乙)相减得(牛乙即/壬巳)为
对弧之馀弦查馀弦度以减半周得对弧丁丙
解曰此为他弦大于先得弦故反减也在加减法则所
得为对弧大矢与存弧小矢之较而两矢较即两馀弦
并也故减存弧馀弦得对弧馀弦
　补求经度法

法用角旁两弧(大弧用馀度/小弧用本度)相加得数取正弦为先得
弦又相减得较取正弦以与先得弦相加减(角旁两弧/大于象限)
(则相加若小于/象限则相减)而半之为次得弦(若角旁两弧并之适/足一象限则径以先)
(得弦半之为次/得弦不须加减)用为首率　次以对角弧之馀弦与先
得弦相加减得他弦为次率(对弧大于象限相加/小于象限则相减)　半
径为三率　求得角之矢为四率(正矢为锐角/大矢为钝角)
假如丙戊丁形有三边求戊角(借用/前图)
一　次得弦　甲丑(乃先得弦/甲庚之半)即庚丑

二　他弦　　壬酉(即牛庚乃对弧馀弦加先/得弦因对弧大故相加)
三　半径　　巳癸
四　钝角大矢卯癸(卯癸大矢内减巳癸半径为馀弦查/表得度以减半同为戊钝角之度)
论曰角求对边者求纬度也三边求角者求经度也二
者之分祗在四率中互换无他缪巧历指注云求纬用
正弦求经用切线殊不可晓及查其后条用例亦无用
切线之法殆有缺误历书中如此者甚多故在善读耳
加减通法

　加减代乘除之法以算三边求角及二边一角求对
　角之边皆斜弧三角之难者也其算最难而其法益
　简故凡算例中两正弦相乘者即可以加减代之则
　虽正弧诸法实多所通故谓之通法
法曰凡四率中有以两正弦相乘为实半径为法者皆
可以初数取之　有以两馀弦相乘为实半径为法者
皆可以次数取之　有以馀弦与正弦相乘为实半径
为法者皆可以甲乙数取之

假如正弧形有角有角旁弧而求对角之弧(此如有春/分角有黄)
(道而求/距度)本法当以角之正弦与角旁弧之正弦相乘为
实半径为法除之也今以初数取之即命为所求度正
弦
设黄道三十度求黄赤距度
　(春分角二十三度三十一分半/黄道 三十○度)
　(总弧/存弧)　(五十三度三十一分半/ 六度二十八分半)馀弦(五九四四七/九九三六二)
　用初数为正弦检表得度　(相减三九九一五即初数/折半一九九五七)

求到黄赤距度一十一度三十○分四十二秒
又设黄道七十五度求黄赤距度
　(春分角二十三度三十一分半/黄道 七十五度)
　(总/存)弧　(九十八度三十一分半/五十一度二十八分半)馀弦(一四八二四/六二二八五)
　用初数为正弦检表得度　　(相加七七一○九/折半三八五五四)
求到黄赤距度二十二度四十分三十九秒
又如句股方锥法有大距有黄道而求距纬本以大距
正弦黄道馀弦相乘半径除之也今以甲数取之

设黄道六十度求距纬(句股方锥黄道以/距二至起算下同)
　(黄赤大距二十三度三十一分半/黄道 六十○度)
　(总弧/存弧)　　(八十三度三十一分半/三十六度二十八分半)正弦(九九三六二/五五四四七)
　用甲数为正弦检表得度　　　(相减三九九一五为甲数/半之一九九五七)
求到距纬一十一度三十○分四十二秒
设黄道一十五度求距纬
　(黄赤大距二十三度三十一分半/黄道 一十五度)
　(总/存)弧　　(三十八度三十一分半/ 八度三十一分半)正弦(六二二八五/一四八二四)

　用甲数为正弦查表得度　(相加七七一○九为甲数/半之三八五五四)
求得距纬二十二度四十分三十九秒
又如次形法本以一正弦与一馀弦相乘半径除之得
所求之馀弦今以初数取之
　　　　　设甲丙乙形有甲正角有丙角及甲丙边
　　　　　而求乙角本法为半径与丙角正弦若甲
　　　　　丙馀弦与乙角馀弦今以初数即命为乙
　　　　　角馀弦　(丙角度度/甲丙馀)相(并/减)为(总/存)弧各取其

馀弦如法相加减而半之成初数即命为乙角馀弦
本法用正弦与馀弦相乘而亦以初数取之何也曰甲
丙馀弦实次形丁丙正弦也故仍用初数
假如斜弧形作垂弧法本为半径与角之正弦若角旁
弧之正弦与垂弧之正弦也今以初数即命为垂弧正弦
　　　　　设丁乙丙形有乙锐角有丁乙边求作丁甲
　　　　　垂弧　(乙角度/乙丁弧)相(并/减)为(总/存)弧而取其馀弦
　　　　　如法相加减而半之成初数即命为丁甲垂

弧正弦
　　　　　设丁乙丙形乙为钝角而先有丁乙边其
　　　　　法亦同　(乙外角/丁乙边)相(并/减)为(总/存)弧而各取其
　　　　　馀弦如上法取初数命为甲丁垂弧正弦
又如弧角比例法本为角之正弦与对角边之正弦若
又一角之正弦与其对边之正弦今以初数进五位即
为两正弦相乘之实可以省乘
设乙甲丙形有丙角甲角有乙甲边求乙丙边本以甲角

　　　　　正弦与乙甲正弦相乘为实丙角正弦为
　　　　　法除之得乙丙正弦今以甲角度与乙甲
　　　　　弧相并减为总存弧如法取初数进五位
　　　　　为实以丙角正弦除之亦得乙丙正弦(若/有)
　　　　　(乙丙边求丙角则以乙丙边正/弦为法除之即得丙角之正弦)
又如垂弧捷法本以两馀弦相乘为实又以馀弦为法
除之而得所求之馀弦今以次数进五位为两馀弦相
乘之实即可省乘

设甲丁亥钝角形有亥甲边有亥丁边有引长之丁巳
边而求甲丁边本法为亥巳边之馀弦与亥甲边之馀
弦若丁巳边之馀弦与甲丁边之馀弦也　今以次数
代乘
　　　　　　　(亥甲/丁巳)二弧相并为总弧相减为存弧
　　　　　　　而各取其馀弦如法相加减而半之
　　　　　　　为次数下加五○即同亥甲与丁巳
　　　　　　　两馀弦相乘之实但以亥巳边之馀

弦为法除之即得甲丁边之馀弦
进五○何也曰初数者两正弦相乘半径除之之数故
必进五位即同两正弦相乘之实矣　次数进位之理
仿此论之
　　补加减捷法
设壬丙甲弧三角形
　甲壬边适足九十度　丙甲边八十三度　对弧壬
　丙五十九度

　求甲角
　　　　　　　　　　　　　法曰角旁有一边
　　　　　　　　　　　　　适足九十度则总
　　　　　　　　　　　　　存两馀弦同数当
　　　　　　　　　　　　　以馀弦即命为初
　　　　　　　　　　　　　数　依法求得五
　　　　　　　　　　　　　十八度四十四分
为甲角

　
　
　　　　　　　　　存矢　申丙　　　七四五
　
　
　　　　　　　　　　矢较　戊申　四七七五一
　一　初数　九九二五五已申
　二　矢较　四七七五一戊申

　三　半径一○○○○○己癸　查表得五十八度四十四分
　四　(角之/矢)　四八一○九壬癸
　　　馀弦　五一八九一壬巳
论曰此即算带食法也凡算带食其差角必在地平壬
甲九十度即高弧全数丙甲八十三度月距北极也癸
丙七度黄赤距度也壬丙对弧极距天顶也其馀弦己
戊即极出地正弦所求甲角月出地平时地经赤道差
也

捷法以黄赤距度馀弦与极出地正弦相减馀进五位
为实仍以距度馀弦除之得差角矢
解捷法曰极出地正弦即对弧馀弦黄赤距度馀弦即
存弧馀弦两馀弦之较即矢较也
又解曰巳乙即己申亦即未丙并小弧甲丙正弦也(即/存)
(弧癸丙/之馀弦)未丙与戌丙若己癸与壬癸全与分之比例也
又解曰初数是两正弦相乘半径除之之数今甲壬边
之正弦即半径故省乘除竟以甲丙正弦为初数

又设壬甲辛钝角形(即用/前图)　壬甲边适足九十度　辛
甲边九十七度　对边辛壬一百二十一度　求甲角
　依法求得甲钝角一百二十一度一十六分
　
　
对弧辛壬一百廿一度馀弦巳戊　　　　五一五○四
　　　　　对弧大矢　戊辛　　　一五一五○四
　　　　　存弧　矢　癸乙同酉辛　　　七四五(亦同/丁庚)

　　　　　两矢　较　戊酉同辰辛一五○七五九(亦同/丁壬)
　一　　初数　(丁巳同/午辛)　九九二五五
　二　　矢较　(丁壬同/辰辛)一五○七五九
　三　　半径　己庚一○○○○○
　四　角大矢　壬庚一五一八九○
　　　　馀弦　己壬　五一八九○
　查表得五十八度四十四分以去减半周得甲角一
　百二十一度一十六分

论曰总弧过象限及过半周宜以馀弦相加折半成初
数今两馀弦相同而径用为初数亦折半之理也
向作加减法补遗自谓巳尽其变不知仍有此法故特
记之
因算带食得此其用捷法更奇甚矣学问之无穷也
壬甲丙锐角形壬甲边适足九十度　丙甲边六十七度
对弧壬丙五十度　求甲角
依法求得甲角四十五度四十二分

　
　
　
　
　　　　　　　　　　○五(即为/初数)
　　　　　　　　　　壬丙对弧五十○度馀弦六
　　　　　　　　　　四二七九　巳戊
　　　　　　　　　　对弧矢三五七二一　戊丙

　存弧矢　　七九五○　乙癸(即申/丙)
　　矢较　二七七七一　申戊
　一　初数　　九二○五　　申巳
　二　矢较　　二七七一　　申戊
　三　半径　一○○○○○　己癸
　四　角之矢　三○一六九　壬癸
　　　馀弦　　六九八三一　壬巳
　查表得四十五度四十二分

因前图丙癸度小故复作此以明之
算甲馀角
又于本图取辛甲壬钝角形　壬甲九十度　辛甲一
百一十三度　壬丙五十度　求甲钝角　依法求到
甲钝角度一百三十四度一十八分
　
　
　壬辛对弧一百三十○度馀弦巳戊六四二七九

　　　　　　　　　　大矢　辛戊　一六四二七九
　　　　　　　　　存弧矢　申丙(即乙/癸)　七九五○(亦即/酉辛)
　　　　　　　　　　矢较　酉戊　一五六三二九
　一初数　九二○五○酉巳(即丁/巳)　二矢较一五(六三/二九)酉戊
　三半径一○○○○○庚巳　　四(角大/矢)一六(九八/三○)庚壬
　　　　　　　　　　　　　　　　馀弦六九(八三/○)
　查表得四十五度四十二分以减半周得甲钝角一
　百三十四度一十八分

论曰试作庚亥线与辛丙径平行又引对弧坎戊正弦
至亥成庚亥壬句股形即庚乾巳亦同角之小句股形
而庚亥同酉戊两矢较也庚乾同酉巳初数也则初数
(庚乾/小股)与两矢较(庚亥/大股)若半径(庚巳/小弦)与角之大矢(庚壬/大弦)
凡角旁弧适足九十度则总存两馀弧同数法即以馀
弦命为初数
日月食带食出入地平用此算其地经赤道差甚捷
　　补甲数乙数法

丁辛乙斜弧三角形
辛丁弧五十度一十分　　辛乙弧八十度　　丁乙
对弧六十度　　　　　　　　又若辛乙弧八十度
求辛角　　　　　　　　　辛丁(馀/弧)三十九度(五/十)分
辛乙(馀/弧)一十度　　　　　　总弧一百十九度(五/十)分
辛丁弧五十度一十分　　　较弧　四十度一十分
　
　

　　　　　　　　两正弦总(一五一/二四九)半之为甲数(七五六/二四)
　　　　　　　　两正弦较(二二二/四七)半之为乙数(一一一/二三)
　　　　　　　　丁乙对弧馀弦(五○○/○○)内减乙数馀(三/八)
　　　　　　　　(八七/七)为二率
　一　甲数　七五六二四
　二　　　　三八八七七
　三　半径一○○○○○
　四　(辛角/馀弦)　五一四○八

　　查表得五十九度○四分为辛角
若前形有辛角而求丁乙对弧
　一　半径一○○○○○
　二　(辛角/馀弦)　五一四○八
　三　甲数　七五六二四
　四　　　　三八八七七
　以加乙数　一一一二三
　成对弧馀弦五○○○○

　　查表得六十度
此因角旁馀弧小于正弧故乙数亦小于甲数而以所
得四率加乙数为对弧馀弦
丙乙丁形　乙钝角一百一十度　(乙丙/乙丁)二弧并三十度
求丁丙对弧
乙丙馀弧六十度
乙丁弧　三十度
总弧　　九十度正弦一○○○○○

较弧　　三十度正弦　五○○○○
　　　　　　　　　　　相加　　一五○○○○
　　　　　　　　　　　半之为乙数七五○○○
　　　　　　　　　　　相减　　　五○○○○
　　　　　　　　　　　半之为甲数二五○○○
　一　半径一○○○○○
　二　(乙角/馀弦)　三四二○二
　三　甲数　二五○○○

　四　　　　　八五五○
　以减乙数　七五○○○
　得对弧馀弦六六四五○
　　查表得四十八度二十一分
此因角旁乙丙馀弧大于乙丁正弧故乙数大于甲数
而以所得四率反减乙数为对弧馀弦
前例转求乙钝角　(乙丙/乙丁)二弧并三十度　丁丙对
弧四十八度二十一分

求乙角
　一　甲数　二五○○○　二(对弧馀弦减/乙数之馀)八五五○
　三　半径一○○○○○　四钝角馀弦三四二○二
　　查表得七十度以减半周得一百一十度为乙角
总论曰甲数乙数原以角旁两弧之正弦错乘而得今
改用加减故角旁两弧一用正一用馀然有时馀弧大
于正弧者角旁两弧之合数必过象限也有时馀弧小
于正弧者角旁两弧之合必不及象限也若角旁两弧

之合适足象限则馀弧必与正弧等而无较弧
又设子乙丙形　乙钝角一百度　(乙丙/乙子)二弧并四十
五度
求对角
　乙丙馀弧四十五度
　乙子　弧四十五度

　　　　　　(半之为/甲数)五○○○○　　　则无可加亦
　　　　　　(亦为乙/数)五○○○○　　　无可减故皆
　　　　　　　　　　　　　　　　　用总弧正弦
　　　　　　　　　　　　　　　　　折半为甲数
　　　　　　　　　　　　　　　　　亦为乙数
　一　半径一○○○○○
　二　(钝角/馀弦)　一七三六五
　三　甲数　五○○○○

　四　　　　　八六八二
　加乙数共　五八六八二(命为对/弧矢)
　得对弧(馀/弦)　四一三一八
　　查表得对弧子丙六十五度三十六分
若前例三边求乙角
　乃置对弧六十五度三十六分之馀弦四一三一八
　求其矢得五八六八二
　丙减乙数五○○○○

　仍馀八六八二为二率
一　甲数　五○○○○
二　　　　　八六八二
三　半径一○○○○○
四　(钝角/馀弦)　一七三六四
　查表得八十度以减半周得一百度为乙角之度
　　补先数后数法
前式丙乙丁形　乙角一百一十度　(乙丙/乙丁)并三十度

求丁丙对弧
　一　半径方　一○○○○○○○○○○
　二　正弦方　　二五○○○○○○○○
　三　乙角(大/矢)　一三四二○二
　四　两矢较　　三三五五○
　　对弧馀弦　　六六四五○
　查表亦得四十八度二十一分
此因角旁两弧同度则无较弧之矢故径以所得矢较

命为对弧之矢
前式子乙丙形　乙角一百度　(乙丙/乙子)二弧并四十五度
求对弧
　一　半径方　一○○○○○○○○○○
　二　正弦方　　五○○○○○○○○○
　三　角大矢　一一七三六五
　四　矢较　　　五八六八二(因无较弧矢故/即为对弧矢)
　　对弧馀弦　　四一三一八

　查表亦得对弧子丙六十五度三十六分
若先有对弧子丙而求乙角
　一　正弦方　　五○○○○○○○○○
　二　半径方　一○○○○○○○○○○
　三　对弧矢　　五八六八二(因无较弧矢故即/以对弧矢为矢较)
　四　角大矢　一一七三六五
　　　　馀弦　　一七三六五
　　查表得八十度以减半周得乙钝角一百度

又设乙角六十度
　角旁(乙丙/乙子)二弧并四十五度　求子丙对弧
　　　　　　一　半径方一○○○○○○○○○○
　　　　　　二　正弦方　五○○○○○○○○○
　　　　　　三　锐角矢　五○○○○
　　　　　　四　　矢较　二五○○○　(无较弧即用/为对弧矢)
　　　　　　　对弧馀弦　七五○○○
　查表得对弧五十三度○八分

　
　
　
　
　
　
　
　历算全书卷十一