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历算全书 卷四十一 第 1a 页 WYG0794-0895c.png
钦定四库全书
历算全书卷四十一
宣城梅文鼎撰
方程论卷二
极数
吾论方程至和较之杂之变尽矣虽然不知带分叠脚
重审之法无以穷其致故极数次之
极数有三一带分二叠脚三重审皆不离乎和较之四术
历算全书卷四十一
宣城梅文鼎撰
方程论卷二
极数
吾论方程至和较之杂之变尽矣虽然不知带分叠脚
重审之法无以穷其致故极数次之
极数有三一带分二叠脚三重审皆不离乎和较之四术
历算全书 卷四十一 第 1b 页 WYG0794-0895d.png
带分方程例
法曰视原问中有云几分之几者则以分母通其全数
而列之或云有物几数又几分之几者以分母通其
全数而纳其子如法列位遍乘减并以求一法一实
既得法以除实而得者即所求物之一分也以所得
一分之数分母乘之则为物之全数矣
或云几分之几又几分之几者以两分母相乘为全
数而列之又以两分母互乘其子为所用之分而列
法曰视原问中有云几分之几者则以分母通其全数
而列之或云有物几数又几分之几者以分母通其
全数而纳其子如法列位遍乘减并以求一法一实
既得法以除实而得者即所求物之一分也以所得
一分之数分母乘之则为物之全数矣
或云几分之几又几分之几者以两分母相乘为全
数而列之又以两分母互乘其子为所用之分而列
历算全书 卷四十一 第 2a 页 WYG0794-0896a.png
之所用之分同在一行者并而列之分用于两行者
不并也并之而所用之分反大于全数者以全
数除之命为几全数又几分之几其入算乘除
仍用所并之分得数后则只以全数之分乘之为全
数(以上两法皆化整为零乘除/竟用零分故先得一分之数)
又法
凡较数有以此之全数当彼之几分之几者则通其
一行之内皆以分母乘之而后列焉则其所得即为
不并也并之而所用之分反大于全数者以全
数除之命为几全数又几分之几其入算乘除
仍用所并之分得数后则只以全数之分乘之为全
数(以上两法皆化整为零乘除/竟用零分故先得一分之数)
又法
凡较数有以此之全数当彼之几分之几者则通其
一行之内皆以分母乘之而后列焉则其所得即为
历算全书 卷四十一 第 2b 页 WYG0794-0896b.png
全数而非其一分也(如云乙得甲三分之二则以分/母三乘乙全数得全乙者三乘)
(甲之二分得六分是为全甲者二则以三乙当二甲/而列之骤视之如倒列其子母其实皆全数耳)
若有正负之数亦以分母乘而列之(亦全数非零分/也是为以零变)
(整与化整为零之法不同故径得其/全数所用乘除皆整数非分故也)得即为整(其所/用分)
(母只在本一行中如一物有两分母又/分用于各行则各以其行中分母为用)凡和数中有
一位带分而馀只全数者亦可以分母通乘而列之
其所得亦为全数而非分(如甲三乙二又三之一共/十六则以分母三乘甲得)
(九乘一二得六乘乙之一得三亦整一也并得整七/乘共十六得四十八是为甲九乙七共四十八变零)
(甲之二分得六分是为全甲者二则以三乙当二甲/而列之骤视之如倒列其子母其实皆全数耳)
若有正负之数亦以分母乘而列之(亦全数非零分/也是为以零变)
(整与化整为零之法不同故径得其/全数所用乘除皆整数非分故也)得即为整(其所/用分)
(母只在本一行中如一物有两分母又/分用于各行则各以其行中分母为用)凡和数中有
一位带分而馀只全数者亦可以分母通乘而列之
其所得亦为全数而非分(如甲三乙二又三之一共/十六则以分母三乘甲得)
(九乘一二得六乘乙之一得三亦整一也并得整七/乘共十六得四十八是为甲九乙七共四十八变零)
历算全书 卷四十一 第 3a 页 WYG0794-0896c.png
(为整径以整数乘/除所得即为整数)
又法
凡带分之法或化整为零或变零为整取其画一也
此外又有杂用零整之法亦所当知(如行中有几位/或原带有零分)
(者以化整为零法列之其原未带分者只以整数列/之但乘除得数后整列者所得即为整数零分列者)
(所得只为零分之数仍/须以分母乘之为全数)
又法
视所带之分有可以分母除之而尽者则以所除分
又法
凡带分之法或化整为零或变零为整取其画一也
此外又有杂用零整之法亦所当知(如行中有几位/或原带有零分)
(者以化整为零法列之其原未带分者只以整数列/之但乘除得数后整列者所得即为整数零分列者)
(所得只为零分之数仍/须以分母乘之为全数)
又法
视所带之分有可以分母除之而尽者则以所除分
历算全书 卷四十一 第 3b 页 WYG0794-0896d.png
秒附于整数而列之则其乘除后得数亦为所求之
全数(若分母除其子不能/尽者则不用此法)
今有甲字库贮金丁字库贮银各不知总但云取甲四
之三加丁五之二则一百一十万若以甲加丁之倍
数则四百四十万问各若干
答曰甲库金四十万 丁库银二百万
法以分子甲之三分丁之二分列右
以分母四通甲整一得四分以分母五通丁整二得
全数(若分母除其子不能/尽者则不用此法)
今有甲字库贮金丁字库贮银各不知总但云取甲四
之三加丁五之二则一百一十万若以甲加丁之倍
数则四百四十万问各若干
答曰甲库金四十万 丁库银二百万
法以分子甲之三分丁之二分列右
以分母四通甲整一得四分以分母五通丁整二得
历算全书 卷四十一 第 4a 页 WYG0794-0897a.png
十分列左
依和数法互乘对减馀丁之分二十二为法馀八百
八十万为实
法除实得四十万为丁之一分以丁之分母五乘丁之
一分得二百万为丁库银数 乃以丁库数倍之得
四百万减四百四十万馀四十万为甲库金数
依和数法互乘对减馀丁之分二十二为法馀八百
八十万为实
法除实得四十万为丁之一分以丁之分母五乘丁之
一分得二百万为丁库银数 乃以丁库数倍之得
四百万减四百四十万馀四十万为甲库金数
历算全书 卷四十一 第 4b 页 WYG0794-0897b.png
此化整从零法也(原列零分故得/亦零分之数)
又法以丁分母五互甲之三得十五以甲分母四互丁
之二得八列右乂以两分母(五/四)相乘得二十为甲丁
共母以乘一甲得二十乘倍丁得四十列左 乃以
甲丁共母乘一百一十万得二千二百万列右乘四
百四十万得八千八百万列左(分母相乘为母母互/乘子只是通分之法)
(妙在以分共母乘其和数而零/数皆为整用矣此用法之妙)
上 中 下
又法以丁分母五互甲之三得十五以甲分母四互丁
之二得八列右乂以两分母(五/四)相乘得二十为甲丁
共母以乘一甲得二十乘倍丁得四十列左 乃以
甲丁共母乘一百一十万得二千二百万列右乘四
百四十万得八千八百万列左(分母相乘为母母互/乘子只是通分之法)
(妙在以分共母乘其和数而零/数皆为整用矣此用法之妙)
上 中 下
历算全书 卷四十一 第 5a 页 WYG0794-0897c.png
依法乘减馀丁四百四十为法 八亿八千万为实
以法除实得二百万为丁数以丁四十计八千万减八千
八百万馀八百万以甲二十除之得四十万为甲数
此变零为整法也(原列整数故所/得即为整数)
又法以甲分母四除之三得七分五秒以丁分母五除
之二得四分列之则其馀数皆不变
历算全书 卷四十一 第 5b 页 WYG0794-0897d.png
左甲一乘右行皆如原数 右甲○七分五秒乘左
行各得四分之三甲各○七分五秒尽减 丁馀一
一(上一整数下一一/分乃十分之一)为法共数减馀二百二十万为
实 法除实得二百万为丁数 以丁数倍之减共
数馀四十万即为甲数
此除零附整法也(零分既除为分秒则乘除之际/皆以整数为主故所得亦即为)
历算全书 卷四十一 第 6a 页 WYG0794-0898a.png
(整/数)
今有甲乙二数不知总但云取乙五之三又取乙四之
一以益甲则甲之数倍取甲三之二又取甲七之二
以与乙较则乙多数二百四十问甲乙本数各几何
答曰甲本数一千○七十一 乙本数一千二百六
十
法以较数带分取之 本二色也却有三位以分母通
之仍二位也 先以乙分母(五/四)相乘得二十以当乙
今有甲乙二数不知总但云取乙五之三又取乙四之
一以益甲则甲之数倍取甲三之二又取甲七之二
以与乙较则乙多数二百四十问甲乙本数各几何
答曰甲本数一千○七十一 乙本数一千二百六
十
法以较数带分取之 本二色也却有三位以分母通
之仍二位也 先以乙分母(五/四)相乘得二十以当乙
历算全书 卷四十一 第 6b 页 WYG0794-0898b.png
之全数 又以分母五互乘分子一得五以分母四
互乘分子三得十二并之得十七以当乙所益甲之
分 是为乙二十分之十七以益甲也
次以甲分母(三/七)相乘得二十一以当甲之全数 又
以分母三互乘分子二得六以分母七互乘分子二
得十四并之共二十以当甲所与乙较之分 是为
甲二十一分之二十以与乙较也
于是分正负列位
互乘分子三得十二并之得十七以当乙所益甲之
分 是为乙二十分之十七以益甲也
次以甲分母(三/七)相乘得二十一以当甲之全数 又
以分母三互乘分子二得六以分母七互乘分子二
得十四并之共二十以当甲所与乙较之分 是为
甲二十一分之二十以与乙较也
于是分正负列位
历算全书 卷四十一 第 7a 页 WYG0794-0898c.png
依较数法乘减 乙馀八十分为法 负数无减就
以五千○四十为实 法除实得六十三为乙之一
分 以乙全分二十乘之得一千二百六十为乙本
数 乙本数同减负二百四十馀一千○二十即甲
与乙较之分也以左行甲之二十分除之得五十一
为甲之一分以甲全分二十一乘之得一千○七十
历算全书 卷四十一 第 7b 页 WYG0794-0898d.png
一为甲本数
乃细考之 置乙本数(三/)因(五/)除之得七百五十六
为五之三 又置一本数(四/)除之得三百一十五为
四之一 并两数共一千○七十一则与甲数同故
以此益甲而甲倍也 置甲本数(二/)因(三/)除之得七
百一十四为三之二 又置甲本数(二/)因(七/)除之得
三百○六为七之二 并两数共一千○二十以此
较乙则不及二百四十
乃细考之 置乙本数(三/)因(五/)除之得七百五十六
为五之三 又置一本数(四/)除之得三百一十五为
四之一 并两数共一千○七十一则与甲数同故
以此益甲而甲倍也 置甲本数(二/)因(三/)除之得七
百一十四为三之二 又置甲本数(二/)因(七/)除之得
三百○六为七之二 并两数共一千○二十以此
较乙则不及二百四十
历算全书 卷四十一 第 8a 页 WYG0794-0899a.png
此只是以乙之分与甲较又以甲之分与乙较也末
卷所列诸率则是以乙之分益甲而转与乙所存之
分相较又以甲之分益乙而转与甲所存之数相较
故自不同合而观之则见
今有宝泉宝源二局铸钱不知总但云取宝源五之四
又四之三以益宝泉则宝泉之数倍 若取宝泉三
之二以与宝源较则多于宝源四十二贯
答曰宝泉原数一千九百五十三贯 宝源原数一
卷所列诸率则是以乙之分益甲而转与乙所存之
分相较又以甲之分益乙而转与甲所存之数相较
故自不同合而观之则见
今有宝泉宝源二局铸钱不知总但云取宝源五之四
又四之三以益宝泉则宝泉之数倍 若取宝泉三
之二以与宝源较则多于宝源四十二贯
答曰宝泉原数一千九百五十三贯 宝源原数一
历算全书 卷四十一 第 8b 页 WYG0794-0899b.png
千二百六十贯
法先以宝源分母(五/四)相乘得二十分为全数 又以分
母五互乘分子(三/)得十五分母(四/)互乘分子(四/)得十
六并之共三十一分为宝源所以益宝泉之分 全
数二十分所用以益宝泉者反有三十一分是为以
宝源全数又二十分之十一以益宝泉也 其宝泉
只一分母故不用乘并
乃列位
法先以宝源分母(五/四)相乘得二十分为全数 又以分
母五互乘分子(三/)得十五分母(四/)互乘分子(四/)得十
六并之共三十一分为宝源所以益宝泉之分 全
数二十分所用以益宝泉者反有三十一分是为以
宝源全数又二十分之十一以益宝泉也 其宝泉
只一分母故不用乘并
乃列位
历算全书 卷四十一 第 9a 页 WYG0794-0899c.png
如法乘减 中位馀二分为法 下位馀一百二十
六贯为实
法除实得六十三贯为宝源局二十分之一分 以分
母二十乘之得一千二百六十贯为宝源数 以宝
源数异加正四十二贯共一千三百○二贯即宝泉
局三分之二也于是以分子之二除以分母三乘得
历算全书 卷四十一 第 9b 页 WYG0794-0899d.png
一千九百五十三贯为宝泉数(置宝源数四因五除/之得一千○八为五)
(分之四又置宝源数三因四除之得九百四十五为/四之三并两数亦恰得一千九百五十三贯如宝泉)
(数以加宝泉是/为宝泉者倍也)
论曰乘得数后宝泉分数同惟右行之宝源多于左行
者二分而遂能与宝泉等若左行之宝源少此二分
而其少于宝泉者遂一百二十六贯然则此一百二
十六贯者正是宝源之二分矣(知分数即知全数/知宝源即知宝泉)
此二则皆化整为零而分母不同也
(分之四又置宝源数三因四除之得九百四十五为/四之三并两数亦恰得一千九百五十三贯如宝泉)
(数以加宝泉是/为宝泉者倍也)
论曰乘得数后宝泉分数同惟右行之宝源多于左行
者二分而遂能与宝泉等若左行之宝源少此二分
而其少于宝泉者遂一百二十六贯然则此一百二
十六贯者正是宝源之二分矣(知分数即知全数/知宝源即知宝泉)
此二则皆化整为零而分母不同也
历算全书 卷四十一 第 10a 页 WYG0794-0900a.png
今有货泉刀贝四种之币各不知数但云泉八之一兼
刀布七之二则如货数也 若刀布七之三兼贝六
之四则其数如泉也若贝六之五又外加数八千九
百七十则如刀布也 若货数自加九之一则其数
如贝也问本数各几何
答曰货五千一百三十 泉九千六百八十
刀布一万三千七百二十 贝五千七百
法以各分母通其原数然后以正负列之 货分母九
刀布七之二则如货数也 若刀布七之三兼贝六
之四则其数如泉也若贝六之五又外加数八千九
百七十则如刀布也 若货数自加九之一则其数
如贝也问本数各几何
答曰货五千一百三十 泉九千六百八十
刀布一万三千七百二十 贝五千七百
法以各分母通其原数然后以正负列之 货分母九
历算全书 卷四十一 第 10b 页 WYG0794-0900b.png
泉分母八 刀布分母七 贝分母六 (丁行货/合数一)
(又九分之一共十是为九分/之十凡全数带分者准此)
先以甲行货正九分为法遍乘丁行得数 又以丁
行货负十分为法遍乘甲行得数(因首位异名故变/一行以相从而以)
(又九分之一共十是为九分/之十凡全数带分者准此)
先以甲行货正九分为法遍乘丁行得数 又以丁
行货负十分为法遍乘甲行得数(因首位异名故变/一行以相从而以)
历算全书 卷四十一 第 11a 页 WYG0794-0900c.png
(丁从/甲)乃以甲丁两行得数相减 货同减尽 甲行
泉负十分刀布负二十分皆无对不减 丁行贝负
五十四分亦无对不减 下适足无乘无减仍为适
足
乃以泉刀同名在甲行者为一类 贝同名在丁行
者为一类分正负重列而求之(丁行之负甲/行之正也)
因馀行已无货位当以泉为乘法寻乙行中有泉径用
与减馀相对
泉负十分刀布负二十分皆无对不减 丁行贝负
五十四分亦无对不减 下适足无乘无减仍为适
足
乃以泉刀同名在甲行者为一类 贝同名在丁行
者为一类分正负重列而求之(丁行之负甲/行之正也)
因馀行已无货位当以泉为乘法寻乙行中有泉径用
与减馀相对
历算全书 卷四十一 第 11b 页 WYG0794-0900d.png
如法遍乘得数乃相减并 泉同减尽 刀布异并
得(正/)一百九十分 贝同减馀负三百九十二分
以减馀为主命其正负而重列之
因馀行又已无泉当以刀布为乘法寻丙行有刀布径
用与减馀相对
上 中 下
历算全书 卷四十一 第 12a 页 WYG0794-0901a.png
如法遍乘得数 刀布同减尽贝同减馀一千七百
九十四分为法正一百七十万四千三百无减就为
实 法除实得九百五十为负之一分 以丙行贝
之五分该四千七百五十异加正八千九百七十共
一万三千七百二十为刀布原数 以刀布分母七
除原数得一千九百六十为刀布之一分 以刀布
历算全书 卷四十一 第 12b 页 WYG0794-0901b.png
之三分该五千八百八十贝之四分该三千八百并
之得九千六百八十为泉数(用乙/行也)以泉分母八除泉
数得一千二百一十为泉之一分 以泉之一分加
刀布之二分三千九百二十共五千一百三十为货数
(用甲/行也)以货分母九除货数得五百七十为货之一分
以货数加一分共五千七百为贝数(用丁/行也)
甲丁两行乘减论曰既互乘则甲丁之货等而甲行之
泉若刀布及丁行之贝又各与其首位之货等则甲
之得九千六百八十为泉数(用乙/行也)以泉分母八除泉
数得一千二百一十为泉之一分 以泉之一分加
刀布之二分三千九百二十共五千一百三十为货数
(用甲/行也)以货分母九除货数得五百七十为货之一分
以货数加一分共五千七百为贝数(用丁/行也)
甲丁两行乘减论曰既互乘则甲丁之货等而甲行之
泉若刀布及丁行之贝又各与其首位之货等则甲
历算全书 卷四十一 第 13a 页 WYG0794-0901c.png
之泉若刀布必与丁之贝等也故对减去货而径以
甲之泉若刀布与丁之贝分正负而命之适足也
此即西学中比例之理然方程中自有之且简快如
此
乙行减并论曰左右两行之正负皆适足若于右正数
内减左正右负数内减左负其所馀者亦必适足也
今右正内既减去同名之泉右负内又减去同名之
贝而左负内有刀布不与右同名不能相减故反用
甲之泉若刀布与丁之贝分正负而命之适足也
此即西学中比例之理然方程中自有之且简快如
此
乙行减并论曰左右两行之正负皆适足若于右正数
内减左正右负数内减左负其所馀者亦必适足也
今右正内既减去同名之泉右负内又减去同名之
贝而左负内有刀布不与右同名不能相减故反用
历算全书 卷四十一 第 13b 页 WYG0794-0901d.png
以加加则正数多正数多则负数少而其数亦必适
足矣
又论曰隔行之异名乃同名也今两行之正与负既皆
适足若以左之正(泉/)益右之负(贝/)而共为负以左之
负(刀布/贝)益右之正(泉刀/布)而共为正则亦适足也于是
以两者(右泉刀布左刀布贝为/一类左泉右贝为一类)对减其相同之物(泉/各)
(减八十分贝/各减四十分)则其所馀之物必亦适足也(左右刀布/为正右贝)
(减馀/为负)
足矣
又论曰隔行之异名乃同名也今两行之正与负既皆
适足若以左之正(泉/)益右之负(贝/)而共为负以左之
负(刀布/贝)益右之正(泉刀/布)而共为正则亦适足也于是
以两者(右泉刀布左刀布贝为/一类左泉右贝为一类)对减其相同之物(泉/各)
(减八十分贝/各减四十分)则其所馀之物必亦适足也(左右刀布/为正右贝)
(减馀/为负)
历算全书 卷四十一 第 14a 页 WYG0794-0902a.png
又论曰右行刀布正数也正多于负之数也左行刀布
负数也正少于负之数也合此二数则是右正之多
于左正者此两行之刀布也然刀布之数右正虽多
于左正而贝之数右负亦多于左负故两行皆适足
也然则右正之所多与右负之所多亦必相当适足
矣
丙行乘减论曰刀布本同惟右之贝多于左右之贝多
则左之贝少左之贝少则刀布多矣然则左之刀布
负数也正少于负之数也合此二数则是右正之多
于左正者此两行之刀布也然刀布之数右正虽多
于左正而贝之数右负亦多于左负故两行皆适足
也然则右正之所多与右负之所多亦必相当适足
矣
丙行乘减论曰刀布本同惟右之贝多于左右之贝多
则左之贝少左之贝少则刀布多矣然则左之刀布
历算全书 卷四十一 第 14b 页 WYG0794-0902b.png
布独有盈数者正是此相差之贝也
此亦化整为零而又有整带零(四色有空/之例也)
问品官月俸六品为五品八之五七品为六品四之三
八品为七品十五之十三九品为七品十五之十一
倍九品加八品六品七品各一则如五品之倍数而
多三石各若干
法以分母各通其原数而正负列之 五品通为八
六品通为四 七品通为十五 八品九品以全数
此亦化整为零而又有整带零(四色有空/之例也)
问品官月俸六品为五品八之五七品为六品四之三
八品为七品十五之十三九品为七品十五之十一
倍九品加八品六品七品各一则如五品之倍数而
多三石各若干
法以分母各通其原数而正负列之 五品通为八
六品通为四 七品通为十五 八品九品以全数
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原无分母故也(五品倍则/为十六)
先以甲行五品十六分遍乘乙行五品六品得数(馀/空)
(位无/乘) 次以乙行五品五分遍乘甲行得数 乃对
先以甲行五品十六分遍乘乙行五品六品得数(馀/空)
(位无/乘) 次以乙行五品五分遍乘甲行得数 乃对
历算全书 卷四十一 第 15b 页 WYG0794-0902d.png
减 五品各八十分同名对减尽 六品同名对减
馀四十四分乙行之负物也为乙类
七品八品九品并禄米较数皆无对不减皆甲行之负
物负数也为一类 分正负列之与丙行相对
如法以减馀六品分遍乘丙行六品七品分得数(馀/空)
(无/乘)
馀四十四分乙行之负物也为乙类
七品八品九品并禄米较数皆无对不减皆甲行之负
物负数也为一类 分正负列之与丙行相对
如法以减馀六品分遍乘丙行六品七品分得数(馀/空)
(无/乘)
历算全书 卷四十一 第 16a 页 WYG0794-0903a.png
又以丙行六品分遍乘减馀得数 乃以对减 六
品得数各一百三十二分同名减尽 七品同名减
馀四百三十五分丙行之负物也自为一类 其馀
三位无减皆减馀之负物负数也共为一类 分正
负列之与丁行相对
又因丁戊两行皆有七品是多一算也乃更置之以
八品列首位
上 中 下
品得数各一百三十二分同名减尽 七品同名减
馀四百三十五分丙行之负物也自为一类 其馀
三位无减皆减馀之负物负数也共为一类 分正
负列之与丁行相对
又因丁戊两行皆有七品是多一算也乃更置之以
八品列首位
上 中 下
历算全书 卷四十一 第 16b 页 WYG0794-0903b.png
如法以丁行八品负一遍乘减馀皆如故(首行同名/故两行之)
(正负亦/皆不变)又以减馀八品负十五分遍乘丁行八品七
品得数 乃对减 八品同减尽 七品同减馀二
百四十分右行之正物也为一类 九品三十无减
禄米四十五石亦无减皆右行之负物负数也同
名共为一类 乃分正负重列之与戊行相对
历算全书 卷四十一 第 17a 页 WYG0794-0903c.png
如法以左右七品分互遍乘得数(首行同名故两行/之正负皆不变)
七品同减尽 九品同减馀九十为法 禄米四
百九十五石无减就为实 法除实得五石五斗为
九品月俸 置九品俸以相当之七品之十一分除
之得五斗为七品月俸十五分之一而以与八品相
当之十三乘之得六石五斗为八品月俸 又以七
历算全书 卷四十一 第 17b 页 WYG0794-0903d.png
品之分母十五乘其一分得七石五斗为七品月俸
又置七品俸以相当之六品之三分除之得二石
五斗为六品四之一而以其分母四乘之得十石为
六品月俸 置六品俸以相当之五品之五分除之
得二石为五品八之一而以其分母八乘之得十六
石为五品月俸
计开 五品每月十六石 六品每月十石 七
品每月七石五斗 八品每月六石五斗 九品
又置七品俸以相当之六品之三分除之得二石
五斗为六品四之一而以其分母四乘之得十石为
六品月俸 置六品俸以相当之五品之五分除之
得二石为五品八之一而以其分母八乘之得十六
石为五品月俸
计开 五品每月十六石 六品每月十石 七
品每月七石五斗 八品每月六石五斗 九品
历算全书 卷四十一 第 18a 页 WYG0794-0904a.png
每月五石五斗
论曰此所列有二种 六品通为四分者问原云四之
三是可以四分者也七品通为十五分者原云十五
之十三之十一是可以十五分者也五品通为十六
分者原云八之五是可以八分者也又倍之而十六
则为八分者二矣此皆以分立算化整从零之法也
八品则只是原数九品亦是原数而又有倍数然
只是原数之倍非如五品倍其分也此两者皆不用
论曰此所列有二种 六品通为四分者问原云四之
三是可以四分者也七品通为十五分者原云十五
之十三之十一是可以十五分者也五品通为十六
分者原云八之五是可以八分者也又倍之而十六
则为八分者二矣此皆以分立算化整从零之法也
八品则只是原数九品亦是原数而又有倍数然
只是原数之倍非如五品倍其分也此两者皆不用
历算全书 卷四十一 第 18b 页 WYG0794-0904b.png
分只用整 合而言之乃零整杂用之法也 零与
整杂似不伦矣然乘除得数则同 但用分者所得
数亦为一分之数故必以分母乘之乃合原数而其
原不用分者得即原数更不须乘能知此理则用分
无误矣
甲乙两行论曰两行正数内五品本同而甲有负多于
正之较乙则无有是此较数乃甲负多于乙负之较
也于是以两负相减以去其同之分而观其所不同
整杂似不伦矣然乘除得数则同 但用分者所得
数亦为一分之数故必以分母乘之乃合原数而其
原不用分者得即原数更不须乘能知此理则用分
无误矣
甲乙两行论曰两行正数内五品本同而甲有负多于
正之较乙则无有是此较数乃甲负多于乙负之较
也于是以两负相减以去其同之分而观其所不同
历算全书 卷四十一 第 19a 页 WYG0794-0904c.png
之处则甲有诸品而乙惟六品之减馀然则甲负之
独多此较者乃甲诸品多于乙六品减馀之较矣
丙行乘减论曰两得数对减而六品减尽是其数同也
其与六品为正负者又减去相同之七品分而左仍
馀七品之馀分右仍馀诸品之全分则是两行诸数
皆同而惟此二者有差也然则右之独有盈于六品
之较者正此二者之差数也
丁行论曰两行对减而于负数内减去相同之八品惟
独多此较者乃甲诸品多于乙六品减馀之较矣
丙行乘减论曰两得数对减而六品减尽是其数同也
其与六品为正负者又减去相同之七品分而左仍
馀七品之馀分右仍馀诸品之全分则是两行诸数
皆同而惟此二者有差也然则右之独有盈于六品
之较者正此二者之差数也
丁行论曰两行对减而于负数内减去相同之八品惟
历算全书 卷四十一 第 19b 页 WYG0794-0904d.png
馀九品于正数内减去相同之七品分惟馀七品之
馀分然则右行负数独有盈于正数者正是右行九
品与其七品馀分之较也何也与之对减者乃左行
适足之数故于较数无关也(重列三/次皆然)
戊行论曰右行内减去左行适足数惟馀九品数则其
下盈数必所馀九品之数也 此条递减归一其理
较明学者玩之
此零整杂列也亦五色方程有空例也有减无并
馀分然则右行负数独有盈于正数者正是右行九
品与其七品馀分之较也何也与之对减者乃左行
适足之数故于较数无关也(重列三/次皆然)
戊行论曰右行内减去左行适足数惟馀九品数则其
下盈数必所馀九品之数也 此条递减归一其理
较明学者玩之
此零整杂列也亦五色方程有空例也有减无并
历算全书 卷四十一 第 20a 页 WYG0794-0905a.png
可悟偶加奇减之非
问有物一百七十四以三人分之乙所分如甲七之三
仍不足单六丙所分如乙七之三而多二数各几何
答曰甲数一百一十二 乙数四十二 丙数二十
(甲数三因七除得四十八多于乙数六/乙数三因七除之得十八少于丙数二)
法列位 以甲乙分母七化整为零 丙无分仍用整
问有物一百七十四以三人分之乙所分如甲七之三
仍不足单六丙所分如乙七之三而多二数各几何
答曰甲数一百一十二 乙数四十二 丙数二十
(甲数三因七除得四十八多于乙数六/乙数三因七除之得十八少于丙数二)
法列位 以甲乙分母七化整为零 丙无分仍用整
历算全书 卷四十一 第 20b 页 WYG0794-0905b.png
(○/) 乙之三分(正/) 丙一(负/)负二(此行无甲数存与减馀重列/)
此三色有空先以和较杂法用两行甲互遍乘之
和数甲全分七乘较行得数(依其/正负)以较数甲正三分
乘和行得数(从乘法皆/命为正) 甲各二十一分同减尽
乙异并七十分(正/)丙三无减(正/)下数同减馀四百八
十(正/)皆同名不分正负以和数重列与第三行较数
求之
上 中 下
此三色有空先以和较杂法用两行甲互遍乘之
和数甲全分七乘较行得数(依其/正负)以较数甲正三分
乘和行得数(从乘法皆/命为正) 甲各二十一分同减尽
乙异并七十分(正/)丙三无减(正/)下数同减馀四百八
十(正/)皆同名不分正负以和数重列与第三行较数
求之
上 中 下
历算全书 卷四十一 第 21a 页 WYG0794-0905c.png
如法互乘减并 乙同减尽 丙异并七十九为法
下数异并一千五百八十为实 法除实得二十
为丙数 丙数同减负二得一十八为乙七之三乃
以三分除之得六为乙七之一以分母七乘之得四
十二为乙数 乙数异加正六共四十八当甲七之
三乃以三分除之得十六为甲七之一以甲分母七
历算全书 卷四十一 第 21b 页 WYG0794-0905d.png
乘之得一百一十二为甲数 此亦零整杂用之法
也
若依变零从整法则以分子母倒位列之其正负以分
母乘之乃与和数列而求之
论曰倒位何也非倒位也分母遍乘则然也以分母七
乘子三而皆七之则为三分者七为三分七是为全
全数者三矣而其所当者全数也七之则为全数者
七矣是乙以全数当甲七之三者七乘之则七乙当
也
若依变零从整法则以分子母倒位列之其正负以分
母乘之乃与和数列而求之
论曰倒位何也非倒位也分母遍乘则然也以分母七
乘子三而皆七之则为三分者七为三分七是为全
全数者三矣而其所当者全数也七之则为全数者
七矣是乙以全数当甲七之三者七乘之则七乙当
历算全书 卷四十一 第 22a 页 WYG0794-0906a.png
三甲也故如倒位然皆全数也非分也故非倒位
正负亦分母乘何也乙一当甲七之三而少六则七
乙当三甲而共少七个六为四十二也丙一当乙七
之三而多二则七丙当三乙而共多七个二为十四也
正负亦分母乘何也乙一当甲七之三而少六则七
乙当三甲而共少七个六为四十二也丙一当乙七
之三而多二则七丙当三乙而共多七个二为十四也
历算全书 卷四十一 第 22b 页 WYG0794-0906b.png
如法以前两行遍乘减并又重列之与第三行遍乘
减并 乙减尽丙异并七十九为法 下数异并一
千五百八十为实 法除实得二十为丙数
七因丙数得一百四十同减负十四馀一百二十六
以乙三除之得四十二为乙数
七因乙数得二百九十四异加正四十二共三百三
十六以甲三除之得一百一十二为甲数
此变零从整而分母同者也亦有分母不同但取
减并 乙减尽丙异并七十九为法 下数异并一
千五百八十为实 法除实得二十为丙数
七因丙数得一百四十同减负十四馀一百二十六
以乙三除之得四十二为乙数
七因乙数得二百九十四异加正四十二共三百三
十六以甲三除之得一百一十二为甲数
此变零从整而分母同者也亦有分母不同但取
历算全书 卷四十一 第 23a 页 WYG0794-0906c.png
其本一行中所用之分母遍乘本行以为用不必
齐同如后条
问有数不知总以三人分之亦不知各所分之数但云
甲如乙丙共数二之一乙如甲丙三之二丙如甲乙
四之三而不足四又四分之一总数分数各几何
答曰总数十五 甲五 乙六 丙四 乙丙共十
其二之一则五如甲 甲丙共九其三之二则六如
乙 甲乙共十一其四之三则八叉四之一以丙相
齐同如后条
问有数不知总以三人分之亦不知各所分之数但云
甲如乙丙共数二之一乙如甲丙三之二丙如甲乙
四之三而不足四又四分之一总数分数各几何
答曰总数十五 甲五 乙六 丙四 乙丙共十
其二之一则五如甲 甲丙共九其三之二则六如
乙 甲乙共十一其四之三则八叉四之一以丙相
历算全书 卷四十一 第 23b 页 WYG0794-0906d.png
较不足四又四之一也
法曰此各行分母不同(如甲有三之二又有四之三乙/有二之一又有四之三丙有二)
(之一又有三之/二皆有两分母)宜用变零从整之法以不同同之(用/分)
(则不同变而用整/则不同而同矣)以分母各遍乘其本行而列之
右行分母二 中行三左行四
法曰此各行分母不同(如甲有三之二又有四之三乙/有二之一又有四之三丙有二)
(之一又有三之/二皆有两分母)宜用变零从整之法以不同同之(用/分)
(则不同变而用整/则不同而同矣)以分母各遍乘其本行而列之
右行分母二 中行三左行四
历算全书 卷四十一 第 24a 页 WYG0794-0907a.png
如法互乘减并以三色较数变为二色而重列之(虽/减)
(并不同皆仍为/较数不变宜玩)
如法互乘 乙同减尽 丙同减馀负三十四为法
正一百三十六无减就为实 法除实得四为丙
数 六乘丙数得二十四以相当适足之四乙除之
得六为乙数 以原列右行乙丙各一共十以相当
(并不同皆仍为/较数不变宜玩)
如法互乘 乙同减尽 丙同减馀负三十四为法
正一百三十六无减就为实 法除实得四为丙
数 六乘丙数得二十四以相当适足之四乙除之
得六为乙数 以原列右行乙丙各一共十以相当
历算全书 卷四十一 第 24b 页 WYG0794-0907b.png
适足之甲二除之得五为甲数
论曰甲为乙丙二之一则是二甲当一乙一丙也皆二
因之也 乙为甲丙三之二则是三乙当二甲二丙
也皆三因之也 丙为甲乙四之三而不足四又四
之一则是四丙以当三甲三乙而不足十七也皆四
因之也(甲乙丙各有两分母若化整为零当以分母矣/相乘为原数母互乘子为所用之分殊多事)
二因甲得二二因乙丙二之一得乙丙各一
三因乙得三三因甲丙三之二得甲丙各二
论曰甲为乙丙二之一则是二甲当一乙一丙也皆二
因之也 乙为甲丙三之二则是三乙当二甲二丙
也皆三因之也 丙为甲乙四之三而不足四又四
之一则是四丙以当三甲三乙而不足十七也皆四
因之也(甲乙丙各有两分母若化整为零当以分母矣/相乘为原数母互乘子为所用之分殊多事)
二因甲得二二因乙丙二之一得乙丙各一
三因乙得三三因甲丙三之二得甲丙各二
历算全书 卷四十一 第 25a 页 WYG0794-0907c.png
四因丙得四四因甲乙四之三得甲乙各三四因正
四又四之一得正十七(以一丙与甲乙四之三较不/足四又四之一若以四丙与)
(四个甲乙四之三较亦不足四/个四又四个四之一是为十七)
问有数九百六十以四人差等分之乙与甲如二与八
丙与乙如三与七丁与丙如四与六各几何
答曰甲六百七十二 乙一百六十八 丙七十二
丁四十八
法以共数命为和相当数命为较依和较杂法列之
四又四之一得正十七(以一丙与甲乙四之三较不/足四又四之一若以四丙与)
(四个甲乙四之三较亦不足四/个四又四个四之一是为十七)
问有数九百六十以四人差等分之乙与甲如二与八
丙与乙如三与七丁与丙如四与六各几何
答曰甲六百七十二 乙一百六十八 丙七十二
丁四十八
法以共数命为和相当数命为较依和较杂法列之
历算全书 卷四十一 第 25b 页 WYG0794-0907d.png
乙二而甲八是乙得甲八之二故八乙可当二甲也
丙三而乙七是丙得乙七之三故七丙可当三乙也
丁四而丙六是丁得丙六之四故六丁可当四丙也
(推此知二八三七四六各/种差分皆可以方程御之)
丙三而乙七是丙得乙七之三故七丙可当三乙也
丁四而丙六是丁得丙六之四故六丁可当四丙也
(推此知二八三七四六各/种差分皆可以方程御之)
历算全书 卷四十一 第 26a 页 WYG0794-0908a.png
首次两行如法互乘减并讫重列之取出第三行与
之为耦
如法减并讫又重列之(两次减馀皆和数/可见立负之非)
又取末行与之为耦而列之
之为耦
如法减并讫又重列之(两次减馀皆和数/可见立负之非)
又取末行与之为耦而列之
历算全书 卷四十一 第 26b 页 WYG0794-0908b.png
如法乘 丙减尽 丁并得四百八十为法 正二
万三千○四十无减就为实 法除实得四十八为
丁数 六因丁数得二百八十八以相当之四丙除
之得七十二为丙数 七因丙数得五百○四以相
当之三乙除之得一百六十八为乙数 八因乙数
得一千三百四十四以相当之二甲除之得六百七
十二为甲数
试以甲并乙共八百四十以八因之得甲数若二因亦
万三千○四十无减就为实 法除实得四十八为
丁数 六因丁数得二百八十八以相当之四丙除
之得七十二为丙数 七因丙数得五百○四以相
当之三乙除之得一百六十八为乙数 八因乙数
得一千三百四十四以相当之二甲除之得六百七
十二为甲数
试以甲并乙共八百四十以八因之得甲数若二因亦
历算全书 卷四十一 第 27a 页 WYG0794-0908c.png
得乙数是乙数甲二八差分也 试以丙并乙共二
百四十以七因之得乙数若三因亦得丙数是丙与
乙三七差分也 并丙丁共一百二十以六因之得
丙数若四因亦得丁数是丁与丙四六差分也
又试以八除甲数得八十四以二除乙数亦得八十四
若以八十四除甲数必得八以八十四除乙数必得
二也 又试以七除乙数以三除丙数皆得二十四
若以二十四除乙数必得七除丙数必得三也 以
百四十以七因之得乙数若三因亦得丙数是丙与
乙三七差分也 并丙丁共一百二十以六因之得
丙数若四因亦得丁数是丁与丙四六差分也
又试以八除甲数得八十四以二除乙数亦得八十四
若以八十四除甲数必得八以八十四除乙数必得
二也 又试以七除乙数以三除丙数皆得二十四
若以二十四除乙数必得七除丙数必得三也 以
历算全书 卷四十一 第 27b 页 WYG0794-0908d.png
六除丙数以四除丁数皆得十二若以十二除丙数
必得六除丁数必得四也
问有数七百四十一以四人分之乙于甲为三之二丙
于乙为五之三丁于丙为七之五各几何
答曰甲三百一十五 乙二百一十 丙一百二十
六 丁九十
法曰乙得甲三之二是三乙当二甲也丙得乙五之三
是五丙当三乙也丁得丙七之五是七丁当五丙也
必得六除丁数必得四也
问有数七百四十一以四人分之乙于甲为三之二丙
于乙为五之三丁于丙为七之五各几何
答曰甲三百一十五 乙二百一十 丙一百二十
六 丁九十
法曰乙得甲三之二是三乙当二甲也丙得乙五之三
是五丙当三乙也丁得丙七之五是七丁当五丙也
历算全书 卷四十一 第 28a 页 WYG0794-0909a.png
故皆命以适足而列之
先以孟仲两行如法互乘减并讫列其馀数取出叔行相对
先以孟仲两行如法互乘减并讫列其馀数取出叔行相对
历算全书 卷四十一 第 28b 页 WYG0794-0909b.png
如法减并又列其馀与季行相较
如法减并 丁二百四十七为法 正二万二千二
百三十为实 法除实得九十为丁数
七因丁数五除之得一百二十六为丙数 五因
丙数三除之得二百一十为乙数 三因乙数二除
之得三百一十五为甲数
如法减并 丁二百四十七为法 正二万二千二
百三十为实 法除实得九十为丁数
七因丁数五除之得一百二十六为丙数 五因
丙数三除之得二百一十为乙数 三因乙数二除
之得三百一十五为甲数
历算全书 卷四十一 第 29a 页 WYG0794-0909c.png
问有数七百四十一以四人分之乙如甲三之二丙如
甲五之二丁如甲七之二各几何
因前问中有叠数故作此问以互明之
乙三当甲二而丙五又当乙三是丙五亦当甲二也
丙五当甲二而丁七又当丙五是丁七亦当甲二也
(又丁七亦当乙三今/云两者以甲为主也)
在西法谓之连比例
上 中 下
甲五之二丁如甲七之二各几何
因前问中有叠数故作此问以互明之
乙三当甲二而丙五又当乙三是丙五亦当甲二也
丙五当甲二而丁七又当丙五是丁七亦当甲二也
(又丁七亦当乙三今/云两者以甲为主也)
在西法谓之连比例
上 中 下
历算全书 卷四十一 第 29b 页 WYG0794-0909d.png
首行互乘次行如故 次行乘首行皆二之甲减尽
乙异并得五(正/)丙二(正/)丁二(正/)正一千四百八十
二皆无减(皆仍为和同名/在一行故也)
次行乘三行因两首位同不用乘竟以对减 甲减
历算全书 卷四十一 第 30a 页 WYG0794-0910a.png
尽乙三(次行/负也)丙五(三行/负也)皆无减命为正负适足(同名在两行/故为较数)
三行末行首位亦同亦径减 甲减尽 乙空 丙
五(三行/负也)丁七(末行/负也)皆亦无减命为正负适足(亦同名/在两行)
乃以减馀重列之如三色有空之法
三行末行首位亦同亦径减 甲减尽 乙空 丙
五(三行/负也)丁七(末行/负也)皆亦无减命为正负适足(亦同名/在两行)
乃以减馀重列之如三色有空之法
历算全书 卷四十一 第 30b 页 WYG0794-0910b.png
如法减并得二百四十七为法二万二千二百三十
为实 法除实得丁数以次求得甲乙丙数皆如前
问之数
问有米三百八十五石五斗二升令二等人户以四六
差分出之甲上等二十六户乙下等四十户下户出
率则如上户六之四
答曰上户各七百三斗二升 二十六户共一百九
十石○三斗二升 下户各四石八斗八升 四十
为实 法除实得丁数以次求得甲乙丙数皆如前
问之数
问有米三百八十五石五斗二升令二等人户以四六
差分出之甲上等二十六户乙下等四十户下户出
率则如上户六之四
答曰上户各七百三斗二升 二十六户共一百九
十石○三斗二升 下户各四石八斗八升 四十
历算全书 卷四十一 第 31a 页 WYG0794-0910c.png
户共一百九十五石二斗
法以和较列位
如法互乘得四 甲同减尽 乙异并三百一十六
户为法 米一千五百四十二石○八升无减就为
实 法除实得四石八斗八升为下等户则例 以
下等六户乘其则例得二十九石二斗八升以相当
法以和较列位
如法互乘得四 甲同减尽 乙异并三百一十六
户为法 米一千五百四十二石○八升无减就为
实 法除实得四石八斗八升为下等户则例 以
下等六户乘其则例得二十九石二斗八升以相当
历算全书 卷四十一 第 31b 页 WYG0794-0910d.png
之上等四户除之得七石三斗二升为上等户则例
问有米三百一十七石给与四色人户甲二十户乙三
十户丙四十户丁五十户丁每户如丙户七之三丙
每户如乙户六之四乙每户如甲户八之二各几何
答曰甲每户八石四斗 二十户共一百六十八石
乙每户二石一斗 三十户共六十三石
丙每户一石四斗 四十户共五十六石
丁每户六斗 五十户共三十石
问有米三百一十七石给与四色人户甲二十户乙三
十户丙四十户丁五十户丁每户如丙户七之三丙
每户如乙户六之四乙每户如甲户八之二各几何
答曰甲每户八石四斗 二十户共一百六十八石
乙每户二石一斗 三十户共六十三石
丙每户一石四斗 四十户共五十六石
丁每户六斗 五十户共三十石
历算全书 卷四十一 第 32a 页 WYG0794-0911a.png
法列位
首行甲二十户十倍于次行甲正二但以首行甲退
一位作二则齐同矣甲退十为单其下各位皆退十
为单即如互遍乘而可以对减矣
首行甲二十户十倍于次行甲正二但以首行甲退
一位作二则齐同矣甲退十为单其下各位皆退十
为单即如互遍乘而可以对减矣
历算全书 卷四十一 第 32b 页 WYG0794-0911b.png
乃以减并之馀重与第三行列之
又以减并之馀重与第四行列之
依法求得六百三十四为法 三百八十石○四斗
为实 法除实得六斗为丁户则例 七因丁则得
又以减并之馀重与第四行列之
依法求得六百三十四为法 三百八十石○四斗
为实 法除实得六斗为丁户则例 七因丁则得
历算全书 卷四十一 第 33a 页 WYG0794-0911c.png
四石二斗丙三除之得一石四斗为丙则 六因丙
则四除之得二石一斗为乙则 四因乙则得八石
四斗为甲则
(此条有省算/法说见后卷)
此上数条皆变零从整法也
有两数相较而为十之八十之七者即非二八三七
差分也有二例见末卷
璎珞方程例
则四除之得二石一斗为乙则 四因乙则得八石
四斗为甲则
(此条有省算/法说见后卷)
此上数条皆变零从整法也
有两数相较而为十之八十之七者即非二八三七
差分也有二例见末卷
璎珞方程例
历算全书 卷四十一 第 33b 页 WYG0794-0911d.png
璎珞者言其联缀而垂象璎珞也谓之叠脚
凡算方程皆以多色递减至一法一实以先知一色之
数然此所先求之一色却原带有不同之数则法一
而实非一故以一总法而除多实非叠脚之法不可
也(亦有以下为法上为实者则实一而法有/多名在合问者之所求而定之详刋误条)
今有大江南北两处粮艘载米不同因冰程远近给耗
米亦不等但云南船三只北船两只共运米一千九
百七十石外给耗米共六百六十八石又南船一只
凡算方程皆以多色递减至一法一实以先知一色之
数然此所先求之一色却原带有不同之数则法一
而实非一故以一总法而除多实非叠脚之法不可
也(亦有以下为法上为实者则实一而法有/多名在合问者之所求而定之详刋误条)
今有大江南北两处粮艘载米不同因冰程远近给耗
米亦不等但云南船三只北船两只共运米一千九
百七十石外给耗米共六百六十八石又南船一只
历算全书 卷四十一 第 34a 页 WYG0794-0912a.png
北船四只共运米一千九百九十石外给耗米五百
五十六石问各船正耗米数以便稽核
答曰北船每只正运米四百石 给耗米一百石
共正耗米五百石 每正米一石耗米二斗五升
南船每只正运米三百九十石 给耗米一百五
十六石 共正耗米五百四十六石
每正米一石给耗米四斗
法各列位
五十六石问各船正耗米数以便稽核
答曰北船每只正运米四百石 给耗米一百石
共正耗米五百石 每正米一石耗米二斗五升
南船每只正运米三百九十石 给耗米一百五
十六石 共正耗米五百四十六石
每正米一石给耗米四斗
法各列位
历算全书 卷四十一 第 34b 页 WYG0794-0912b.png
先以左行南船一遍乘右行各得原数
次以右行南船三遍乘左行得数 南船三与右减
尽 北船十二减去右二馀十只为总法
正运米五千九百七十石减去右一千九百七十石
馀四千石为运米实
历算全书 卷四十一 第 35a 页 WYG0794-0912c.png
耗米一千六百六十八石减去六百六十八石馀一
千石为耗米实
以总法除正运米实得四百石为北船每只运数
以总法除耗米实得一百石为北船每只耗米数(总/计)
(正耗得北船每/只米五百石)
任于左行总运米一千九百九十石内减北船四只
该运米一千六百石馀三百九十石为南船一只运
数(一故不除运或于右行运一千九百七十石内减/北船二只 八百石馀一千一百七十石以南船)
千石为耗米实
以总法除正运米实得四百石为北船每只运数
以总法除耗米实得一百石为北船每只耗米数(总/计)
(正耗得北船每/只米五百石)
任于左行总运米一千九百九十石内减北船四只
该运米一千六百石馀三百九十石为南船一只运
数(一故不除运或于右行运一千九百七十石内减/北船二只 八百石馀一千一百七十石以南船)
历算全书 卷四十一 第 35b 页 WYG0794-0912d.png
(三只除之亦得/三百九十石)
于左行总耗米五百五十六名内减北船四只该耗
四百石馀一百五十六石为南船一只运数(或于右/行耗六)
(百六十八石内减北船二只耗二百石馀四百六十/八石以南船三只除之亦得一百五十六石)总
计正耗得南船每只米五百四十六石
以北船四百石除其耗米一百石得每石给耗米二
斗五升以南船三百九十石除其耗米一百五十六
石得每石给耗四斗
于左行总耗米五百五十六名内减北船四只该耗
四百石馀一百五十六石为南船一只运数(或于右/行耗六)
(百六十八石内减北船二只耗二百石馀四百六十/八石以南船三只除之亦得一百五十六石)总
计正耗得南船每只米五百四十六石
以北船四百石除其耗米一百石得每石给耗米二
斗五升以南船三百九十石除其耗米一百五十六
石得每石给耗四斗
历算全书 卷四十一 第 36a 页 WYG0794-0913a.png
此问每船米数故以船为法米为实
若问每米一万石该用几船则以减馀船十只用异乘
同除以一万乘得十万为总船实 以运米减馀四
千石为法 法除实得二十五为每运米一万石用
北船之数 于是任以右行北船二只亦用异乘同
除以一万石乘之二十五船除之得八百石以减共
米一千九百七十石馀一千一百七十石又用为法
以右行原列南船三乘一万石得三万石为实法除
若问每米一万石该用几船则以减馀船十只用异乘
同除以一万乘得十万为总船实 以运米减馀四
千石为法 法除实得二十五为每运米一万石用
北船之数 于是任以右行北船二只亦用异乘同
除以一万石乘之二十五船除之得八百石以减共
米一千九百七十石馀一千一百七十石又用为法
以右行原列南船三乘一万石得三万石为实法除
历算全书 卷四十一 第 36b 页 WYG0794-0913b.png
实得二十五只又三十九分之二十五为每米一万
石用南船之数
若问耗米给过五千石该得几船者则亦用异乘同除
以五千石乘减馀十只为北船实 以减馀耗米一
千石为法除实得五十只为每耗米五千石给北船
之数 任以右行北船二只五千石乘之五十只除
之得二百石以减共耗六百六十八石馀四百六十
八石又用为法以原列南船三乘五千石为实法除实
石用南船之数
若问耗米给过五千石该得几船者则亦用异乘同除
以五千石乘减馀十只为北船实 以减馀耗米一
千石为法除实得五十只为每耗米五千石给北船
之数 任以右行北船二只五千石乘之五十只除
之得二百石以减共耗六百六十八石馀四百六十
八石又用为法以原列南船三乘五千石为实法除实
历算全书 卷四十一 第 37a 页 WYG0794-0913c.png
得三十二只又三十九分之二为每耗米五千石给南船
之数
假如有南运艘二只以比北三只则南船运米不及北
四百二十石其南船带耗米反多于北一十二石若
以南船三当北船五则南船运米不及北八百三十
石其耗米亦不及北三十二石问各几何
法以正负列位
上 中 下
之数
假如有南运艘二只以比北三只则南船运米不及北
四百二十石其南船带耗米反多于北一十二石若
以南船三当北船五则南船运米不及北八百三十
石其耗米亦不及北三十二石问各几何
法以正负列位
上 中 下
历算全书 卷四十一 第 37b 页 WYG0794-0913d.png
如法乘减馀北船一只为总法
运米同减馀四百石为运米实即为北船每只运数
(总法一故/不除下同)耗米异并得一百石为耗米实即为北船
每只耗数
任以右行北船三乘其运数得一千二百石同减负
四百二十石馀七百八十石以南船二除之得三百
历算全书 卷四十一 第 38a 页 WYG0794-0914a.png
九十石为南船运数
以右行北船三乘其耗数得三百石异加正十二石
共三百一十二石以南船二除之得一百五十六石
为南船耗数
若问每米一万石须几船运者则以减馀北船一以一
万石乘之为船实 以减馀四百石为运米法法除
实得二十五只为北船每运一万石之数 又以一
万石任乘右行北船三以二十五只除之得一千二
以右行北船三乘其耗数得三百石异加正十二石
共三百一十二石以南船二除之得一百五十六石
为南船耗数
若问每米一万石须几船运者则以减馀北船一以一
万石乘之为船实 以减馀四百石为运米法法除
实得二十五只为北船每运一万石之数 又以一
万石任乘右行北船三以二十五只除之得一千二
历算全书 卷四十一 第 38b 页 WYG0794-0914b.png
百石同减负四百二十石馀七百八十石又为法以
一万石乘南船二为实法除实得二十五只又三十
九分船之二十五为南船每运一万石之数
若问耗米五千石该给几船者则亦以五千石乘减馀
北船一只为船实 以减馀一百石为耗米法法除
实得五十只为北船耗米五千石之船数 又以五
千石乘右行北船三以五十只除之得三百石异加
正十二石共三百一十二石又为法以五千石乘南
一万石乘南船二为实法除实得二十五只又三十
九分船之二十五为南船每运一万石之数
若问耗米五千石该给几船者则亦以五千石乘减馀
北船一只为船实 以减馀一百石为耗米法法除
实得五十只为北船耗米五千石之船数 又以五
千石乘右行北船三以五十只除之得三百石异加
正十二石共三百一十二石又为法以五千石乘南
历算全书 卷四十一 第 39a 页 WYG0794-0914c.png
船二为实实如法而一得三十二只又三十九分船
之二为南船耗米五千石之船数
此因耗米与正运不同故也若耗米亦以一万石
为问则北船之实皆同
今有墨一百二十七锭研六十六枚给与修史局六十
人校书局六十三人又有墨五十八锭研三十二枚
给与修史局二十四人校书局四十二人问各几何
答曰史局每人墨一锭又六分之四(六人十/锭也)研四分
之二为南船耗米五千石之船数
此因耗米与正运不同故也若耗米亦以一万石
为问则北船之实皆同
今有墨一百二十七锭研六十六枚给与修史局六十
人校书局六十三人又有墨五十八锭研三十二枚
给与修史局二十四人校书局四十二人问各几何
答曰史局每人墨一锭又六分之四(六人十/锭也)研四分
历算全书 卷四十一 第 39b 页 WYG0794-0914d.png
之三(四人共/三研)校书局每人墨七分之三(七人共/三锭)研三
分之一(三人共/一研)
法各列位
如法乘减馀校书一千○○八人为总法
墨馀四百三十二为墨实
研馀三百三十六为研实
分之一(三人共/一研)
法各列位
如法乘减馀校书一千○○八人为总法
墨馀四百三十二为墨实
研馀三百三十六为研实
历算全书 卷四十一 第 40a 页 WYG0794-toc.png
以总法除墨实得七分之三为校书局给墨数(七人/得墨)
(三/锭) 就以七人除右行校书六十三人以墨三锭乘
之得二十七锭以减总给一百二十七锭馀一百锭
以史局六十人除之得一锭又六分之四(六人得四/锭并整数)
(为六人/十锭)为史局给墨数
又以总法除研实得三分之一为校书局给研数(三/人)
(共/一) 就以三除校书六十三人得二十一研以减总
给研六十六馀四十五研以史局六十人除之得四
(三/锭) 就以七人除右行校书六十三人以墨三锭乘
之得二十七锭以减总给一百二十七锭馀一百锭
以史局六十人除之得一锭又六分之四(六人得四/锭并整数)
(为六人/十锭)为史局给墨数
又以总法除研实得三分之一为校书局给研数(三/人)
(共/一) 就以三除校书六十三人得二十一研以减总
给研六十六馀四十五研以史局六十人除之得四
历算全书 卷四十一 第 40b 页 WYG0795-0001a.png
分之三(四人/三研)为史局给研数
问修艌船只内有旧船二只新船一只共用桐油二百
六十斤麻一百三十斤钉十七斤石灰二百一十斤
计工两月有半又旧船一只新船三只共用桐油二
百八十斤麻一百四十斤钉十六斤灰二百三十斤
工两月有半其新旧船各几何
答曰每新船一只 用桐油六十斤 麻三十斤
钉三斤 灰五十斤 每工一月修两只
问修艌船只内有旧船二只新船一只共用桐油二百
六十斤麻一百三十斤钉十七斤石灰二百一十斤
计工两月有半又旧船一只新船三只共用桐油二
百八十斤麻一百四十斤钉十六斤灰二百三十斤
工两月有半其新旧船各几何
答曰每新船一只 用桐油六十斤 麻三十斤
钉三斤 灰五十斤 每工一月修两只
历算全书 卷四十一 第 41a 页 WYG0795-0002a.png
每旧船一只 用桐油一百斤 麻五十斤 钉七
斤 灰八十斤 每工一月修一只
法各列位
先以左旧船一遍乘右行如故
次以右旧船二遍乘左行得数 乃相减 上位旧
船对减尽中位新船减馀五为总法
斤 灰八十斤 每工一月修一只
法各列位
先以左旧船一遍乘右行如故
次以右旧船二遍乘左行得数 乃相减 上位旧
船对减尽中位新船减馀五为总法
历算全书 卷四十一 第 41b 页 WYG0795-0002b.png
下位油相减馀三百斤为新船油实(以总法除之得六/十斤为新船油数)
麻相减馀一百五十斤为新船麻实(以总法除之得三/十斤为新船麻数)
钉相减馀一十五斤为新船钉实(以总法除之得三/斤为新船钉数)
灰相减馀二百五十斤为新船灰实(以总法除之得五/十斤为新船灰数)
任以左行新船三只乘其油数得一百八十斤以减总
油二百八十斤馀一百斤为旧船一只油数
以新船三只乘其麻数得九十斤以减总麻一百四
十斤馀五十斤为旧船一只麻数
麻相减馀一百五十斤为新船麻实(以总法除之得三/十斤为新船麻数)
钉相减馀一十五斤为新船钉实(以总法除之得三/斤为新船钉数)
灰相减馀二百五十斤为新船灰实(以总法除之得五/十斤为新船灰数)
任以左行新船三只乘其油数得一百八十斤以减总
油二百八十斤馀一百斤为旧船一只油数
以新船三只乘其麻数得九十斤以减总麻一百四
十斤馀五十斤为旧船一只麻数
历算全书 卷四十一 第 42a 页 WYG0795-0002c.png
以新船三只乘其钉数得九斤以减总钉一十六斤
馀七斤为旧船一只钉数
以新船三只乘灰数得一百五十斤以减总灰二百
三十斤馀八十斤为旧船一只灰数
此为以船求油麻等故以船为法以麻油等为实
乃以减馀新船五只为总实
以减馀工两月半为法 法除实得二只为每工一
月修新船之数就以二只除左行新船三只得一月
馀七斤为旧船一只钉数
以新船三只乘灰数得一百五十斤以减总灰二百
三十斤馀八十斤为旧船一只灰数
此为以船求油麻等故以船为法以麻油等为实
乃以减馀新船五只为总实
以减馀工两月半为法 法除实得二只为每工一
月修新船之数就以二只除左行新船三只得一月
历算全书 卷四十一 第 42b 页 WYG0795-0002d.png
有半以减总工两月半馀一月以除旧船一只如故
得每工一月修旧船一只
此以工求船故以工为法船为实与前相反
重审方程例
凡算方程皆以有总数无各数故递减以求之然有并
其总数亦隐者此当用两次求之故曰重审
假如品官禄米不知数但云甲支三品俸四个月又带
支四品俸五个月乙支三品俸六个月又带支四品
得每工一月修旧船一只
此以工求船故以工为法船为实与前相反
重审方程例
凡算方程皆以有总数无各数故递减以求之然有并
其总数亦隐者此当用两次求之故曰重审
假如品官禄米不知数但云甲支三品俸四个月又带
支四品俸五个月乙支三品俸六个月又带支四品
历算全书 卷四十一 第 43a 页 WYG0795-0003a.png
俸五个月亦不知甲乙各得数但云以甲十三分之
一益乙则三百五十石若以乙十一分之三益甲亦
三百五十石问两品禄米各几何
荅曰三品每月俸三十五石
四品每月俸二十四石
法曰此当先求出甲乙两家支过禄米再求各品月俸
谓之重审先以带分法列位
上 中 下
一益乙则三百五十石若以乙十一分之三益甲亦
三百五十石问两品禄米各几何
荅曰三品每月俸三十五石
四品每月俸二十四石
法曰此当先求出甲乙两家支过禄米再求各品月俸
谓之重审先以带分法列位
上 中 下
历算全书 卷四十一 第 43b 页 WYG0795-0003b.png
左甲之一分遍乘右行如故
右甲之十三分遍乘左行得数
甲减尽 乙减馀一百四十分为法 馀俸四千二百
石为实 法除实得三十石为乙之一分 以乙分
母十一乘其一分得三百三十石为乙支过米数
以乙支过米数减总三百五十石馀二十石为甲之
历算全书 卷四十一 第 44a 页 WYG0795-0003c.png
一分 以甲分母十三乘其一分得二百六十石为
甲支过米数
既得两家支过米数乃重列之以求品俸
如法左右乘减 馀四品十月为法 馀俸米二百
四十石为实 法除实得二十四石为四品每月俸
以四品五月计一百二十石减甲支二百六十石
甲支过米数
既得两家支过米数乃重列之以求品俸
如法左右乘减 馀四品十月为法 馀俸米二百
四十石为实 法除实得二十四石为四品每月俸
以四品五月计一百二十石减甲支二百六十石
历算全书 卷四十一 第 44b 页 WYG0795-0003d.png
馀一百四十石以甲支三品四月除之得三十五石
为三品每月俸
假如品官支俸本折兼支不知数但云甲支一品俸四
个月又带支二品俸五个月乙支一品俸六个月又
带支二品俸十个月亦不知甲乙支过数但云取乙
本色三分之一以益甲共五百六十六石若取甲本
色三分之二以益乙则八百六十五石 取乙折色
五分之二以益甲共四百九十八石若取甲四分之
为三品每月俸
假如品官支俸本折兼支不知数但云甲支一品俸四
个月又带支二品俸五个月乙支一品俸六个月又
带支二品俸十个月亦不知甲乙支过数但云取乙
本色三分之一以益甲共五百六十六石若取甲本
色三分之二以益乙则八百六十五石 取乙折色
五分之二以益甲共四百九十八石若取甲四分之
历算全书 卷四十一 第 45a 页 WYG0795-0004a.png
一以益乙则五百七十九石问各几何
答曰一品月俸八十七石
内实支本色一半四十三石五斗 折色钞一
半数同二品月俸六十一石
内实支本色六分三十六石六斗 折钞四分
二十四石四斗
法当重审 先求本色依带分法列位
上 中 下
答曰一品月俸八十七石
内实支本色一半四十三石五斗 折色钞一
半数同二品月俸六十一石
内实支本色六分三十六石六斗 折钞四分
二十四石四斗
法当重审 先求本色依带分法列位
上 中 下
历算全书 卷四十一 第 45b 页 WYG0795-0004b.png
如法乘减 馀乙之七分为法 馀本色一千四百
六十三石为实实如法而一得二百○九石为乙本
色之一分以减右行共本色五百六十六石馀三百
五十七石为甲支过本色数 又以乙分母三乘其
一分得六百二十七石为乙支过本色数
计开
历算全书 卷四十一 第 46a 页 WYG0795-0004c.png
甲支过本色三百五十七石(内一品俸四个月/二品俸五个月)
乙支过本色六百二十七石(内一品俸六个月/二品俸十个月)
次求折色 亦依带分列位
如法左右乘减 乙馀十八分为法 馀折色一千
八百一十八石为实 法除实得一百○一石为乙
折色之一分以乙分母五乘之得五百○五石为乙
乙支过本色六百二十七石(内一品俸六个月/二品俸十个月)
次求折色 亦依带分列位
如法左右乘减 乙馀十八分为法 馀折色一千
八百一十八石为实 法除实得一百○一石为乙
折色之一分以乙分母五乘之得五百○五石为乙
历算全书 卷四十一 第 46b 页 WYG0795-0004d.png
支过折色数 以乙之二分乘其一分得二百○二
石以减共折色四百九十八石馀二百九十六石为
甲支过折色数
计开 甲支过折色二百九十六石(内亦一品俸/四个月二品)
(俸五/个月)
乙支过折色五百○五石(内亦一品俸六/个月二品俸十)
(个/月)
既得甲乙两家支过本折然后乃求各品月俸
石以减共折色四百九十八石馀二百九十六石为
甲支过折色数
计开 甲支过折色二百九十六石(内亦一品俸/四个月二品)
(俸五/个月)
乙支过折色五百○五石(内亦一品俸六/个月二品俸十)
(个/月)
既得甲乙两家支过本折然后乃求各品月俸
历算全书 卷四十一 第 47a 页 WYG0795-0005a.png
依叠脚法列其所得本折而重测之
如法遍乘得数 上位一品减尽 中位二品馀十
个月为总法 下位本色馀三百六十六石为本色
实
折色馀二百四十四石为折色实
乃以总法除本色实得三十六石六斗为二品每月俸
如法遍乘得数 上位一品减尽 中位二品馀十
个月为总法 下位本色馀三百六十六石为本色
实
折色馀二百四十四石为折色实
乃以总法除本色实得三十六石六斗为二品每月俸
历算全书 卷四十一 第 47b 页 WYG0795-0005b.png
本色数 以乙二品十个月计三百六十六石减乙
共本色六百二十七石馀二百六十一石以乙一品
六个月除之得四十三石五斗为一品月俸本色
又以总法除折色实得二十四石四斗为二品月俸折
色 以乙二品十个月计二百四十四石减乙共折
色五百○五石馀二百六十一石以乙一品六个月
除之亦得四十三石五斗为一品月俸折色(其右行/亦可互)
(求则先得/甲数也)
共本色六百二十七石馀二百六十一石以乙一品
六个月除之得四十三石五斗为一品月俸本色
又以总法除折色实得二十四石四斗为二品月俸折
色 以乙二品十个月计二百四十四石减乙共折
色五百○五石馀二百六十一石以乙一品六个月
除之亦得四十三石五斗为一品月俸折色(其右行/亦可互)
(求则先得/甲数也)
历算全书 卷四十一 第 48a 页 WYG0795-0005c.png
于是以一品本色折色并之得每月俸八十七石(本折/各半)
(支/)
以二品本折并之得每月俸六十一石(四六支本色/六分折色四)
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以二品本折并之得每月俸六十一石(四六支本色/六分折色四)
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历算全书 卷四十一 第 48b 页 WYG0795-0005d.png
历算全书卷四十一