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欽定四庫全書
厯算全書卷四十五
宣城梅文鼎撰
方程論卷六
方程御襍法
算術之有方程猶量法之有句股必深知諸算術而後
能言方程猶之必深知諸量法而後能治句股故以是終
諸方田少廣凡屬量法者往往有可以句股立算而諸
法不能治句股方程之於粟布差分也亦然故襍法不能御方程而方程能御襍法
例如後
假如有糧一萬九千石𣲖與甲乙丙三縣各以其人戸
多少米價貴賤僦值逺近舟車險易而均輸之甲縣戸三萬米價毎石一兩四錢逺輸二百里用車載二十石行一里僦值一錢三分乙縣戸二萬米價一兩二錢逺輸五百里用舟載二十五石行一里僦值三分丙縣戸一萬米價一兩二錢逺輸二百里道險可用負擔每負六斗行五十里顧值一錢八分
法曰各以其縣米價併僦值之數命其户以方程較數
列之以甲縣車載二十石除其僦值一錢三分得六釐五毫(每載一石行一里數也)以乗二百里得一兩三錢併米價一兩四錢共二兩七錢以乙縣舟運二十五石除其僦值三分得一釐二毫以乗五百里得六錢倂米價一兩二錢共一兩八錢
以丙縣負擔六斗除其顧值一錢八分以乗一石得三錢又以五十里除之二百里乗之得一兩二錢併米價共二兩四錢
原法以各縣米價并僦值之數以除其戸為衰列而併之併衰為法各衰乗總米為實法除實得各縣米今用方程則不須爾竟以二兩七錢命甲縣之衰為二十七戸以一兩八錢命乙縣之衰為一十八户以二兩四錢命丙縣之衰為二十四户以三縣衰命為適足而列之
如三色有空法乗餘丙縣異倂一百一十四戸為法正三十四石二斗為實法除實得丙縣每戸糧三斗以丙一戸三斗減共一石九斗餘一石六斗乙縣四戸除之得每戸糧四斗
以乙二戸八斗甲縣三戸除之得每戸二斗又三分斗之二各以每户率乗其縣之戸總得各縣轉
計開
甲縣三萬户共糧八千石共僦車值一萬○四百兩
毎户糧二斗六升六合又三之二每三户糧八斗每戸僦值三錢四分又三之二每三户僦值一兩○四分總計米價與其僦值每戸共銀七錢二分
乙縣二萬户共糧八十石其僦船值四千八百兩
每户糧四斗僦值二錢四分
總計米價僦值每户亦七錢二分
丙縣一萬户共糧三千石共顧擔夫銀三千六百兩
毎户糧三斗僦值三錢六分
總計米價僦值每户亦七錢二分
以米言之
論曰此因米價不等加以僦值不同故以法均之糧雖
不均而每户所出之銀數則均若但均其米乃不均矣是故均之以不均斯謂能均
問官米二百六十五石令三等人户出之甲上等二十
户每户多中等七斗乙中等五十戸每戸多下等五斗丙下等一百一十戸其則例各若干
法以和較列位(依省算以和數十之一列之)
如法乗減得丙戸十八為法二十一石六斗為實法除實得一石二斗為下等每戸則例加正五斗為中等則又加七斗為上等則
計開
甲上等毎戸二石四斗二十戸共四十八石
乙中等毎戸一石七斗五十戸共八十五石
丙下等每戸一石二斗一百一十戸共一百三十二石
合計之共二百六十五石
問有米六百七十四石以四等里甲輸納乙為甲十之
八丙為乙十之七丁為丙十之六其甲乙各八十戸丙丁各七十户問各若干
解曰十之八卽非二八差分十之七十之六卽非三七四六差分故與帶分條所設不同合而觀之可也
法以和較列位
如法乗減而重列其餘與三行對
又以餘數與四行平列
數益多用省算法四除減餘然後列之
如法乗減餘丁六百七十四爲法五萬六千六百一十六石無減爲實法除實得八十四石爲丁共數十因丁數六除之爲丙共數十因丙數七除之爲乙共數十因乙數八除之爲甲共數
計開
甲共數二百五十石以八十户除之得毎户三石一斗
二升五合乙共數二百石爲甲十之八以八十户除之得毎户二石五斗丙共數一百四十石爲乙十之七以七十戸除之得每户二石丁共數八十四石爲丙十之六以七十户除之得每户一石二斗總計之共六百七十四石
論曰此所問是總數相差非毎户相差也故原列者總
户而得亦總户之米若云問毎户之差則當以毎户列之而所得者亦毎户米也如後例
假如共米六百七十四石以四色人户出之甲八十户
乙亦八十户乙毎户如甲十之八丙丁各七十户丙毎户如乙十之七丁毎户如丙十之六
問各户則例
法以戸細數列位
依省算以首行退位十而一與次行對減而重列之又半其減餘然後列之與三行對
又列減餘以對末行
如法乗減異併一千二百九十二為法一千四百
一十五石四斗無減為實法除實得一石○九升又三百二十三之一百七十八為丁毎戸則例(法實皆四約之)
十因丁則六除之得一石八斗二升又三百二十三之一百八十九為丙每户則例
十因丙則七除之得二石六斗○又三百二十三之二百七十為乙每户則例
十因乙則八除之得三石二斗六升又三百二十三之十四半為甲每戸則例
計開
甲每户三石二斗六升又三百二十三之十四半
八十户共二百六十石○八斗三升又三百二十三之一百九十一
乙每户二石六斗○又三百二十三之二百七十為
甲每户十之八
八十户共二百○八石六斗六升又三百二十三之二百八十二
丙每户一石八斗二升又三百二十三之一百八十九
為乙每户十之七
七十戸共一百二十七石八斗○又三百二十三
之三百一十
丁每户一石○九升又三百二十三之一百七十八
為丙每户十之六
七十户共七十六石六斗八升又三百二十三之一百八十六
合計共六百七十四石(凡六百七十三石九斗七升又九百六十九分以三百二十三収之為升得此數)
問有均分兩銀庚以其五之二與甲則甲之數多於庚
一百六十八兩若以甲二十一之九與庚則庚之數多於甲一百八十兩原數幾何
法以所用益彼之分與此所存之餘分相減而列之(庚與甲五之二庚自存五之三)相減餘五之一(是為以庚五之一較甲全分而甲多一百六十八兩也甲與庚廿一之九二甲自存廿一之十)相減餘二十一之三(是為以甲二十一之三較庚全分而庚多一百八十兩也)
庚雖自存五之三而甲股内有庚所與之二故以相減而餘之一分與甲相較
甲雖自存二十一之一十二而庚股内有甲所與之九故以相減而餘之三分與庚相較
甲一百○二分為法除實一千○二十兩得十兩為甲之一分二十一分共二百一十兩減負一百六十八兩餘四十二兩爲庚之一分五分亦共二百一十兩
計開(庚甲)各原銀二百一十兩(庚五之二計八十四兩其五之三仍一百二十六兩甲二十一之九計九十兩其二十一之十二仍一百二十兩)
庚以八十四與甲(甲共有二百九十四庚仍餘一百二十六)相較甲多一百
六十八
甲以九十與庚(庚共有三百二十甲仍餘一百)相較庚多一百八十
此設問之意也
以(庚之一分四十二甲全分二百一十)相較甲亦多一百六十八
以(甲之三分計三十庚全分二百一十)相較庚亦多一百八十
此列位之理也
論曰右例以此之分益彼而轉與此之餘分相較與帯
分條所設不同帶分條此之分較彼全分其全分即是原數今則一損一增以相較非原數也故曰不同
及其相減而列為較數也則亦是此之分較彼原數矣是之謂尾同而首異
相減列位亦有變為和數者如後所設
問有兩銀庚以其五之三與甲則甲之數多於庚二百
五十二兩若以甲廿一之十三與庚則庚之數多於甲二百六十兩
法亦以所與彼之分與其餘分相減列之
庚(與甲五之三自存五之二)相減餘五之一(此為所用之分多於存分是變和數也庚五之一偕甲全分共二百五十二兩也)
甲(與庚二十一之十三自存二十一之八)相減餘二十一之五(此亦用分多存分少是變和數也百甲二十一之五偕庚全分共二六十兩也)
甲所以多如許者不惟其全數之故其所得於庚之分又多於庚之餘分者一也故甲所多之數乃是甲全數偕庚之一分所共也
庚所以多如許者亦不惟其全數之故其所得甲之分又多於甲之存分者五也故庚所多數亦是庚全數偕甲之五分所共也
甲一百分為法除實一千而得十兩為一分以甲五分計五十兩減共二百六十兩餘二百一十兩為庚原銀五除之得四十二兩為一分以減共二百五十二兩亦得二百一十兩為甲原銀
庚五之三計一百二十六兩以加甲銀共三百三十六
兩内減去庚自存五之二計八十四兩仍多二百五十二兩即是甲全數偕庚一分之數也
甲二十一之十三計一百三十兩以加庚銀共三百四
十兩内減去甲自存二十一之八計八十兩仍多二百六十兩即是庚全數偕甲五分之數也
論曰右例以此之分偕彼全分而為和數亦與帶分和
數同然以相減而得之亦是尾同首異帶分條和數較數據問而分今則設問只是較數相減列
位乃有和較之分
依例推之亦有變為一和一較者皆以所用之分與所存分相減而得之列位時巳變不待其重列減餘也故又與尋常較變和者異
總論曰此二條者皆一損一益例也
問金九錠銀十一錠其重適等若交易其一則銀多十
三兩其原重若干
法以相差十三兩半之得六兩五錢為一錠之較
解曰交易一錠而差是一多一少故半之為一錠之較銀得較而增重故與金同名
銀二錠除實得銀每錠重二十九兩二錢半加正六兩五錢得金每錠三十五兩七錢半
計開
金每錠三十五兩七錢五分金九錠(得三百二十一兩七錢五分)銀每錠二十九兩二錢五分銀十一錠(亦得三百二十一兩七錢五分)金八錠二百八十六兩加銀一錠共三百一十五兩二
錢半
銀十錠二百九十二兩半加金一錠共三百二十八兩
二錢半
共多一十三兩若交易二錠而差二十六兩則以二錠倍作四錠除之亦得六兩五錢為一錠之較
餘可類推(或半相差二十六兩為一十三兩命為金二錠銀二錠之較尤為平穏)
論曰此條舊列差分同文算指改立借衰互徴之法皆
不知宜入方程也
凡以兩家之數相交易而差若干皆半其所差而列之為所交易之較何也一增一減而差若干則原所差者其半也
問甲有硃砂銀七錠壬有鑛銀九錠相較甲原多十五
兩今以甲二錠易壬三錠則甲多二十七兩
法以原多十五兩今多二十七兩相減餘十二兩半之
得六兩為甲二錠壬三錠之較(甲得較而增重故與壬同名)
壬三錠除七十二兩得壬每錠二十四兩以九錠乗得二百一十六兩加正一十五兩共二百三十一兩甲七錠除之得每錠三十三兩
計開
甲以二錠與壬餘五錠一百六十五兩加易得壬三錠
七十二兩共二百三十七兩
壬以三錠與甲餘六錠一百四十四兩加易得甲二錠
六十六兩共二百一十兩
相較甲多二十七兩
此問意也
問甲銀七錠壬九錠相較壬原少十五兩今以一錠相
交易壬多三兩
法以原少十五兩今多三兩併得十八兩而半之得九
兩為一錠之較(壬得之而變輕為重故與甲同名)
壬二錠除四十八兩得每錠二十四兩加九兩得甲每錠三十三兩
計開
甲六錠一百九十八兩加壬一錠二十四兩共二百二十二兩壬八錠一百九十二兩加甲一錠三十三兩共二百二十五兩
相較壬多三兩此交易一定之數餘同前問
論曰此三問皆同法第一問盈偕適足故即用原數第
二問兩盈故相減第三問盈偕不足故相併然皆半之為較故三法一法也
又按於七錠中取一即七之一同帶分之理故又作問明之
問有金不知總任意分為二而較之則庚多八兩須令
辛以金還庚如庚存數三之二庚亦以金還辛如辛存數四之三則其數適均
法以庚自存三分今添二分共五以辛自存四分今
添三分共七通為兩家適足數之分
又以多八兩半之四兩命為庚所添二分辛所添三分之較(辛失之而減重故與辛同名)
解曰合而觀之庚以五之二辛以七之三相交易則庚多八兩若還其原數庚仍為五分辛仍為七分則適足也
辛一分得二十兩七分共一百四十兩五除之得庚之一分二十八兩
計開
其相易(庚二分五十六兩辛三分六十兩)較之辛多四兩即相易幾錠之理
總論曰此皆兩相交易也又與庚甲損一益一者不同
凡損一益一者損庚之幾分與甲則甲有增數而轉以甲之既增者與庚之餘數相較也損庚益甲以相較是明有增損
今兩相交易則損庚之分與辛亦損辛之分與庚然後以既損且增之庚與亦增之辛相較也
兩相交易則末嘗明有增損但以相易之數不同而增損隠寓於其中以上四條皆同此論
問兩數不知總但云取甲之九加乙則乙與甲等若取
乙之九加甲則甲倍於乙其原數各若干
畣曰甲六十三乙四十五
解曰云取甲之九加乙是損甲之九而益乙以九也取乙之九加甲是損乙之九而益甲以九也與刋誤條所舉甲乙二倉法不同彼是取甲倉幾何以益乙而共得幾何不言與甲倉較取乙倉幾何以益甲而共得幾何亦不言與乙倉較是所益者有増數而所取者
無損數如云以此之全數偕彼之幾分而共得幾何乃和數也今所列者乃較數也益此損彼則相較幾何故不同也然又與帶分條較數不同彼是取彼幾分與此全數較今所列者是取彼幾數加此而轉與彼之餘數較當細辨之
又此是以數相增損而得其相較之分
前數條則是以分相損增而得其相較之數
二者大異不但與带分條别也
法以所加之九數命甲乙所相當之數乗之為較數列
位
甲倍乙是甲二乙一合之則三以乗九得二十七為較甲得此而當倍乙故與乙同名
甲乙等是各一也合之則二以乗九得十八為較乙得此而與甲等故與甲同名
餘乙一為法
併四十五為實
法一即以四十五命為乙數
異加十八得六十三為甲數
試更列之
同減餘甲一為法異併六十三為實法一即以六十三為甲原數異加正二十七共九十乙二除之得四十五為乙原數
論曰此難題設問也算法統宗收入均輸另有求法算
海説詳推論借銀相當加半倍者不可通用因别立術然復未確不如用方程之為無弊
又論曰甲與乙九而相等是甲多於乙者二九也乙
與甲九而甲倍於乙是倍乙多於甲者三九也何也甲得乙九數而後當倍乙則倍乙中各除九數共二九而甲又添九數豈非三九乎
問甲乙銀不知數但云甲借乙六錢五分則比乙一有
半乙借甲六錢五分則乙與甲等各原銀若干
法以甲一乙一有半併之共二半以乗六錢五分得一
兩六錢二分半為乙一有半多於甲之較
以甲乙相等各一併之共二以乗六錢五分得一兩三錢為甲多於乙之較
乃列之
同減餘半乙為法異併二兩九錢二分半為實法除實得五兩八錢五分為乙銀異加正一兩三錢共七兩一錢五分為甲銀
計開
甲原銀七兩一錢五分
乙原銀五兩八錢五分
相差一兩三錢若損甲之六錢五分以加乙則各得六兩五錢是相等也
若損乙六錢五分餘五兩二錢益甲六錢五分得七兩八錢是甲之數如乙一有半也
若以乙原銀加半得八兩七錢七分半以與甲原甲原銀相較則多一兩六錢二分半
論曰甲以六錢五分借與乙而相等是甲原多乙兩个
六錢五分也乙以六錢五分借與甲而甲如乙一有半是一个半乙原多於甲兩个半六錢五分也何也甲取乙六錢五分而後能當乙有半則此一个半乙共減去一个半六錢五分甲又加一个六錢五分豈非共差兩个半六錢五分乎
又論曰此即算海説詳所設之問以駁統宗者彼自立
術以為當矣不知其宜用方程也
試更設問以明之
今有二數不知總但云丙與丁二數則相等若丁與丙
二數則丙如三丁問原數各若于
依前術列位(合丙丁各一共二以乗二得四為丙多於丁之較合丙一丁三共四以乗二得八為三丁多於一丙之較)
同減餘丙二為法異併二十為實法除實得一十為丙數同減負四餘六為丁數
計開
丙原數十原多於丁者四
丁原數六三之則十八多於丙者八
若損丙之二以益丁則各得八故相等
若損丁之二以益丙則丙得十二丁得四故丙如三丁
論曰丙以二與丁而等是丙多於丁者兩个二也丁
以二與丙而丙如三丁是三丁之數共多於丙者四个二也何也丙増一个二其三个丁各少一个二共四个二也
又論曰因算海説詳立術未確故復設此以相攷用方
程能合彼問而彼所立術殊不能通之此問
問戊己銀不知數但戊以五十兩與己則己如戊之倍
己以五十兩與戊如三己
依前術列位(併戊二己一共三以乗五十得一百五十為二戊多於一己之較併戊一己三共四以乗五十得二百為三己多於一戊之較)
同減餘己五為法異併五百五十兩為實法除實得一百一十兩為己銀異加正一百五十兩共二百六十兩戊二除之得一百三十兩為戊銀
計開
戊原銀一百三十兩倍之二百六十兩多於己一百
五十兩
己原銀一百一十兩三之得三百三十兩多於戊二
百兩
此列位之理
戊加五十兩得一百八十兩己損五十兩得六十兩則戊如三己己加五十兩得一百六十兩戊損五十兩得八十兩則己如戊之倍
此則問意
問香爐二座不知重有一葢重百兩以加甲爐則甲多
於乙兩倍以加乙爐則乙多於甲一倍其爐各重若干
解曰多乙兩倍是三倍也甲得葢如三乙也多甲一倍是兩倍也乙得葢如兩甲也
法以葢重為較而列之甲得葢如三乙是三乙之重
於甲者如葢也故與乙同名乙得葢如倍甲是兩甲之重於乙者如葢也故與甲同名
爐同減餘乙爐五為法較異併三百兩為實
法除實得六十兩為乙爐重
異加一百兩共一百六十兩甲二除之得八十兩為甲爐重
計開
甲爐八十兩加葢共一百八十兩則如乙爐重者三乙爐六十兩加葢共一百六十兩則如甲爐重者倍論曰此與前所設戊己銀數以五十兩損戊益己而己
倍於戊以五十兩損己益戊而戊如二己異何也以五十兩損彼益此雖亦相差一百兩然非真有一百兩之益乃因彼之所損而合成其數耳此之加葢則實增一百兩矣而於彼又無所損因爐葢乃兩家公物非若戊己之銀必取諸彼以與此也故其法不同若改問各鑄爐而均鑄葢則必於鑪重各加半葢乃合原金得數與戊己銀同矣
問調兵征倭内有南北西三處兵馬南兵已知四萬其
北兵為南兵與西兵二之一西兵為南兵與北兵三之一各若干
法以南兵為西北之較而列之
西兵得南兵而數倍於北是倍北數而多於西兵者數如南兵也
北兵得南兵而數如三西兵是三其西兵而多於北者亦如南兵也
餘北兵五為法倂十六萬為實法除實得三萬二千為北兵數異加正四萬共七萬二千西兵三除之得二萬四千為西兵數
計開
南兵四萬
西兵二萬四千偕南兵則六萬四千其二之一則如北兵也北兵三萬二千偕南兵則七萬二千其二之一則如西兵也論曰此與香爐借葢為較同其所用較乃是南兵而
非取於西北兵故得之有增而不得無損與借物於彼而轉與其所借之餘物相較者不同
問二人擕銀不知數但減乙六兩與甲則甲倍於乙減
甲三兩與乙則相等其原數若干
解曰此所損益又是不同之數然其理則一故亦依前術乗其較數而列之(合甲一乙二共三以乗六兩得十八兩為倍乙多於一甲之較合甲乙各一共二以乗三兩得六兩為甲多於乙之較)
列位
同減餘乙一為法異併二十四兩為實法一即以實為乙數異加六兩為甲數
計開
乙二十四兩倍之得四十八兩多於甲一十八兩
甲三十兩原多於乙六兩
若損乙六兩得十八兩加甲六兩得三十六兩是甲如
乙之倍
若損甲三兩加乙三兩各得二十七兩則相等
問二商各攜母銀但云取乙十二兩與甲則乙有甲六
之一取甲十五兩與乙則甲有乙十之一
依前術列位(併六與一共七以乗十二兩得八十四兩為六乙多於一甲之較併十與一共十一以乗十五兩得一百六十五兩為十甲多于一乙之較)
同減餘甲五十九為法異併一千○七十四兩為實法除實得一十八兩又五十九之一十二為甲數異加正八十四兩共一百○二兩(又五十九之一十二)乙六除之得一十七兩(又五十九之二)為乙數
計開
甲銀一十八兩(又五十九之一十二)十之則一百八十二兩(又五十九之二)多於乙者一百六十五兩
乙銀一十七兩(又五十九之二)六之則一百○二兩(又五十九之一十二)
多於甲者八十四兩
若損乙一十二兩與甲則甲有三十兩(又五十九之一十二)乙僅
有五兩(又五十九之二)而乙於甲為六之一
若損甲一十五兩與乙則乙有三十二兩(又五十九之二)甲僅
三兩(又五十九之一十二)而甲於乙為十之一(以五十九通二兩得一百一十八加子二從之共一百二十是三十兩又五十九之一百二十豈非十倍於甲乎)
論曰乙得甲六之一是六乙當一甲也然必損乙之十
二兩與甲而後成此數是於一甲中添十二兩而於六乙中各減十二兩也一添一減共七个十二兩是為八十四兩也
甲得乙十之一是十甲當一乙也然必損甲之十五兩
與乙而後成此數是於一乙中添十五兩而其十甲中皆各減十五兩也一添一減共十一个十五兩是為一百六十五兩也
損乙之十二兩與甲而乙為甲六之一若其原數則以
六乙當一甲而乙多八十四兩矣
損甲之十五兩與乙而甲為乙十之一若其原數則以
十甲當一乙而甲多一百六十五兩矣
問有兩數不知總但損甲六數與己則甲如己四之三
而多二數若以己之二十損與甲則己如甲四之三而少五數其原數各幾何
法以四甲三己共七乗六得四十二又以四甲乗多二
數得八而益之共五十為四甲多於三己之數(損甲六益己故較與甲同名其二數甲所多也故以之益數)
以四己三甲共七乗二十得一百四十又以四己乗少五數得二十以相減餘一百二十為四己多於三甲之較(損己二十益甲故較與己同名其五數巳所少也故以之減較)
己同減餘七為法異併六百三十為實法除實得九十為己原數四因己數同減一百二十餘二百四十甲三除之得八十為甲原數
計開
甲八十
己九十
以列位之理言之
甲四共三百二十己三共二百七十是甲多五十甲三共二百四十己四共三百六十是己多一百
二十
以問之意言之
甲損六數餘七十四己加六數共九十六以九十
六四分之而取其三得七十二是為甲如己四之三而多二數
己損二十餘七十甲加二十共一百以一百四分
之而取其三得七十五是為己如甲四之三而少五數
論曰以甲當己四之三是四甲當三己也然必以六數
減甲增己而成則是四甲中各減六而三己中各增六共四十二也以甲當己四之三而多二數則以四甲當三己而共多八數也合而觀之此四十二者四甲多於三己之數也此八數者亦四甲多於三己之數也故皆與甲同名而列其較為五十也
以己當甲四之三是四己可當三甲也然必以二十減
己增甲而成則是四己中各減二十而三甲中各增二十共一百四十也以己當甲四之三而少五數則以四己當三甲而共少二十也合而觀之此一百四十者四己多於三甲之數也與己同名也而其二十者則四己少於三甲之數也與己異名也故以相減而餘者列為己同名之較也
損甲六數與己而甲如己四之三仍多二數若其原數
則以四甲當三己而共多五十矣
損己二十與甲而己如甲四之三却少五數若其原數
則以四己當三甲而共多一百二十矣
問有三數損甲一百益乙則甲如乙六之二若損乙五
十益丙則乙如丙十五之九若損丙三十益甲則甲如丙二之一而少五數各若干
法以甲六乙二共八以乗一百共八百為六甲當二乙
之較(損甲益乙故與甲同名)
以乙十五丙九共二十四乗五十得一千二百為十五乙當九丙之較(損乙益丙故與乙同名)
以丙一甲二共三乗三十得九十又以甲二乗少五數共十而加之共一百為一丙當二甲之較(損丙益甲故與丙同名其甲所少五數即丙所多也故亦與丙同名)
如法逓減餘丙五十四為法異併三萬七千八百為實法除實得七百為丙數丙數同減一百餘六百甲二除之得三百為甲數六因甲數一千八百同減八百餘一千乙二除之得五百為乙數十
五乗乙數得七千五百同減一千二百餘六千三百丙九除之仍得七百為丙數(反覆相求列位之理著矣)
計開
甲三百
乙五百
丙七百
甲損一百餘二百乙增一百得六百是甲為乙六之二乙損五十餘四百五十丙增五十得七百五十是乙為
丙十五之九
丙損三十餘六百七十其二之一則三百三十五甲增
十得三百三十是甲為丙二之一而少五數
問二人共數一百原所得之數不均今以甲三之一與
乙五之一相易則適均其原所得若干
法以三分通甲數損一與乙而存其二分又以五分
通乙數損一與甲而存其四分
乃以和數列之
乙七為法餘五十為實法除實得七又七之一為乙之一分以乙分母五乗之得三十五又七之五(為乙數)以減一百得六十四又七之二為甲數
計開
甲六十四(又七之二)其三之一為二十一(又七之三)其三之二為
四十二(又七之六)
乙三十五(又七之五)其五之四為二十八(又七之四)其五之一為
七(又七之一)以甲三之一加乙五之四五十也以乙五之一加甲三之二亦五十也
論曰此以分相增損而為和數亦與刋誤條甲乙二倉
異彼是以其全數偕彼㡬分此則以所存之餘數偕彼幾分也既云相易則實有增損非如甲乙倉虚借增率而無損也
問二人物數不均若於甲取三之一於乙取四之一以
和合而平分之以湊原存數則各五十而適均其原數各若干
法以三分通甲數而倍之為六分損其一與乙餘五分
以四分通乙數而倍之為八分損其一與甲餘七分以和數列位
解曰以四之一與三之一和合而平分之是各取其數之半也於三之一取其半是六之一以與乙而甲餘其五也於四之一取其半是八之一以與甲而乙餘其七也
偏乗對減以得法實法除實得五又十七分之十五為乙八之一以乙分母八乗之得四十七又十七分之一為乙原數以兩五十共一百減乙原數餘五十二又十七分之一十六為甲原數
計開
甲原數五十二(又十七分之十六)三除之得十七(又十七分之十一)為
甲三之一以三之一轉減甲餘三十五(又十七分之五)為甲所存三之二
乙原數四十七(又十七分之一)四除之得十一(又十七分之十三)為乙
四之一以四之一轉減乙餘三十五(又十七分之五)為乙所存四之三
以甲三之一乙四之一和合之共二十九(又十七分之七)半之
得十四(又十七分之十二)為和合平分之數以加甲乙存數各得五十
論曰甲去三之一乙去四之一所存之數已均矣故以
平分之數加之而適均
又法
以甲分母三通甲為三分以乙分母四通乙為四分又總計各得五十六共一百為和數
以甲取三之一餘三之二乙取四之一餘四之三命為適足(甲取三之一乙取四之一以和合平分而等則其所存者亦等也故命之適足)
乃以和較雜列位
如法乗甲同減盡乙異併一十七分為法正二百無減就為實法除實得一十一又十七之十三為乙之一分以分母四乗之得四十七又十七分
之一為乙原數以乙原數減共數一百餘五十二又十七分之十六
按此所得與前無異而較捷故並存之
問甲乙丙三人共博甲贏乙金二之一乙贏丙金三之
一丙又贏甲金四之一事畢各剰金七百其原携金若干
法以各分母通其原數又各減其贏去之一而列之(以七百為和數)
和數列位
如法減併丙七分為法二千一百為實法除實得三百為丙之一分以丙分母三乗之得九百為丙原金以丙之一分減乙剰七百餘四百為乙所餘二之一二因之得八百為乙原金以乙二之一減甲剰金七百餘三百為甲自剰四之三三
除之得一百為甲三之一四乗之得四百為甲原金
計開
甲原金四百加贏乙四百(二之一也)共八百除丙又贏
去甲一百(四之一也)仍餘七百
乙原金八百加贏丙三百(三之一也)共一千一百甲贏
去四百(乙二之一也)仍餘七百
丙原金九百贏甲一百(四之一也)共一千乙贏去三百(丙三之一也)亦仍餘七百
論曰此與刋誤條騾馬逓借一匹同但馬一騾二驢三
即是原物偕所借之一而為和數今乙一丙二甲三却是各所存之餘分偕所贏之一分而為和數也得數大異者馬騾即是全數今則用分故丙之全數轉多於乙若以一分計則乙之分自多於丙如馬力之於騾矣
又論曰此三條皆是兩相交易而又是和數與前數條
金銀交易幾錠不同
難題歌曰一條竿子一條索索比竿子長一托雙折索
子去量竿却比竿子短一托
解曰一托者五尺也
法以零整襍列位因雙折是二之一故以二通索
法一即以實一丈命為繩之一分分母二因之得繩長二丈減負五尺餘得竿長一丈五尺
假如有繩長不知數但云比竿長六尺若三折其繩則
短於竿八尺
法二除實三丈得竿長一丈五尺加正六尺得繩長二丈一尺
論曰原法别有求法然不如方程穏捷故作此問以明
之若用難題法不能通矣故方程能御雜法而雜法不能御方程此條統宗原入均輸今改正
問井不知深先將繩折作三條入井汲永繩長四尺復
將繩折作四條入井亦長一尺其井深繩長各若干
法以兩母(三四)相乗得十二分為繩母數以母(三四)互乗
其子(之一之一)得(四三)是為以繩十二分之四汲水而長四尺以繩十二分之三汲水而長一尺也
餘一分為法即以實三尺命為繩十二分之一
以十二分乗一分得三十六尺為繩長以繩之三分計九尺同減負一尺得八尺為井深
計開
井深八尺
繩長三十六尺
三折之得一十二尺比井多四尺
四折之得九尺比井多一尺
論曰此條原屬盈朒今以方程御之尤簡易故曰方程
能御雜法也
試更之則先得井深
法一省除即以八尺命為井深加正四尺共十二尺繩之四分除之得三尺為一分一十二分母乗之得繩長三十六尺
論曰此餘八尺者即物實也前以餘三尺為繩長實者
即人實即此可悟盈朒章作法之原要之是二色方程法耳(人實物實不同而除法則同故皆可以互求)
今有絹一疋欲作帳幅先摺成六幅比舊帳長六寸改
折作七幅却又短四寸其絹併舊帳幅各長若干(折作六幅以較長即六之一七幅即七之一)
法如前以(六七)幅相乗得四十二分為總母以(六七)互乗
其(之一之一)得(之七分之六分)為所用之分而列之(以絹四十二之七則長於帳六寸短以絹四十二之六則於帳四寸)為較數
法一實一尺即為絹之一分以分母四十二乗之得絹長四丈二尺以絹之七分計七尺減負六寸餘六尺四寸為舊帳之長
計開
舊帳幅六尺四寸
絹長四丈二尺
均作六幅得七尺比帳長六寸
均作七幅得六尺比帳短四寸
論曰此與井不知深皆是以一物之細分與一整物較
皆零整雜用之法也
又以上三條盈朒章舊有求法然皆因所較之井深與
舊帳幅皆為一數而不變故可用盈朒之法若亦有分數不同則非盈朒所能御此方程之用能包盈朒諸法而諸法不能御方程
今有臺不知髙從上以繩縋而度之及臺三之二而餘
六尺雙折其繩度之及臺之半而不足三尺問臺之髙及繩之長若何
法以臺(三二)之(二一)用母相乗為母之法通臺為六分又
用母互乗子為子之法變臺三之二為六之四臺之半為六之三又以雙折通繩為二皆以化整為零而列之
餘繩二分為法併三十尺為實因二為分母與法同省除與乗徑以實三十尺為繩長減負六尺餘二十四尺以臺之四分除之母六乗之得三十六尺為臺髙
計開
臺髙三十六尺
繩長三十尺
臺三之二髙二十四尺以繩度之餘六尺
臺之半髙一十八尺以半繩一十五尺比之短三尺
今有井不知深以乙繩汲之餘繩二尺以庚繩汲之亦
餘繩四尺雙折庚繩三折乙繩以相續而汲之適足問井深及二繩各長若何
法以乙繩通為三庚繩通為二
以三色列之井整數乙庚用分
以隔行之同名仍為較數列之餘較皆與庚同名
餘庚一分為法即以實一丈命為庚二之一倍之得庚繩二丈減負二尺得乙繩一丈八尺(用減餘之右行葢乙正三即全數也)
又減負二尺得井深一丈六尺(用原列之右行亦以乙負三即全數故)計開
井深一丈六尺
乙繩一丈八尺比井多二尺
庚繩二丈比井多四尺
三折乙繩六尺加雙折庚繩一丈共一丈六尺即同井深
論曰此二條與前井深絹帳同理然即非盈朒所能御又按田之横直亦可以繩折比量水面亦然
今有直田欲截一段之積只云截長六歩不足積七步
截長八步又多積九步問所截之積及原濶
法以較數列之(其原濶即截長每一步之積)上中下
長二步除積十六步得原濶八步以截長六步乗濶得四十八步加不足七步得截積五十五步
論曰此盈朒中方田也然無闗於方田之實用故入盈
朒然不知宜入方程也
試更作問
今有方田欲截横頭之積改為直田但云截濶五步則
不足十二步截濶九步則如所截之積一有半問所截直田積并原田之方
如法列位
濶一歩半為法積十八歩為實法除實得原方一十二歩以濶五歩乗方得六十歩加不足十二歩得截直田七十二歩
計開
原方田方十二歩積一百四十四歩
截直田七十二歩宜截濶六歩
若此條則盈朒不能御
今有米換布七疋多四斗換九疋適足問原米若干及
布價
法列位上中下
布二疋為法四斗為實法除實得布價每疋二斗以九疋適足乗布價得原米一石八斗
論曰此盈朒中粟布法也
試更設問
今有榖換絹十疋餘三石以榖之半換絹六疋不足五
斗問原榖若干及絹價
法列位
法一免除得絹每疋價二石以十疋乗價加餘三石得原糓二十三石
若此條則非盈朒所能御
論曰直田截積及米換布盈朒本法也愚所設方田截
積及糓換絹非盈朒本法也乃帶分盈朒之變例也(如舊法芝蔴糶銀是其例也)雖盈胸亦有求法頗多轉折非其質矣不如用方程之省約
今有芝蔴不知總但云取麻八分之三糶銀十兩不足
二石取麻三分之一糶銀八兩適足問原麻總數及每銀一兩之麻
法先以麻(八三之三之一)用母相乗得二十四為母母互乗
子得(之九之八)為所用之分而列之依省算左加九之一而徑減
法一兩省除即以麻二石命為銀每兩之麻以銀八兩麻八分適足省乗除徑以二石為麻之一分以二十四分乗得原麻四十八石
計開
原麻四十八石銀毎兩麻二石
其八之三計一十八石銀十兩該二十石故不足
二石
其三之一計一十六石銀八兩恰該一十六石故
適足
若問麻每石之銀則以二石為法轉除一兩得每石價五錢
按此條宜入方程舊列帶分盈胸之末
問者若云有銀買麻以麻八之三與之則餘二石以麻
三之一與之適足問原麻及銀所買
依法求得二石為麻之一分以總母廿四分乗之得原麻四十八石以九分乗二石減負二石得銀所買麻十六石
論曰此所設問則盈朒帶分本法也然不能知每價以
方程法求之亦同觀此益見前條之宜入方程也
今有黄連木香不知數但云取連三之一換木香七之
二則連多二斤取連四之三換木香五之四則連少一斤若於五之四内減去木香三斤則連多一斤
法先以通分齊其分
乃列位
如法乗減餘木香二十二分為法異併黄連二十二斤為實法除實得每木香一分(即三十五分之一)換黄連一斤以木香十分換黄連十斤異加正二斤共十二斤以黄連正四分除之得黄連每三斤為一分以分母十二乗之得總黄連三十六斤
另併黄連多一斤少一斤共二斤為法除減木香三斤得每黄連一斤換木香一斤半(原少連一斤減木香三斤而轉多連一斤故知其數)
此連所換之木香一斤半即其三十五分之一分也以三十五分乗之得木香五十二斤半
計開
黄連三十六斤
木香五十二斤半
每黄連一斤換木香一斤半
三分三十六斤而取其一得一十二斤為黄連三之一七分五十二斤半而取其二得十五斤為木香七之二
該換連十斤今連有十二斤是連多二斤也
四分三十六斤而取其三得二十七斤為黄連四之三五分五十二斤半而取其四得四十二斤為木香五之
四該換連二十八斤今連只二十七斤是連少一斤也
若於木香五之四減三斤餘三十九斤該換連二十六
斤今連有二十七斤是連多一斤也
論曰凡較數方程有若干物共幾色又有其所較之價
銀若錢之類今所用較數即用其物之斤兩而無銀若錢微有不同乃古者貿遷有無交易之術也專用銀若錢以權物價後世事耳
問綾每尺多羅價三十六文今買綾六尺羅八尺其共
價綾比羅少三十六文
畣曰綾每尺一百六十二文羅每尺一百二十六文
羅二尺除二百五十六尺得羅價每尺一百二十六文加多三十六文得綾價每尺一百六十二文
問銀二千九百二十八兩買綾一百五十疋羅三百疋
絹四百五十疋只云綾每疋比羅多四錢七分羅每疋多絹一兩三錢五分畣曰綾每疋四兩三錢二分羅每疋三兩八錢五分絹每疋二兩半
絹九百疋為法除實二千二百五十兩得絹價二兩五錢加多一兩三錢半得羅價三兩八錢半又加多四錢七分得綾價四兩三錢二分
今有兄弟三人不知年小弟謂長兄曰我年比汝四之
三次兄比汝六之五比我多八歳
法以帶分别之皆變零從整
季弟二除一百四十四歳得年七十二歳加八歳得仲兄年八十六因仲年五除之得伯年九十六歳
計開
伯九十六歳仲八十歳(為伯年六之五)季七十二歳(為伯年四之三)今有四人分錢但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁
得甲二十四之十七其丁與丙差四文
甲正五乙負六空空適足(此行不用乙無對故也)
丁四除二百七十二得丁錢六十八文
加四文得丙錢七十二文
四乗丙錢三除之得甲錢九十六文
五乗甲錢六除之得乙錢八十文
計開
甲九十六文
乙八十文
丙七十二文
丁六十八文
甲六之一得一十六以五因得八十文為六之五乙數也甲四之一得二十四以三因得七十二為四之三丙數也甲二十四之一得四以一十七因得六十八為二十四之一十七丁數也
論曰此雖四色實三色也故徑以三色取之
今有七人逓差分錢但知首二人共七十七文次二人
共六十五文不知各數亦不知餘人數
法以逓差故知倍乙當甲丙倍丙當乙丁而列之
重列減餘與三行減餘變較
重列減餘與四行
丁八為法除實二百四十八文得三十一文為丁數倍丁數與六十五文相減得逓差三文以差逓
加得甲乙丙數以差逓減得戊己庚數皆加減丁數得之
計開甲四十文乙三十七文丙三十四文丁三十一文戊二十八文己二十五文庚二十二文
今有銀二百四十兩以四人逓差分之只云甲多丁一
十八兩
如前法以倍乙當甲丙倍丙當乙丁又依省算移甲
於丁位
和較列位
重列兩減餘
又重列減餘與末行
甲四除二百七十六兩得甲數六十九兩甲數内減十八兩得丁數五十一兩以甲數減二百四十兩餘一百七十一兩丙三除之得丙數五十七兩併丙數甲數一百廿六兩半之得乙數六十三兩
計開
甲六十九兩乙六十三兩丙五十七兩丁五十一兩逓差六兩
今有米二百四十石五人逓差分之其甲乙二人與戊
丁丙三人共數等
如前法列位依省算倒甲位自下而上
重列減餘與三行
又重列減餘與四行
又重列減餘與末行
甲十五除九百六十得甲數六十四石倍甲數減一百廿石餘得逓差八石以差逓減各數得乙丙丁戊數
計開
細分之逓差八石
論曰凡差分章竹筒七節盛米之類皆可以此法求之
兹不煩列
厯算全書卷四十五
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