厯算全書卷四十七

　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰

　句股闡微卷二

　句股積求句股弦句股積與弦較較求諸數

　　第一法

假如句股積(一百二十)弦較較(十二)

法以積四之得(四百八十)弦較較自之(一百四十四)兩數相減餘(三百三十六)折半(一百六十八)為實弦較較(十二)為法除之得句股較(十四)以加弦較較(十二)共得(二十六)為弦(有弦有句股較即諸數可求)

論曰甲乙丙丁合形為弦自乗大方幂甲小方為句股較幂弦幂内減句股較幂所餘丙乙丁磬折形原與四

　　　　　　　　　句股積等於中又減去乙小方為弦較較自乗幂仍餘丁丙二長方並以句股較為其長以弦較較為其濶故折半而用其一

為實以弦較較為法除之得句股較矣(是以濶求長)

　　第二法

置四句股積(四百八十)與弦較較自幂(一百四十四)相加得共(六百二十四)折半(三百十二)為實弦較較(十二)為法除之得(二十六)為弦弦内減去弦較(十二)得餘(十四)為句股較

論曰乙丙丁磬折形原與四句股積等今加一小方形如己為弦較自乗幂與乙等又丁丙二長方原相等於是合丁己為一長方合乙丙為一長方必亦相等矣(並以弦較較為濶以弦為長)故折半而用其一為實以弦較較為法除之即得弦矣(亦是以濶求長)

　

　　第三法

置四句股積(四百八十)為實弦較較(十二)為法除之得(四十)為弦較和以弦較較(十二)加弦較和四十得(五十二)折半(二十六)為弦以弦較較(十二)減弦較和(四十)得(二十八)折半(十四)為句股較於前圖乙丙丁磬折形即四句股積移丁長方置于戊

　　　　　　　　　　　為乙丙戊長方其長如弦較和其闊如弦較較故以弦較較除之得弦較和(若以弦較和除之亦得弦較較)

　　又簡法

置句股積(一百二十)為實以弦較較(十二)半之得(六)為法除之得(二十)為半弦較和以半弦較較(六)加半弦較和(二十)得(二十六)為弦又以半較(六)減半和(二十)得(十四)為句股較

論曰長方形濶(十二)如弦較較長(四十)如弦較和其積如四

　　　　　　　　　　句股今只用一句股積是四之一也積四之一者其邊必半觀圖自明

句股積與弦較和求諸數

　　第一法

假如句股積(一百二十)弦較和(四十)

法以積四之得四百八十弦較和自之得(一千六百)兩數相減餘(一千一百二十)折半得(五百六十)為實弦較和(四十)為法除之得(十四)為句股較以減弦較和得(二十六)為弦弦自乗(六百七十六)加四句股積(四百八十)得(一千一百五十六)平方開之得(三十四)為句股和以與句股較(十四)相加得(四十八)折半(二十四)為股又相減得(二十)折半得(一十)為句

　句(一十)股(二十四)弦(二十六)

　句股和(三十四)句股較(十四)弦較和(四十)

　弦較較(十二)

　　　　　　　　　　論曰總方為弦較和(四十)自乗之幂内分甲戊己方為弦自乗幂乙小方為句股較自乗幂於弦幂内減去戊己磬折形即四句股積則所餘者甲

小方即句股較幂與乙方等以甲小方合丁長方即與乙丙長方等(以丁丙小長方原相等故)此二長方並以句股較(十四)為濶以弦較和為長(四十)故折半而用其一為實弦較和(四十)為法除之即得句股較(是為以長求濶)

　　第二法

弦較和自乗(一千六百)與四句股積(四百八十)兩數相加(二千○八十)折半(一千○四十)為實弦較和(四十)為法除之得(二十六)為弦以減弦較和得(十四)為句股較餘如前(觀後圖自明)

　　第三法

置四句股積(四百八十)為實弦較和(四十)為法除之得(十二)為弦較較餘同弦較較第三法

　　又簡法

句股積(一百二十)為實弦較和(四十)半之得(二十)為法除之得(六)為弦較較之半餘並同弦較較簡法

　　　　　　　　　論曰乙丁丙甲戊己合形為弦較和(四十)自乗之大方外加一庚辛長方為四句股積與戊己磬折形等於是中分之為兩長方(乙丁庚辛合為左長方丙甲己戊合為右長方)並以弦為濶(二十六)弦較和(四十)為長故折半為實以弦較和除之得弦(亦為以長求濶)

借此圖可解第三法之理何則庚辛長方形既為四句股積而其濶(十二)如弦較較其長(四十)如弦較和是(十二)與(四十)相乗之積也故以弦較較除之得弦較和若以弦較和除之即復得弦較較

若庚辛長方横直皆均剖之成四小長方則其濶皆(六)加半較其長(二十)如半和而其積皆(一百二十)為一句股積矣此又簡法之理也

句股積與弦和較求諸數

　　第一法

假如句股積(六千七百五十)弦和較(六十)

法以弦和較自之得(三千六百)與四句股積(二萬七千)相減餘(二萬三千四百)折半(一萬一千七百)為實弦和較(六十)為法除之得(一百九十五)為弦加較(六十)得句股和(二百五十五)弦幂内減四句股積開方得句股較以加句股和折半得股以減句股和折半得句

　句(七十五)股(一百八十)弦(一百九十五)

　句股和(二百五十五)句股較(百○五)弦和和(四百五十)

　弦較和(三百)弦和較(六十)弦較較(九十)

　　第二法

以弦和較自乗(三千六百)與四句股積(二萬七千)相加得(三萬○六百)折半(一萬五千三百)為實弦和較(六十)為法除之得(二百五十五)為句股和内減弦和較(六十)得(一百九十五)為弦

　　　　　　　　論曰丁丙方為句股和自乗方幂内減甲戊方為弦自乗幂其餘丁戊丙磬折形四句股積也内減戊乙小方為弦和較自乗積則所餘丁戊長方與戊丙長方等而並以

弦為長弦和較為濶故以弦和較除之得弦此第一法減四句股積之理也

若於丁戊丙乙磬折形外加一己丙小方與戊乙等乃併之為庚戊長方與辛乙等並以句股和為長弦和較為濶此第二法加四積之理也(兩法並以濶求長)

　　第三法

置四句股積(二萬七千)為實弦和較(六十)除之得(四百五十)為弦和和以與弦和較相加折半為句股和又相減折半為弦此如有句股積有容圓徑而求句股弦乃還元之法也

　　　　　　　　　論曰前圖中辛乙長方并戊丙長方是四句股積聯之為辛丙

長方則其濶丁辛弦和較也其長丁丙弦和和也

　　又簡法

置句股積(六千七百五十)為實半弦和較(三十)除之得(二百二十五)為半弦和和以與半弦和較相加得二百五十五為句股和又相減得(一百九十五)為弦此如有容圓半徑以除句股積而得半弦和和句股積與弦和和求諸數

　　第一法

假如句股積(六千七百五十)弦和和(四百五十)

法以積四之得(二萬七千)弦和和自之得(二十○萬二千五百)兩數相減餘(十七萬五千五百)折半(八萬七千七百五十)為實弦和和(四百五十)為法除之得(一百九十五)為弦以減弦和和得(二百五十五)為句股和

　　第二法

以四句股積與弦和和幂兩數相加得(二十二萬九千五百)折半得(十一萬四千七百五十)為實弦和和(四百五十)為法除之得(二百五十五)為句股和以減弦和和得(一百九十五)為弦

論曰甲乙大方弦和和自乗也内分甲丁方弦自乗也

　　　　　　　　　　與丁丙方等丁乙方句股和自乗也於丁乙内減去丁丙弦幂則所餘者四句股積即壬乙丙戊二小長方也而己辛小長方與丙戊等則己乙

長方亦四句股積也今於甲乙大方内減去己乙則所餘者甲戊己戊二長方並以弦為濶弦和和為長故以弦和和除之而得弦此第一法減四句股積之理也是為以長求濶

又論曰若於甲乙大方外増一甲庚長方與己乙等而中分之於癸戊則癸乙與癸庚兩長方等並以句股和為濶弦和和為長故以弦和和除之而先得句股和此第二法加四句股積之理也亦是以長求濶

　　第三法

置四句股積(二萬七千)為實弦和和(四百五十)除之得弦和較(六十)此如併句股弦除四倍積而得容員徑

　　又簡法

置句股積(六千七百五十)為實半弦和和(二百二十五)除之得半弦和較(三十)此如合半句半股半弦除積得容員半徑

欲明加減用四句股之理當觀古圖

　　　　　　　　　　甲乙丙句股形甲丙句六甲乙股八乙丙弦十

　　　　　　　　　　甲丁句股和十四壬辛句股較二甲己大方句股和自

乗冪也其積一百九十六丙戊次方弦自乗冪也其積一百壬庚小方句股較自乗冪也其積四甲己和冪内減弦冪所餘者四句股也弦冪内減較冪所餘者亦四句股也句股之積並二十四

甲丁句股和十四癸丁弦十子丁句股較二甲丙方爲句股和自乗冪(一百九十六)内減癸辛弦冪(一百)餘(九十六)爲甲己丙磬折形(亦卽四句股積)内分甲己直形移置於丙戊成乙戊長方卽爲弦(和較乗弦和和)又壬丁小方爲句股較自乗其冪四以減弦冪一百餘九十六爲癸壬辛巳磬折形(亦卽四句股積)内分癸壬直形移置於辛庚成己庚長方卽爲弦較較乗弦較和

假如方環田有積有田之濶問内外方各若干

法以積四之一爲實田濶除之得數爲内外二方半和與田濶相加得外方又相減得内方(葢田濶卽如半較)

若但知外方及内小方及環田積法即并大小方邊為和以除積得數為較較與和相加折半為外周大方又相減折半為小方以兩方之較折半為環田濶

若方田内有方墩法同或方墩不居正中其法亦同但只可求大小方邊不能知濶

總論曰弦較較乗弦較和之積與弦和較乗弦和和之積等為四句股乃立法之根也而其理皆具古圖中學者所宜深玩

又如有辛庚壬圓池不知其徑法於乙作甲乙直線切員池於庚又乙丙横線切圓池於壬乙為正方角又自

　　　　　　　　　　丙望甲作斜線切員池於辛乃自丙取乙丙之度截斜線於丁又自甲取甲乙之度截斜線於戊末但量丁戊有若

干尺即圓池徑

解曰此即句股容員法也丙乙句截甲丙弦於丁則丁甲為句弦較甲乙股截弦於戊則戊丙為股弦較而丁戊為弦和較故即為圓徑其句股弦不必問其丈尺但取三直線並切員而乙為方角足矣故為測員簡法(凡城堢墩臺錐塔員柱之類形正員者並同一法也)

句股容方(係鮑燕翌法)

句股形引股線法

即依正角作方形於形外又即引小形成大形

甲乙丙句股形今欲引甲乙股至丁甲丙弦至戊而令

　　　　　　　　乙丁與戊丁等

　　　　　　　　法曰以乙丙分甲乙得數減一餘用歸甲乙得之

　　　　　　　　解曰乙丙與甲乙原若丁戊與甲

丁故以乙丙分甲乙與以丁戊分甲丁所得之分數等然則減一者雖似于甲乙分數内減乙丙之一分實于甲丁分數内減丁戊之一分也(即乙丁之一分)故以減餘分甲乙而得(勿菴又法句股相乗為實句股較為法除之亦即得所引乙丁與乙戊同數)

句股形截股法

即依正角作方形於形内又即截大形成小形

甲丁戊句股形内今欲截甲丁股於乙甲戊弦于丙而

　　　　　　　　令乙丁與乙丙等

　　　　　　　　法曰以丁戊分甲丁得數加一共用歸甲丁得之(勿菴又法句股相乗為實句股和為法除之亦即得所截乙丁與丁丙同數即句股容方法)

解曰丁戊與甲丁原若乙丙與甲乙故以丁戊分甲丁與以乙丙分甲乙所得之分數等然則加一者雖似于甲丁分數外加丁戊之一分實于甲乙分數外加乙丙之一分也(即乙丁之一分)故以加共分甲丁而得

若欲令丙戊與丁戊等或欲令乙丙與丙戊等依法推之按後一法即句股容方也原法簡易今鮑燕翼先生所設殊新要其理亦相通耳(勿菴補例)

設甲乙股十六乙丙句八今引甲乙股長出至丁

　　　　　　　而令引出之乙丁股分與所當之丁戊句等問若干答曰乙丁十六

　　　　　　　法以乙丙句(八)甲乙股(十六)相乗得(一百廿八)為實句股相減得較(八)為法除之得乙丁引出一十六與丁戊句相等若如鮑法以句(八)除股(十六)得(二)内減去一仍餘一用為法以除股(十六)仍得(十六)為乙丁

又設甲乙股(四十八)乙丙句(十二)依法引出乙丁股(十六)與丁戊句等

　　　　　　　　法以句十二乗股(四十八)得積(五百七十六)為實句減股得較(三十六)為法除之得(十六)為乙丁

或以句(十二)除股(四十八)得數(四)内減(一)餘(三)為法以

除股(四十八)亦得(十六)為乙丁

又設甲乙股(六)乙丙句(四)依法引出乙丁股(十二)與丁

戊句等法以句乗股得(二十四)為實句股較(二)為法

除之得(十二)為乙丁

或以句(四)除股(六)得(一半)内減一餘(半)為法以除股(六)

　　　　　　　亦得(十二)為乙丁

　　　　　　　解曰半為除法則得倍數此畸零除法也詳别卷

又設甲乙股(三十)乙丙句(十二)依法引出乙丁股(二十)

與丁戊句等

法以句乗股得(三百六十)為實句股較(十八)為法除之

得乙丁(二十)

　　　　　　　或以句(十二)除股(三十)得(二半)内減

　　　　　　　一餘(一半)為法以除股(三十)亦得乙

　　　　　　　丁(二十)

解兩法相同所以然之故葢此是依句股正角(即乙角)作正方形於形之外也本法以句弦較為法除句股形倍積(即句股相乗)今不用句股較之本數而用其除過之句股較為法(以句除股則股内所原帶句數及句股較數並為句所除而減去其一即減去除過之句也用減餘為法即是用其除過之句股較為法也)故亦不用句股形之倍積而用其除過之倍積為實(倍即是句股相乗之數若以句除之必仍得股今徑以股數受除即是用其除過之倍積為實也)法實並為除過之數則其理相同而得數亦同矣

　以上補第一條之例

設甲丁戊形甲丁股(廿八)丁戊句(廿一)甲戊弦(三十五)欲截甲

　　　　　　　丁股于乙截甲戊弦于丙而令所截之乙丁與乙丙等問其數若干

　　　　　　　答曰乙丁一十二

法以甲丁股(二十八)丁戊句(二十一)相乗得(五百八十八)為實併句股得和(四十九)為法除之得(一十二)為所截乙丁與乙丙截句等

如鮑法以句(二十一)除股(二十八)得一(又三之一)又外加一數共二(又三之一)為法(通作七)用以除股二十八(通作八十四)亦得(十二)

為乙丁截股

設甲丁股(三百四十五)丁戊句(一百八十四)弦甲戊(三百九十一)欲截乙丁與乙丙等該若干答曰一百二十

　　　　　　法以句(一百八十四)股(三百四十五)相乗得(六萬三千四百八十)為實句股和(五百二十九)為法除之得所截乙丁(一百二十)與截句乙丙等

或以句(一百八十四)除股(三百四十五)得一(又八之七)又外加一

共二(又八之七)通作(二十三)為法以股(三百四十五)通作(二千七百六十)為實法除實亦得(一百二十)為乙丁截股

解兩法相同所以然之故葢此是依句股形正角作方形於内(即句股容方)也本法以句股和為法除句股形倍積(即句股相乗)今不用句股和本數而用其除過之句股和為法(股被句除既變為除過之股而得數中之一其本數皆與句同今於得數又加一是又加一除過之句合之則共為除過之句股和矣)故即用股為實以當除過之倍積法與實並為除過之數則其理相同而得數亦同矣

　以上補第二條之例

按數度衍有在逺測正方形之算立破句名色不穏圖亦不真今于此第一例中生二法補之

分角線至對邊(亦係鮑法)

甲乙丙句股形今平分乙方角作乙丁線至對邊弦欲知丁㸃之所在

法曰先依句股求方求得己丁戊乙正方形

　　　　　　次用丁戊丙形或丁己甲形求得丁丙弦或甲丁弦即得

甲乙丙句股形今平分乙鋭角作線至甲丙股欲知丁㸃所在

法以甲丙股乙丙句相乗得丙庚長方亦即乙辛長斜

　　　　　　　方其辛戊小長斜方又即戊壬長斜方取甲子癸小句股形補壬寅丑虚句股形成甲寅長方此即句股相乗

實以句弦和除之也(甲乙為弦乙壬即句)得壬寅邊

丙甲辛句股形中(即甲乙丙原設形)作甲卯垂線至丙辛弦(法另具)于是一率甲卯二率甲辛三率甲子四率甲癸(即丁己)成丁己乙戊四斜方形

次用丁戊丙形或丁己甲形依句弦求股求得丁丙或丁甲即得

按上鮑法此寅甲長方為句弦和除句股形倍積所得壬寅邊必小于句股容方之邊其内容丁己乙戊四斜方形之丁己邊又必大于句股容方之邊二者之間可以得容方邊矣(容方邉除倍積得句股和以減句弦和得股弦較即其他可知)

求丁己線法一率甲丙股二率甲乙弦三率壬寅四率丁己(即壬丑)

甲乙丙鋭角形求分乙角作線至甲丙邊之丁㸃

　　　　　　　法於形中求得辰丙垂線(丙辛甲形即甲乙丙形故其垂線等)用丙長線乗乙丙所得即辛乙長斜方形自此以下至成丁己乙戊四斜方(並同前法)

次用比例法一率甲乙二率甲丙三率丁戊

四率得丁丙

或一率甲乙二率甲丙三率甲己四率甲丁

甲乙丙鈍角形法先從形外求得甲辰外垂線引乙丙線與之相遇次以甲辰垂線乗乙丙得乙辛長

　　　　　　　斜方形餘同前法

　

　　　　　　　甲乙丙鈍角形甲辰垂線在形外與右圖同法

　　　　　　　鼎按若依幾何六卷三題法甚㨗

句股容員

甲乙丙句股形求容員徑卯戌(即丁辛)

法於甲丙弦上截丁丙如句(乙丙)又截甲辛如股(乙甲)因得丁辛即容員之徑

試依所截丁丙為句作戊丁丙句股形(自丁作弦之垂綫至戊又引乙丙句遇于戊即成此形)又依所截甲辛為股作甲辛氐句股形(自辛作弦之垂線長出至氐引甲乙股遇于氐)又作戊戌房句股形(引戊丁股至房如弦之度自房作垂線至戌即成)乃自甲自戊各為分角綫遇於己成十字則己即容員心也又引十字綫透出而以甲己為度截之於癸于女乃自癸作線與丙戊平行至辰又自女作

　　　　　　　　　　　辛氐及房戊之垂線穿而過之與癸辰線遇於辰又引氐辛線至癸引房戌線至女得女辰女房癸辰癸氐四線皆如甲丙弦女卯女亢癸丑癸未四線皆如

甲乙股卯辰房亢丑氐辰未四線皆如乙丙句又成女卯辰女亢房癸未辰癸丑氐四句股形共八句股形縱横相叠並以容員心己㸃為心此同心八句股形各線相交成正方形二其一卯戌丑乙形依原形之句股而立其乙方角即原形之所有也其一丁辛亢未形依原形之弦而立即所謂弦和較也此兩形者皆相等而其方邊並與容員徑等即容員徑上之方幂也

然則何以又為弦和較試即以原弦論之甲丙弦上所截之丁丙即句也甲辛即股也句股相併即重叠此丁辛一邊是句股和多於弦之數古人以弦和較為容員徑葢謂此也八句股形即有相等之八弦每一弦上各有此重叠之線以成兩四方形相等之八邊可以觀矣(因鮑圖改作之彼原有八角形外小句股形輳成一等面八角形之論但圖欠明顯)

相似兩句股并求簡法

假如癸辛己大形癸壬乙小形其癸角等則為相似之兩句股形今欲求兩形之兩句合線(兩句者一為己辛大句一為壬乙小句即辛甲也則己甲為兩句合線)

法以兩弦(一癸己大弦一癸乙小弦)并之為三率以癸角之正弦(兩癸角等只用其一)為二率二三相乗為實半徑全數為法實如法而一得四率己甲即(己辛壬乙)兩句之合

　　　　　　　　　　　　數

　　　　　　　　　　　　何以知之曰試引癸己弦

至丁截己丁弦如癸乙則丁癸即兩弦合數也乃以癸角之正弦乗之半徑(全)除之即得丁丙而丁戊即壬乙(以己丁即癸乙也亦即甲辛)戊丙即己辛(同在直線限内也)則所得丁丙亦即己甲矣

　　　　　　　　　　　有句股和有弦求句求股(量法)乙甲句股和丙甲弦

　　　　　　　　　　　原法以甲為心作乙己卯象限又以丙甲弦半之於丁以丁為心作甲戊丙半圓

次于丙戊半員上任以辛為心丙為界作丙己小員屢試之令小員正切象限如己乃作己辛甲及辛丙二綫則辛丙為句辛甲為股如所求按此法不誤但己㸃正切處難真今别立法求己㸃

法曰自丁㸃作垂線分半圓于戊以戊為心用丙為界作丙己庚丑甲全員全員與象限相割于己從己向甲作直線割半員于辛乃作辛丙為句即辛甲為股合問如此則徑得辛㸃不用屢試得數既易且真確矣

論曰凡平員内作兩通弦至員徑兩端必為句股而員徑常為弦今既以丙甲弦為半員徑則其辛丙與辛甲兩通弦必句與股也而己辛甲線與乙甲等即句股和也今以辛為心作小員而其邊正切己則己辛與丙辛等為小員之半徑即等為句線矣於己甲句股和内截己辛為句則辛甲必為股故此法不誤也

又論曰半員内所容句股形以半方形為最大(即甲戊丙也其餘皆半長方形之句股故小)其句股和亦最大(丙戊句甲戊股相等其和甲戊庚為最大其餘股長者句反甚小故其和皆小于甲戊庚)即弦上方幂之斜徑也(甲未庚丙為弦上平方幂甲戊庚為其斜徑)以此為象限之半徑(如辰庚亥象限其半徑辰甲及亥甲並與庚戊甲等)則能容弦上平方(如甲未庚丙平方必在辰庚亥象限内)又戊心所作平方外切之平圓亦能容弦上平方(此員以戊為心以平方四角為界其全徑甲戊庚即平方之斜徑也)三者相切于庚㸃惟相切不相割其餘句股和並小(如乙甲和必小于辰丙)不能包平方之角即不能外切平員而與之相割矣(如乙甲和為半徑作乙己卯象限不能包庚㸃即與平員相割如己)其自庚至丙並可為相割之己㸃而四十五度之句股具焉(八線表所列之句股只四十五度互相為正餘句為正弦股即餘弦也分言正弦則初度小而九十度最大也若合正弦餘弦為和數則初度與九十度皆最小惟四十五度最大)己足以盡句股之變態矣(若過庚向末亦四十五度己㸃至此餘其和數反小而與前四十五度為正)句股和之最大者以略小於弦上斜線而止(凡句股有和有較皆長方形之半非正半方也若半方形則有和無較可無用算非句股所設)其最小者以稍大于弦線而止(若同弦線即無句股)無有不割平圓故可以己㸃取之也

又論曰以方斜為半徑作象限則能容平方以方斜為半徑作半圓則能容方斜上平圓(如庚己丙甲未平圓其徑甲戊庚方斜是即方斜上之平圓也若以甲戊庚半徑作大半圓即能容之)凡半圓内所容之圓度每以兩度當外周半圓之一度何則論度必以角惟在心之角一度為一度若在邊之角則兩度為一度(如辰庚亥半圓從甲心出兩線一至庚一至辰作辰甲庚角其度辰庚四十五度是一度為一度也若庚己丙甲未圓從甲邊出兩線一遇戊至庚一至丙作庚甲丙角其度庚己丙象限只作四十五度是兩度當一度以同用甲角故也)凖此論之則弦上半圓所作之戊甲丙角亦必四十五度矣(既同用甲角則戊辛丙象限亦兩度當一度)若是則庚己丙之度與

　　　　　　　　　　戊辛丙等(並同用甲角以庚辰為度故也)而己㸃所割之己丙弧及辛丙弧亦必等度矣(己丙為方外切員之度辛丙為方内切員之度大小不同而同用甲角以己乙為其度角等者度亦等)

又引辛丙至寅則寅丑甲與辛戊甲兩弧亦必等度(以同用丙角故也)而同為甲角之餘(丙角原為甲角之餘乃甲角減象限是以己甲乙減象限得己甲卯角與辛丙甲角等也其度則兩度為一度乃甲角之倍度減半周是以寅庚減半周得寅丑甲以丙辛弧減半周得辛戊甲也)又己庚丑未弧原為己丙減半周之餘即與寅丑甲等於此兩弧内各減寅丑未則己庚寅與未癸甲亦等於是作己寅線與未甲等亦即與丙甲等

而寅己丙與甲丙己又等(于寅己及甲己各加一己丙)則丙辛寅及己辛甲兩直線亦等(皆句股和也)兩和線相交於辛則交角等(皆十字正角)

又作己丙線成己辛丙三角形而己角丙角等(己甲丙三角形與己寅丙等則對丙甲之己角對己寅之丙角亦等)則角所對己辛邊丙辛邊亦等矣凖上論己辛與丙辛必等故用己㸃以求辛㸃而和數中句股可分也

又論曰凡句股和所作象限與斜方上平員相割有二㸃其一為己其一為丑自丑作直線至甲心(象限心也)割半員於壬作丙壬線即成丙壬甲句股形與甲辛丙等(丑甲丙角為丙甲壬角之餘與壬丙甲角等而其度丑卯與己乙等是丙甲辛角與壬丙甲等也辛壬又皆正角又同以丙甲為弦是兩句股形等也)凖此論之凡半員内所作句股皆兩兩相似(句股之正角必負員周亦兩兩相對如辛㸃在戊丙象限内即有壬㸃在戊甲象限與之相對皆與象限上己㸃丑㸃相應其所作句股形亦兩相似)故四十五度能盡句股之變也(戊丙與戊甲兩象限並兩度當一度其真度在庚辰及庚亥兩半象限中故皆四十五度)

試以壬為心丑為界作員界必過丙是丙壬股即丑壬而丑甲為和也丑壬股大于戊丙而丑甲和小于庚甲以是知和數之大至庚甲而極也

凖上論又足以證己庚丑癸員能盡割員句股之理

句股和較

弦與句股較(相和即弦較和加句即股弦和减股即句弦較内减弦存句股較相較即弦較較减句即股弦較加股即句弦和用减弦存句股較)

弦與句股和(相和即弦和和减弦即句股和减股即句弦和减句即股弦和相較即弦和較加句弦較即股加股弦較即句加句弦較股弦較即弦)

弦與句弦較相和(加句即兩弦减句即兩句弦較减弦即句弦較)

　　　　　相較(即句)

句與股弦較(相和即句較和加句股較即弦减股弦較即句加句弦較减股弦較即股相較即句較較加句股較股弦較即股加股弦較即句加句股較股弦較較即弦)

句與股弦和(相和即句和和减弦即句股和减股即句弦和减句即股弦和相較即句和較减股即句弦較减弦即句股較加句即股弦和)

句與句股較(相和即股)

　　　　　相較(加句股較即句加兩句股較即股)

句與句股和相和

　　　　　相較(即股减股即兩句加股即兩句股和)

句與句弦較相和(即弦)

　　　　　相較(加句弦較即句加兩句弦較即弦)

句與句弦和相和

　　　　　相較(即弦)

句股較句弦較(相較即股弦較)句股較股弦較(相較即句弦和内减兩句又兩股弦較相和即股弦和内减兩句相和即句弦較)

句弦較股弦較(相較即句股較相和即兩弦内减一句一股)

句股和句弦和(相較即股弦較)句股和股弦和(相較即句弦較相和即兩句一股一弦相和即兩股一句一弦)

句弦和股弦和(相較即句股較相和即兩弦一句一股)

句股較與(句股)和(相和即兩股)句股較與(句弦)和(相和即股弦和)句股較與股弦和相和(相較即兩句相較即句弦和)

句弦較句弦和(相和即兩弦)句弦較與(句股)和(相和即股弦和)句弦較與股弦和相和(相較即兩句)相較(相較即句股和)

弦和較弦和和(相和半之為句股和)弦和較弦較和(相和半之為股相較半之為弦相較半之為句弦較)

弦和較弦較較(相和半之為句)弦和較句較和(相和半之為句相較半之為股弦較相較半之為股弦較)

弦和較句和較(相和半之為句)弦和較句較較(相和半之仍為弦和較相較半之為股弦較)相較即减盡

弦和和弦較和(相和半之為股弦和)弦和和弦較較(相和半之為句弦和相較半之為句)相較(半之為股)

弦和和句較和(相和半之為句弦和)弦和和句和較(相和半之即股弦和相較半之為股)相較(半之為句)

弦和和句較較(相和半之即句股和)弦較和弦較較(相和半之為弦相較半之為弦相較半之為句股較)

弦較和句較和(相和半之為弦)弦較和句和較(相和半之為股與句弦較或弦與句股較相較半之為句股較)相較恰盡

弦較和句較較(相和半之為股)弦較較句較和(相和半之為句與股弦較相較半之為句弦較)相較恰盡

弦較較句和較(相和半之為弦)弦較較句較較(相和半之為句相較半之為句股較相較半之為股弦較)

句較和句和較(相和半之為弦)句較和句較較(相和半之為句相較半之為句股較相較半之為股弦較)

句和較句較較(相和半之為股相較半之為句弦較)

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　厯算全書卷四十七