钦定四库全书
　历算全书卷五十四
　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰
　三角法举要卷五
　测量(三角用法算例已具兹则举高深广远/以徵诸实事亦与算例互相补备也)
　　一测高
　　一测远
　　一测斜坡

　　一测深
　　　附隔水量田
　　　附解测量全义

三角测高第一术
　自平测高
假如有塔不知其高距三十丈立表一丈用象限仪测得
高二十六度三十四分弱依切线术求得塔高一十六丈
　　　　　　　一半径　　　　　　一○○○○○
　　　　　　　二戊角切线　　　　　五○○○○
　　　　　　　三距塔根(丙乙即/戊丁)　　　三十丈
　　　　　　　四塔顶高(甲丁端是截/算表 以上)　十五丈

　加戊丙表一丈(即丁/乙)共得塔高十六丈(甲/乙)
凡用象限仪以垂线作角与用指尺同理(指尺即窥衡亦曰/窥管亦曰窥筒)
若戊丙表立于高所当更加立处之高以为塔高
　　　　　　　　　　省算法从表根丙平安象限
　　　　　　　　　　以一边指塔根乙一边指癸
　　　　　　　　　　乃顺丙癸直线行至癸得三
　　　　　　　　　　十丈与丙乙等复于癸平安
　　　　　　　　　　象限作癸角与戊角等边指

丙尺指壬则壬丙远即甲丁之高(亦加丁乙/为塔高)
　　　　　　　　论曰癸角同戊角丙癸同丙乙丙
　　　　　　　　与乙并正角则两句股形等立面
　　　　　　　　与平面一也
　　　　　　　　又术自丙向癸却行以象限平安
　　　　　　　　边指丙尺指乙求作戊之馀角得
己丙之距即同甲丁之高
又省算法用有细分矩度自戊数至癸令其分如丙乙

　　　　　　　　之距(或两倍/三倍)从癸数壬癸直线之
　　　　　　　　分即甲丁之距也(先以二分为丈/或三分为丈今)
　　　　　　　　(亦同/之)
　
　　　　　　　　用矩度以垂线作角其用亦同

三角测高第二术
　平面则不知远之高法用重测
假如有山顶欲测其高而不知所距之远依术立二表
相距一丈二尺用象限仪测得高六十度十九分退测
后表得五十八度三十七分查其两馀切线以相减得
　　　　　　　　　较数为法表距乘半径为实算
　　　　　　　　　得山高三十一丈
　　　　　　　　　一　馀切线较○○四○○○

　　　　　　　　　二　半径　　一○○○○○
　　　　　　　　　三　表距戊己　一丈二尺
　　　　　　　　　四　山高甲丁　三十丈
　　　　　　　　　加表一丈共三十一丈
　　　　　　　　　省算法用矩度假令先测指线
　　　　　　　　　交于辛后测指线交于庚成辛
　　　　　　　　　庚戊三角形法于两指线中间
　　　　　　　　　以两测表距(即戊/己)变为分如壬

癸小线引长之至丙即丙戊所当测高
论曰此即古人重表法也或隔水量山或于城外测城
内之山并同
　
　
　
　
　

三角测高第三术
　从高测高　又谓之因远测高
假如人在山颠欲知此山之高但知山左有桥离山半
里用象限测桥得远度一十八度二十六分强依切线
法求得山高一里半
　　　　　　　　　一　甲角切线　半径(一○○/○○○)
　　　　　　　　　二　半径　　　甲角馀切(三○○/○二八)
　　　　　　　　　三　桥远(戊丁/)　一百八十步

　　　　　　　　　四　山高(甲丁/)　五百四十步(○五/尺)
　　　　　　　　　省算法用矩度作壬癸线以当
　　　　　　　　　戊丁则己壬当甲丁
　
　
　
　
　

三角测高第四术
　从高测不知远之高　法用重测
假如人在山上欲知本山之高然又无可㨿之远但山
有楼或塔量得去山二十一丈以象限仪指定一处于
楼下测得五十五度二十六分又于楼上测得五十三
度五十分用馀切线求得山高三百四十四丈五尺
　　　　　　　　　一　两馀切较　　　四二
　　　　　　　　　二　下一测馀切　六八九

　　　　　　　　　三　楼高(两测/之距)　二十一丈
　　　　　　　　　四　山高　　　三百四十四
　　　　　　　　　　丈五尺
　　　　　　　　　省算法用矩度上测交庚下测
　　　　　　　　　交辛成辛己庚三角形法于两
　　　　　　　　　指线中间以上下两测之距变
　　　　　　　　　为分如壬癸小线引长之至丙
　　　　　　　　　即壬丙当所测本山之高

三角测高第五术
　若山上无两高可测则先测其弦(但山上有两所可/以并见此物即可)
　(测/矣)
　　　　　　　　　甲乙为山上两所(不拘平斜/但取直线)任
　　　　　　　　　指一处如戊于甲于乙用器两
　　　　　　　　　测之成甲乙戊形此形有甲乙
　　　　　　　　　两角又有甲乙之距为两角一
　　　　　　　　　边可求甲戊边法为戊角之正

弦与甲乙边若乙角之正弦与甲戊
再用甲戊丁句股形为半径与甲戊若甲角馀弦与甲
丁即山之高也
　
　
　
　
　

三角测高第六术
　借两远测本山之高
有山不知其高亦无距山之远但山前有大树从此树
向山而行相去一百八十五丈又有一树人在山上可
见两树如一直线即于山上以象限仪测此二树一测
远树四十三度三十二分一测近树三十度○七分用
切线较得本山高五百丈
　　　　　　　　　一　切线较　　三七○○○

　　　　　　　　　二　半径　　　一○○○○○
　　　　　　　　　三　两远之较　一百八十五丈
　　　　　　　　　四　本山高　　五百丈
省算作壬癸小线当两远之距(己/戊)而丙甲当本山高(甲/丁)
　
　
　
　

三角测高第七术
　用山之前后两远测高
　　　　　　　　　甲为山颠可见戊己两树其树
　　　　　　　　　与山参相直(如山南树直正/子北树直正午)而
　　　　　　　　　不知其距但山外有路与此树
　　　　　　　　　平行为庚辛其长三里(如两树/正南北)
　　　　　　　　　(此路亦自南/向正北行)即借庚辛之距为
两树之距以两切线并为法求之

先从甲测巳得甲角一十七度○四分又从甲测戊得
甲角三十四度三十四分法为两切线并与己戊若半
径与甲丁也
　一率两切线并(○九九/六○○)二率半径(一○○/○○○)三率己戊
　即庚辛(三/里)求得四率甲丁(三里○四步/又三之一强)
　
　
　

三角测高第八术
　测山上之两高
　　　　　　　　　甲山上有塔如乙欲测其高如
　　　　　　　　　乙甲之距于戊安仪器测乙测
　　　　　　　　　甲得其两戊角之度(一乙戊丁/二甲戊丁)
　　　　　　　　　各取其切线相减得较法为半
径比切线较若戊丁与乙甲
省算法数戊丙之分以当戊丁作壬癸丙小线则壬癸

之分即当乙甲
用矩度亦同
　
　
　
　
　
　

三角测高第九术
　隔水测两高之横距
　　　　　　　　　有甲乙两高在水外欲测其相
　　　　　　　　　距之远任于丙用仪器以边向
　　　　　　　　　丁窥筒指甲得甲丙丁角(一百/二十)
　　　　　　　　　(五/度)又指乙得乙丙丁角(五十/度)次
　　　　　　　　　依丙丁直线行至丁(得一/百步)再用
仪器以边向丙窥筒指甲得甲丁丙角(三十/九度)又指乙得

乙丁丙角(一百零/八度)又甲丁乙角(六十/九度)得三角形三(一甲/丁丙)
(二乙丁丙/三甲丁乙)
今算甲丁丙形有丁丙边丁丙二角求甲丁边
　一率甲角(一十/六度)正弦(二七五/六四)二率丁丙(一百/步)三率丙
　角(一百二/十五度)正弦(八一九/一五)求得四率甲丁边(二百九/十七步)
次乙丁丙形有丁丙边丙丁二角求乙丁边
　一率乙角(二十/二度)正弦(三七四/六一)二率丁丙边(一百/步)三率
　丙角(五十/度)正弦(七六六/○四)求得四率乙丁边(二百○/四步)

末乙丁甲形有甲丁边(二百九/十七步)乙丁边(二百○/四步)丁角(六/十)
(九/度)先求甲角
　一率两边之总(五百○/一步)二率两边之较(九十/三步)三率半
　外角(五十五/度半)切线(一四五/五○一)求得四率半较角切线(二/七)
　(○○/九)查表得一十五度○七分弱以减半外角得甲
　角四十度二十三分强
次求甲乙边
　一率甲角正弦(六四七/九○)二率乙丁边(二百○/四步)三率丁

　角正弦(九三三/五九)求得四率甲乙边二百九十四步弱
论曰此所测甲丁及乙丁皆斜距也或甲乙两高并在
一山之上于山麓测之或甲乙分居两峰于两峰间平
地测之或甲在水之东乙在水之西于一岸测之并同
若用有度数之指尺并可用省算之法
　
　
　

三角测高第十术
　隔水测两高之直距
　　　　　　　　　有两高如乙与甲于戊于庚测
　　　　　　　　　之
　　　　　　　　　先以乙庚戊形求乙庚斜距次
　　　　　　　　　以甲庚戊形求甲庚斜距末以
乙甲庚形(有乙庚边甲/庚边及庚角)求乙甲边即所求

三角测高第十一术
若山之最高颠为次高所掩则用递测
　　　　　　　　　山前后左右地势不同则用环
　　　　　　　　　测环测者从高测下与测深同
　　　　　　　　　太高之山则用屡测
　　　　　　　　　癸极高为甲次高所掩则先测
　　　　　　　　　甲复从甲测癸谓之递测
　　　　　　　　　乙丁与子丑居癸山之下为地

平而各不等则从癸四面测之如测癸辛之高以辛乙
为地平又测癸戍之高以戌子丑为地平则乙丁与子
丑之较为戍辛谓之环测
若山太高太大则于乙测甲又于甲测癸或先测卯又
测寅又测丑测子再从子丑测癸细细测之则真高自
见而地之高下亦从可知矣谓之屡测

三角测远第一术
　平面测远
有所测之物如乙于甲立表安象限以边指乙馀一边
对丁从甲乙直线上任取九步如丁于丁复安象限以
边对甲窥管指乙得丁角七十一度三十四分用切线
算得乙距甲二十七步
　　　　　　　　　一　半径
　　　　　　　　　二　丁角切线

　　　　　　　　　三　丁甲
　　　　　　　　　四　乙甲
　
若欲知丁乙之距依句股法甲丁甲乙各自乘并而开
方即得乙丁
若径求乙丁则为以半径比丁角之割线若甲丁与丁
乙也是为以句求弦
省算用矩度自丁数自癸取丁癸之分如丁甲之距(或/以)

　　　　　　　　　(分当步或二分或/三分当一步皆可)作壬癸丁小
　　　　　　　　　句股则壬癸之分即乙甲也(或/一)
　　　　　　　　　(分当步或二分三/分并如丁癸之例)而丁壬亦即
　　　　　　　　　当丁乙(若尺上有分/数即径取之)
若先从丁测测以测器向甲指尺向乙作丁角次依丁
甲直线行至甲务令测器之一边顺丁甲直线馀一边
指乙则甲为正方角如前算之即得(若甲非正方角则/于丁甲直线上或)
(前或后移测求/为正方角乃止)

三角测远第二术
　省算法
　　　　　　　　　人在甲欲测乙之远于甲置仪
　　　　　　　　　器一边向乙一边向丁成正方
　　　　　　　　　角乃依甲丁直线行至丁以边
　　　　　　　　　向甲窥管指乙作四十五度角
即甲丁与甲乙等
若用矩度以乙丁线正对方角则丁角为正方角之半

而甲丁等乙甲
论曰丁角为正方角之半则乙角亦正方角之半而句
与股齐故但量甲丁即知甲乙
　又省算法
　　　　　　　　　于甲置仪器以边向丁窥管指
　　　　　　　　　乙作六十度角顺甲丁直线行
　　　　　　　　　至丁复作六十度角则甲丁等
　　　　　　　　　甲乙

论曰甲角丁角俱六十度则乙角亦六十度矣故三边
俱等
若丁不能到则于甲丁线上取丙以仪器二边对甲对
乙成正方角则甲丙为乙甲之半

三角测远第三术
　平面测远用斜角
　　　　　　　　　人在甲测乙而两旁无馀地可
　　　　　　　　　作句股则任指一可测之地如
　　　　　　　　　丁量得丁甲二十丈于丁安仪
　　　　　　　　　器以边向甲窥筒指乙得丁角
(四十/六度)又于甲安仪器以边指丁窥筒指乙得乙甲庚角
(二十/一度)加象限(九十/度)得甲钝角(一百一/十一度)法为以乙角之正

弦(二十三度乃甲丁/二角减半周之馀)比丁甲若丁角之正弦与乙甲算
得乙甲三十六丈八尺二寸
若求乙丁则为以乙角之正弦比丁甲若甲角之正弦
与乙丁算得乙丁四十七丈七尺八寸(甲为锐/角法同)
省算法于仪器作壬甲线与乙丁平行作壬癸线与乙
甲平行成壬癸甲小三角形与丁乙甲等则甲癸当甲
丁而壬癸当甲乙又壬甲当乙丁用矩度同(但于象限/内作横直)
(分用同/矩度)

论曰壬角既同乙角(壬甲与乙丁平行壬癸与/乙甲平行则作角必相等)癸钝角
又同甲角则两三角相似而比例等
　　　　　　　　锐角形于甲测乙用矩度之边指
　　　　　　　　丁作甲角另用一矩度(其矩须于/两面纪度)
　　　　　　　　从丁测之以边向甲窥筒指乙作
　　　　　　　　丁角末移丁角作癸角于器上作
　　　　　　　　壬癸线与乙丁平行则癸甲当丁
甲而壬甲当乙甲壬癸当乙丁

三角测远第四术
　平面测远借他线为比例
　　　　　　　　甲乙为两所顺甲乙直线行任取
　　　　　　　　若干步至丙又于丙任作直线至
　　　　　　　　丁得若干步于丁安仪器以边对
　　　　　　　　甲窥衡指丙作丁角顺此直线至
　　　　　　　　戊复安仪器边对乙衡指丙作戊
角令与丁角等则丙丁比丁戊若丙甲与甲乙

　　　　　　　　　　省算法于乙甲直线上取丙
　　　　　　　　　　又从丙作丙戊直线截丁丙
　　　　　　　　　　如乙丙于丁用象限窥乙作
　　　　　　　　　　丁角再于戊窥甲作戊角令
　　　　　　　　　　与丁角等则丁戊即甲乙
　　　　　　　　　　又法甲置仪器指乙指丁作
　　　　　　　　　　角以减半周成外角(己戊为/甲角之)
　　　　　　　　　　(度丙庚戊为/外角之度)于丁置仪器指

甲指乙使丁角如半外角之度但量甲丁即得甲乙
论曰凡外角能兼内馀二角(乙/丁)之度丁角既为外角之
半则乙角亦外角之半矣角等者所对之边亦等故甲
丁等甲乙

三角测远第五术
　平面测远借他形为比例法
　　　　　　　　　从甲测乙任立一表于丙从甲
　　　　　　　　　用仪器以边向乙窥管指丙得
　　　　　　　　　甲角复于丁加仪器以边向戊
　　　　　　　　　窥管指丙使丁丙甲为一直线
而作丁角与甲角等乃顺仪器边取直线至戊令戊丙
乙为一直线则丁丙与丁戊若丙甲与甲乙(钝角形句/股形并同)

(一/理)
　　　　　　　　　　论曰丙戊丁与丙甲乙两三
　　　　　　　　　　角形相似以两形之丙角为
　　　　　　　　　　交角必相等而丁角又等甲
　　　　　　　　　　角则戊角亦等乙角矣故其
　　　　　　　　　　比例等

三角测远第六术　省算
　　　　　　　　有甲乙两所欲测其距如前立丙
　　　　　　　　表以器测得甲丙乙角之度又顺
　　　　　　　　乙丙直线行至戊令丙戊之距同
　　　　　　　　甲丙而止再从戊行至丁从丁窥
丙至甲成一直线于此直线上进退移测使乙丁丙角
为乙丙甲角之半则但量丁戊即同乙甲(甲为钝角或/丙为钝角并)
(同/)

　　　　　　　　　　论曰甲丙与丙戊既相等乙
　　　　　　　　　　丁丙角为乙丙甲外角之半
　　　　　　　　　　则丙乙丁角亦外角之半是
　　　　　　　　　　乙丙与丁丙亦等也而丙交
　　　　　　　　　　角又等是甲丙乙三角形与
　　　　　　　　　　戊丙丁形等角等边也故丁
　　　　　　　　　　戊即乙甲

三角测远第七术　重测
　　　　　　　　甲乙为两所欲测其距而俱不能
　　　　　　　　到则两测之于戊于丁量得戊丁
　　　　　　　　之距(十六/步半)用器测得戊角(五十度/四十三)
　　　　　　　　(分/)丁角(三十六度/一十分)两角之馀切线
较(五五○/○○)为一率半径(一○○/○○○)为二率戊丁(十六/步半)为三
率得四率为乙甲之距(三十/步)
若求戊甲之距以两测之馀切较(五五○/○○)为一率先测

戊角之馀切(八一八/○○)为二率丁戊(十六/步半)为三率得四率
戊甲(二十四/步五四)
论曰此即古人重表测远法也必丁戊甲直线与乙甲
线横直相遇使甲为正角其算始真假如乙甲正南北
距则丁戊甲必正东西斯能横直相交而成正角也

三角测远第八术
　分两处重测
　　　　　　　　乙岸在河东欲测其距西岸之远
　　　　　　　　如甲则任于甲之左右取丁戊两
　　　　　　　　所与甲参相直而距河适均测得
　　　　　　　　丁角(五十度四/十三分)戊角(五十五度/四十三分)用
　　　　　　　　两角度之馀切线并(一五○/○○○)为一
率半径(一○○/○○○)为二率丁戊之距(九十/六步)为三率求得四

率乙甲之距(六十/四步)为两岸阔
论曰此法但取丁戊直距与河岸平行则不必预求甲
点而自有乙甲之距为丁戊之垂线尤便于测河视用
切线较更简捷而稳当矣

三角测远第九术
　用高测远
　　　　　　　　甲乙为两所不知其远而先知丁
　　　　　　　　乙之高于甲用仪器测丁乙之高
　　　　　　　　几何度分即知甲乙法为半径比
　　　　　　　　甲角之馀切若丁乙高与甲乙之远
若人在高处如丁用高测远则为半径比丁角之切线
若丁乙与甲乙其理并同但于丁加仪器而用正切

三角测远第十术
　用不知之高测远
　　　　　　　　欲知丁乙之远而不能至乙乙之
　　　　　　　　上有庚又不知庚乙之高法用重
　　　　　　　　测先于丁测之得丁角(三十八度/一十三分)
　　　　　　　　又依丁乙直线进至甲测之得甲
　　　　　　　　角(五十三度五/十二分强)两馀切较(○五四/○○一)
为一率丁角馀切(一二七/○○一)为二率丁甲之距(二十/步)为三

率得四率丁乙(四十七/步○三)　或丁后有馀地退后测之亦
同
省算作壬癸丙线以壬癸分当丁甲之距壬丙当丁乙
之远
若人在高处如庚于庚测丁测甲以求丁乙其法亦同
但于庚施仪器而用正切(法为以两庚角之切线较比/丁庚乙之切线若丁甲与丁)
(乙/)
　

三角测远第十一术
　用高上之高测远
　　　　　　　　甲乙为两所而乙之根为物所掩
　　　　　　　　(如山麓有小阜坡陀礨砢林木/蔽亏或岛屿盘纠荻苇深阻)难
　　　　　　　　得真距若用两测甲外又无馀地
　　　　　　　　但取其高处如戊为山颠山上又
　　　　　　　　有石台台上有塔如丁丁戊之高
原有定距以此为用从甲测丁又测戊得两角(一丁甲/乙二戊)

(甲/乙)求其切线法为以切线较比半径若丁戊与乙甲
省算作壬癸丙小线以壬癸当丁戊则甲丙当甲乙矩
度同
若从高测远则于丁于戊两用仪器测甲用丁戊两角
之馀切较以当丁戊而半径当甲乙其理亦同
　
　
　

三角测远第十二术
　从高测两远
　　　　　　　　甲乙两远人从高处测之于丁用
　　　　　　　　仪器测甲测乙得两丁角(一甲丁/丙二乙)
　　　　　　　　(丁/丙)法为以半径比两角之切线较
　　　　　　　　若丁丙高与乙甲也
　　　　　　　　又法既得两角则移仪器窥戊作
戊丁甲角如甲丁丙之倍度又移窥己作己丁乙角如

乙丁丙之倍度则但量己戊即知乙甲
　
　
　
　
　
　
　

三角测远第十三术
　连测三远
丙乙为跨水长桥甲乙为桥端斜岸今于丁测桥之长
　　　　　　　　　并甲乙岸阔及其距丁之远近
　　　　　　　　　法于丁安仪器以边指戊衡指
　　　　　　　　　甲指乙指丙作丁角五(一甲丁/戊二乙)
　　　　　　　　　(丁戊三乙丁甲四戊丁丙五/乙丁丙皆丁角而有大小)
　　　　　　　　　次顺仪器边直行至戊得丁戊

之距于戊复用仪器以边指丁衡指丙指乙指甲作戊
角三(一丁戊丙二乙戊丙三甲/戊丁皆戊角而有大小)
一甲丁戊形有丁角戊角有丁戊边可求甲丁边
一乙丁戊形有丁角戊角有丁戊边可求乙丁边
一戊丁丙形有戊角丁角有丁戊边可求丁丙边
　　以上并二角一边求馀边得甲乙丙三处距丁之
　　远近
一乙丁丙形有丙丁边乙丁边有丁角可求乙丙边

一乙丁甲形有甲丁边乙丁边有丁角可求乙甲边
　　以上并二边一角求馀边得岸阔与桥长

三角测斜坡第一术
　斜坡上平面测两所之距
　　　　　　　　斜坡上有甲乙两所欲量其相距
　　　　　　　　之数任立丙表测得乙丙甲角度
　　　　　　　　乃顺甲丙直线进退窥乙至戊得
　　　　　　　　乙戊丙角为乙丙甲角之半又横
过至丁从丁窥丙至乙成一直线顺此直线进退窥甲
至丁得甲丁丙角亦为丙角之半则丁戊即乙甲

又法不必立表但任指一点为丙而于甲丙直线上任
取己点乙丙直线上任取庚点作庚丙己三角形有己
角庚角即知丙角末乃如上作丁戊两角为丙角之半
即所求
论曰此因乙甲在斜面高处而不能到故借用丁丙戊
形测之以丁丙戊乙丙甲两形相等故也何则丙交角
既等而乙丙甲外角原兼有丙乙戊乙戊丙两角之度
戊角既分其半乙角亦半则两角等而乙丙戊丙两边

亦等矣准此论之则甲丁丙角为丙外角之半者丁甲
丙角亦必为丙外角之半而甲丙丁丙亦等矣两形之
角既等各两边又等则三边俱等而戊丁即乙甲
若甲乙两所在下而丁戊两测在上亦同
　
　
　
　

三角测斜坡第二术
　斜坡测对山之斜高
　　　　　　　　　　对山之斜高如甲戊乙于对
　　　　　　　　　　山之斜坡测之如丙丁先量
　　　　　　　　　　得丙丁之距于丙安仪器得
　　　　　　　　　　丙角二(一乙丙丁/二戊丙丁)于丁安仪
器得丁角四(一乙丁丙二乙丁戊/三戊丁丙四乙丁甲)成各三角形
先用乙丙丁形(有丙角丁角/及丁丙边)测乙丁边　次用戊丙丁

形(有丙丁二角/及丁丙边)测丁戊边　三用乙丁戊形(有乙丁戊/丁二边及)
(丁/角)测乙角及乙戊边　四用乙丁甲形(有乙角丁角/及乙丁边)测
乙甲边乙甲内减乙戊得戊甲边(乙戊甲为垂/线之高法同)
　
　
　
　
　

三角测斜坡第三术
　测对坡之斜高及其岩洞
从丙从丁测对面之斜坡戊甲及乙戊
　　　　　　　　　　一乙丙丁形(有丙丁两测之/距丙角丁角)
　　　　　　　　　　可求乙丁边　二戊丙丁形
　　　　　　　　　　(有丙丁边/丁角丙角)可求丁戊丙戊二
　　　　　　　　　　边　三乙丁戊形(有乙丁边/戊丁边丁)
　　　　　　　　　　(角/)可求乙戊边为所测对山

上斜入之岩　四丙丁甲形(有丁角丙/角丙丁边)可求丙甲边
五甲丙戊形(有丙戊边丙/甲边丙角)可求戊甲边为所测对坡斜
高
或戊为高处基址乙为房檐亦同
　
　
　
　

三角测深第一术
　测井之深及阔
甲乙为井口之阔于甲作垂线至丁(或用砖石投/之以识其处)从乙
　　　　　　　　　　测之得乙角成甲乙丁句股
　　　　　　　　　　形即以甲乙井口为句得甲
　　　　　　　　　　丁股为井之深　既得乙丙
　　　　　　　　　　深(即甲/丁)即可用乙己戊形得
　　　　　　　　　　己戊为底阔法以半径当井

　　　　　　　　　　深(乙/丙)以两乙角(一戊乙丙/二己乙丙)之
　　　　　　　　　　切线并当井底之阔(己/戊)
　　　　　　　　　　若不知井口则立表于井口
　　　　　　　　　　如庚甲求庚甲二角成庚甲
　　　　　　　　　　丁形测之
　
　
　

三角测深第二术
　登两山测谷深
　　　　　　　　先于二山取甲乙之平而得其距
　　　　　　　　数为横线即可用三角形求丙丁
　　　　　　　　垂线为谷之深与测高同理(亦可/用以)
(测高/也)法为甲乙两角之馀切线并比半径若甲乙与丙丁
论曰深与高同理测深之法即测高之法也存此数则
以发其例有不尽者于测高诸术详之可也

　附隔水量田法
　　　　　　　　　　　甲乙丙丁田在水中不可
　　　　　　　　　　　得量于岸上戊庚两处用
　　　　　　　　　　　仪器测之得诸三角形算
　　　　　　　　　　　得其边(一甲乙二乙丙/三丙丁四丁甲)次
　　　　　　　　　　　求乙丁对角线分为两三
角形(一甲乙丁/二丙乙丁)末用和较法求得分形之两垂线(一甲/癸二)
(壬/丙)并两垂线而半之以乘乙丁即得田积

或用三较连乘法求三角形积并之亦同
凡有平面形在峭壁悬崖之上及屋上承尘可以仰观
者并可以此法测之

解测量全义一卷十二题加减法
　　　　　　　　　甲寅象限弧　甲乙半径全数
　　　　　　　　　为首率
　　　　　　　　　丙寅弧之正弦丙辛为一率
　　　　　　　　　丁寅弧之正弦丁庚为三率
　　　　　　　　　戊己为四率
二三相乘为实首率为法法除实得四此本法也今以
加减得之则不用乘除

丙寅加丁寅(即辰丙/)为辰寅总弧其馀弦辰卯(即子癸/)
丙寅内减丁寅为丑寅(即丙丁/)存弧其馀弦癸丑
以子癸减癸丑馀子丑平分之于壬为壬子或壬丑即
　　　　　　　　　四率(其壬子壬丑/皆与戊己等)　此因总弧
　　　　　　　　　不及象限故以两馀弦相减
　　　　　　　　　甲寅象限弧甲乙半径全数
　　　　　　　　　为首率
　　　　　　　　　丙寅弧之正弦丙辛为二率

丁寅弧之正弦丁庚为三率
戊己为四率
　以上皆与前同
丙寅加丁寅(即辰丙/)为辰寅总弧(此总弧大/于象限)其馀弦卯
辰(即子癸/)　丙寅内减丁寅(即丙丑/)馀丑寅为存弧其
馀弦丑癸
以子癸加丑癸为子丑半之于壬分为壬子及壬丑二
线皆与戊己同即为四率如所求

此因总弧过象限故以两馀弦相加
今订本书之讹
　　　　　　　　　　甲寅皆象限弧　甲乙半径
　　　　　　　　　　一○○○○○为首率
　　　　　　　　　　丙辛○五九九九五为二率
　　　　　　　　　　丁庚○二五○一○为三率
　　　　　　　　　　以三率法取之得○一五○
　　　　　　　　　　○四为四率

今用加减法
以丙辛线为正弦查其弧得丙寅三十六度五十二分
亦以丁庚线为正弦查其弧得丁寅十四度二十九分
以丙寅弧与丁寅弧相加得总弧辰寅五十一度二十
一分其馀弦○六二四五六如辰卯(即子癸/)
又以丙寅弧与丁寅弧相减得存弧丑寅二十二度二
十三分其馀弦○九二四六六如丑癸
因总弧小于象限当以两馀弦相减其较○三○○一

○如子丑(于丑癸内减/子癸得之)乃平分子丑于壬其数○一五
○○五为壬丑或壬子皆与戊己同即为四率　此所
得与三率所推但有微差而不相远
按此以加减代乘除依其法宜如此今刻本相减相并
讹为并而相减又于相并之弧讹为五十度二十分相
减之存弧讹为二十二度二十四分故其正弦皆讹而
所得之四率只一四三一与三率所推不合矣
又按以加减代乘除之法不过以明图法之妙其中又

有此用耳若以入算终不如乘除之便何也设问每多
整数而正弦之数皆有畸零不能恰合一也先用设数
求弧度必用中比例始得相合则于弧度亦有畸零二
也弧度既有畸零则其查馀弦又必用中比例三也两
馀弦有用加之时有用减之时易至于讹四也及其所
得四率以较三率法之所得终有尾数之差五也盖论
数学则宜造其微而施之于用则贵其简易若可以简
易者而故引之繁重又何贵乎故曰不如乘除之便也

观设例之时便有讹错如此则其不便于用亦可见矣
又按此加减法即测量全义第七卷所言加减也其以
总存两馀弦相加减而半之者即初得数也然彼以两
正弦相乘得之此以加减得之而省一乘矣实弧三角
中大法而彼但举例而隐其图姑示其端于此而又不
直言其即弧度之初得数此皆译书者秘惜之故耳
向后二图发明所以然之故
甲寅象限弧　乙丙半径为首率

丙寅弧之正弦丙辛为次率
丙丑弧之正弦丑戊为三率(辰丙弧同丙丑其正/弦辰戊亦同丑戊)
得戊巳为四率(丑壬及壬/子并同)
　　　　　　　　　论曰戊巳辰(或丑壬/戊亦同)句股形与
　　　　　　　　　丙辛乙句股形相似故其比例
　　　　　　　　　等法为乙丙与丙辛若丑戊与
　　　　　　　　　丑壬也(或辰戊与/戊巳亦同)
　　　　　　　　　又论曰凡两十字垂线相交作

句股则其形俱相似如辰丑线即丙丑及丙辰之正弦
与丙乙半径相交于戊点一十字也辰午线(辰寅弧之/正弦也)
丑癸线(丑寅弧/之馀弦)相交于子点一十字也此两十字相交
而成诸句股形则俱相似矣故戊壬庚与丑壬戊相似
而戊壬庚原与丙辛乙相似则丑壬戊与丙辛乙不得
不为相似之形矣
解曰乙丙首率半径也丙辛正弦为次率其弧丙寅丑
戊正弦为三率其弧丙丑丙丑既与丙辰同则以丙丑

(三率之/弧也)加丙寅(次率/之弧)成辰寅总弧而辰卯则总弧之馀
弦也以丙丑(三率/之弧)减丙寅(次率/之弧)其馀丑寅为存弧而丑
癸则存弧之馀弦两馀弦相减其较为子丑(子癸同辰/卯故以子)
(癸减癸丑/得较子丑)子丑折半于壬而壬丑与壬子皆同戊巳是
为所求之四率也
如此以量法代算法的确不易但细数难分耳
若以酉丙为过象限之大弧丙丑为小弧则酉丑为总
弧其正弦丑丁馀弦丑癸(即丁乙/)

酉辰为存弧其正弦辰午馀弦辰卯(即子癸/)算法略同
但先所用者存弧之正弦小于总弧今则总弧正弦小
于存弧正弦大则馀弦小正弦小则馀弦反大加减之
用以小从大其理无二故其图可通用也
又按壬丑即初得数也两正弦相乘以半径除之者也
乙亥即次得数也两馀弦相乘以半径除之者也今改
用加减则以两弧相并为总弧而相较之馀为存弧存
总两馀弦相加减而半之成初得数省两正弦乘矣又

以初得数去减馀弦成次得数省两馀弦乘矣
　　两馀弦加减例
凡总存二弧俱在象限内或俱出象限外则两馀弦相
减　若存弧在象限内总弧在象限外则两馀弦相加
　　初得数减馀弧例
凡存弧之正弦小于总弧即用存弧之馀弦在位以初
得数减之馀为次得数　若总弧之正弦小于存弧即
用总弧之馀弦在位以初得数减之馀为次得数盖弦

　　　　　　　　　　　小者馀弦大其馀弦内
　　　　　　　　　　　皆兼有初得次得两数详
　　　　　　　　　　　见环中黍尺
　　　　　　　　　　　甲寅象限弧　乙丙半径
　　　　　　　　　　　为首率
　　　　　　　　　　　丙寅弧之正弦(丙/辛)为次率
　　　　　　　　　　　丙丑弧之正弦丑戊为三
　　　　　　　　　　　率(辰丙弧同丙丑其正/弦辰戊亦同丑戊)

求得戊巳为四率(丑壬壬/子并同)
　以上皆与前图同
论曰准前论丙辛乙句股形与丑壬戊句股形相似法
为乙丙与丙辛若丑戊与丑壬也(或辰戊与/戊巳亦同)
解曰乙丙首率半径全数也丙辛正弦为次率其弧丙
寅丑戊正弦为三率其弧丙丑而丙丑(三率/)即丙辰以
加丙寅(次率/之弧)成辰寅总弧而辰卯亦总弧之馀弦也以
丙丑(三率/之弧)减丙寅(次率/之弧)其馀丑寅为存弧而丑癸则亦

存弧之馀弦也两馀弦相加成子丑(子癸同辰卯/皆总弧馀弦)子丑
折半于壬而壬丑同壬子亦同戊巳则所求之四率也
　
　
　
　
　
　历算全书卷五十四