厯算全書卷五十九

　　　　　　　　　　　　　宣城梅文鼎撰

　少廣拾遺

開方求亷率作法本原圖

　自開平方至開八乗方

　古圖附説

圖最上書一者本數也本數者即大方也大方無隅無乘除之可言而數從此起也次並列(一一)者方邉也西法謂之根數即一十一也左一即本數因有次商而進位成一十為初商之根右單一為次商之根既有根數即有平冪故第三層者幂積也西法謂之面即一百二十一也左一百為初商自乗之幂即大方積也右單一為次商自乗之幂即隅積也小平方也中二十則兩亷積也並長方也

　　　　　　　　　　　　如圖大小兩方幂以

　　　　　　　　　　　　一角相聫必得兩亷

　　　　　　　　　　　　以輔之而其方始全

　　　　　　　　　　　　故平方亷積二也

第四層者立方積也西法謂之體積即一千三百三十一也左一千初商再乗之積大立方也右單一為次商再乗之積隅積也小立方也中三百三十皆亷積也三百為三平亷積扁立方也三十為三長亷積長立方也

　

　

　

　

　

　

　

　

如圖析觀之則初商大立方體與次商隅積小立方體相連於一角必得三平亷之扁立方體補於大立方之三面又有三長亷之長立方體補於小立方之三面及三平亷之隙而方體始全故立方之亷積有二等而其數各三也

第五層者三乘方也即一萬四千六百四十一也左一萬者大三乗方也初商方積也右單一者小三乗方也次商隅積也大方積既以三乗之故而積陞至萬小隅雖三乘仍單一也其相隔已三位故必有第一亷(舊名方法)為千數第二亷(舊名上亷)為百數第三亷(舊名下亷)為十數以補之其數始足其理亦如平方立方也三乘方以上不可為圖諸書有强為之圖者非也然其理則有可言者焉以其相生之序言之則皆加一筭法也初商次商如十與一而其幂則如百與一故于(一一)之下各加(一一)即成

　如十一之自乘也此平方率也又以十一乗之成

即立方率也又以一十乗之成即三乗方率四乗以上凖此加之皆加一法也曰若是則諸乗方皆以十一逓乗而得非十一者何以處之曰根非十一而其理皆如十與一何則凡増一乗積陞一等而亦増一亷亷與亷之積亦皆如十與一也

　冪(音覓周禮冪人掌共巾冪説文覆也開平方四邉俱等中函縱横之積亦如覆物之巾有經緯縷文故謂之冪亦謂之面)幂(同上省文也見張参五經文字算書或小寫作□)

　

　

　

　

　

　

　

　

亷率立成附説

凡開方一位除盡者無亷隅也亷隅皆生於次商次商之根必小于初商一等而其小隅之體𫝑必與初商之大方同狀(如再乗之隅即小立方三乘方之隅即小三乘方)此可借初商表而降等求之不必更立隅法也亷法則不然每増一乗則亷増一等(如平方但有亷立方則有平亷長亷三乗方則有三種亷四乘方則有四種亷其亷之等並與其乘數同増)而亷亦加多(如平方只二亷立方則平亷長亷各三三乗方則三種亷共有十四乗以上則更増而多如圖所列)此亷率所由立也

問亷既有等(如平方亷為十立方亷為十為百之類)而今亷率只作單數用何也曰此亷之數也非亷之積也亷積有等則既於其次序分之矣挨次乗之其等自見(如第一亷必小于初商大方一等第二亷又小一等其最末之亷必大于小隅一等各乗方皆如是)若同一等中應各有若干亷必先知之而後可用故立成中所列皆單數

問古圖以右為隅法其序自左而右今亷率之序自右而左何也曰既皆作單數用則左右一也今依筆算自右而左便於取用故也(亷法相生之序左右同數如立方平亷三長亷亦三也三乗方第一亷四第三亷亦四也其近大方有若干亷則其近小隅亦有若干亷故左右並同可以左為初商大方右為小隅亦可以右為大方而左為小隅此亦見古圖之妙也)

問舊有方法亷法之目今㮣曰亷法何也曰開方法有方有亷有隅其初商自乗即方也次商自乗即隅也方與隅之間次商初商相乗而得者皆亷也舊以立方之平亷有似扁方故名之方法而三乗方因之遂又有上亷下亷之目故不如一切去之但以一二三四為序較畫一耳

問平方之亷皆平幂也立方之平亷長亷皆體積也不知三乗方以上之亷積亦能與方隅並狀乎曰凡諸乗方之亷積無不與方隅之乗數等也試以三乗方言之其第一亷有四皆初商之再乗積而又以次商根乗之是三乗也其第二亷有六皆初商自乗之平幂也而又以次商之平幂乗之第三亷有四皆初商之根數而又以次商之立積乗之皆三乗也又以四乗方言之其第一亷有五皆初商三乗積也又乗次商根是四乗也其第二亷有十皆初商再乗積也又以乗次商幂亦四乗也其第三亷亦十皆初商幂積也又以乗次商再乗積其第四㢘有五皆初商根也又以乗次商之三乗積皆四乗也五乗方以上俱如是觀後算例自明

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　諸乗方根同而積不同本易知也惟根之一者積同為一似乎無别矣然有幂積之一有體積之一有三乗以上諸乗方之一雖曰積同為一其實不同也今以方根之為单一為一十為一百者為例如右

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　因有續商故方根以十數見例方積以尾○定位無次商者去尾○用之則方根只為單數

　

　

　

　

　

　

　

　多(如第一亷用初商立積二亷則初商幂逓減以至三亷則初商只用根)近小隅者次商乗之遍數多(如第一亷只用次商根第二亷則次商亦用幂三亷則逓加而用次商立積)各乗方皆如是

開諸乗方大法

諸乗方法惟平方為用最多因有専法今自平方立方推之三乗以上至於多乗而通為一法是為大法(諸乗方大法可以開平方而平方専法不可以開諸乗方)

總法凡諸乗方皆先列實次作㸃分段次查表以定初商次求亷隅以定續商

列實之法依勿菴筆算作平行兩直線以設積紀于右直線之右皆自上而下至單數止無單數者作○存其位

作㸃分段之法皆于原積末位單數作一㸃起(凡減隅積必至單位故分段之法以此為宗同文算指但言起末位殊混)依各乗方宜以若干位為一段即隔若干位㸃之(或作實㸃丶或作虚㸃□俱可然虚㸃尤便以減商積時有借上位之㸃免凌雜也)如平方以每兩位為一段則隔一位㸃之立方以三位為一段則隔兩位㸃之乃至十二乗方以十三位為一段則隔十二位㸃之並同一法

謹案作㸃分段其用有二一以定開方有若干次也如有一㸃則只開一次有兩㸃則開二次三㸃則開三次之類一以定開方所得為何等數也如只有一㸃則初商即單數二㸃則初商是十數三㸃則初商是百數之類是故初商減積必至於最上㸃而止也次商減積必至于次㸃而止也每開一次必減積一次而所減之數必各盡于其作㸃之位亦可以驗開方之無誤也又最上㸃以上初商實也次㸃以上次商實也每商皆以㸃位截實此法於初商尤為扼要

又案開方分段古人舊法之精錢塘吴信民九章比類山隂周述學厯宗算㑹悉著其説而同文算指西鏡錄本其意以作㸃定之施於筆算為極善也(鼎于三十年前見同文算指作㸃之法驚嘆其竒後讀諸書始知其有所祖述非西人創也)

初商之法皆以最上一㸃截原積若干位為初商實

　乃查初商表視本乗方下數有與實相同或較小於

實者錄之紀于左線之左(皆以表數末位對右線上原實最上㸃紀之)是為初商應減之積即于本表旁行查方根紀于左線之右(皆對所紀表數首位進一位紀之)是為初商數

以初商應減之積(左行所紀)與初商實(右行最上㸃所截原實)對位相減(皆以左減右須依筆算從小數減起如左行減數大右行實數反小而不及減則作㸃于上一位借十數減之)減不盡者為餘實以待續商

凡原實有二㸃則初商為十數而有次商有三㸃初商為百數而有次商及三商以上倣論如實只一㸃則初商即是單數無續商

次商之法皆以第二㸃截餘實為次商實

凡初商皆為方積次商以後則有亷積隅積

先求亷率查亷率立成本乗方亷率有若干等等有若干數平列之為若干行謂之定率(如平方只一種亷其定率二立方有二種亷曰平亷曰長亷其定率並三若三乗方則有三種亷曰一亷曰二亷曰三亷其定率曰四四六曰四詳後式)每増一乗即亷増一等而定率増一行(有亷之等有亷之數如平方有二亷立方有三平亷三長亷此亷之數也平方之兩亷同積共為一等立方之三平亷同積為一等三長亷同積為一等共為二等此亷之等也亷率中兼此二義)

求亷汎積以各亷定率乗初商應有各數各依本乗方減小一等用之亷多者又遞減挨次乗之至根數止是為汎積(有初商數即各帶有自乗冪積二乗立積乃至三乗以上各積是為應有各數也今求汎積當依本乗方減小一等用之如平方只用根數立方用初商冪積乃至十二乗方用初商十一乗此為減小一等也至第二亷則立方用初商根三乗方用初商再乗乃至十二乗方用初商十乗此為亷多者二亷以上又逓減挨次乗之也逓減至初商根則為末後一亷矣故曰至根數止)

求㳄商數以汎積約餘實得之

求亷定積以各亷汎積乗次商數亷多者逓増一等挨次乗之至本乗方減小一等止是為定積(凡第一亷汎積皆乗次商根而得定積有第二亷則以次商自乗積乗之有三亷則以次商立方積乗之是為逓増一等也然增不得至本乗方但增至本乗方減小一等數即為末後一亷矣)

求隅積以次商數查初商表各依本乗方取之(以次商對横行根數以本乗方對直行縱横相遇得之)列于亷積之後一行是為隅積(小隅體勢並同初商大方如平方則隅即小平方立方則隅即小立方三乗方之隅亦為小三乗方四乗以上並同故可借初商表用之)

求亷隅共積以所得各亷定積及隅積用併法併之即得

求次商定數以所得亷隅共積紀左線之左(又在表數之左以末位對第二㸃紀之為次商應減之數)與次商實(右行第二㸃所截)對位相減(以左減右)減不盡者又為餘實以待三商遂紀次商數于初商之下為次商定數如亷隅共積大于次商實不及減則改次商至及減而止乃為次商定數

不論三商四商乃至多商其亷定率不變但求汎積時三商則並初商次商兩位商數合而用之四商則併前三次商數皆取其應有各數以乗定率而得汎積亦如上法之用初商其求定積則三商即用三商之數四商即用四商之數以乗汎積而得定積亦如上法之用次商餘法並同次商

審○位之法凡亷汎積大於餘實或僅相等而無隅不能商一數是次商為○位也即紀○位於先商之次而併下一㸃餘實為續商餘實

次商單一之法凡汎積與實僅同而有隅一是商得一數也即以汎積為定積不必更乗次商(惟單一則然若商得一十一百一千仍須如法乗之)

開平方(即一乗方)

　設平方積三千三百四十四萬三千○八十九問方根若干

　答曰五千七百八十三

　　　　　　　　　列實法(先作兩直綫次以方積三三四四三○八九列右綫之右)作㸃(法於實末位單數作一㸃起逆上每隔一位㸃之有四㸃宜商四次初商是千)初商法曰(用最上一㸃截原實兩位三三為初商實查表有小於實三三者是二五其方根五即以五為初商對實首上一位書于左綫之右却以表數二五對實三三書左綫之左與原實對減先於實次位減五實係三不足減作㸃借上一數為十三減去五餘八改書八于實三之右次於實首減二原實是三因借下去一只得二減盡乃作綫抹去三三存八以待次商亦于左作綫抹去減數二五)

　求次商用第二㸃上餘實八四四為次商實

　

　

隅次商自乗四九○○○○亷隅共積併得七四九○○○○

　次商法曰(置亷率立成内定率二乗初商五千得一萬為汎積乃約實作七百定為次商即以汎積乗之得定積七百萬再用次商自乗為隅其積四十九萬併定積成七百四十九萬即亷隅共積也俱如式列之于是將次商七續書初商五之下又將共積七四九對實八四四書左綫之左以減實餘九五乃作綫抹去八四四亦于左作綫抹去七四九)

　求三商用第三㸃上餘實九五三○為三商實

　

　

隅三商自乗六四○○亷隅共亷併得九一八四○○

　三商法曰(復置定率二以乗初商次商合數五千七百得一萬一千四百為汎積乃約實作八十為三商即以泛積乗之得定積九十一萬二千三商亦自乗為隅得積六千四百以併定積成九十一萬八千四百為亷隅共積俱如式列之再將三商八十挨書次商七百之下而以其亷隅積九一八四對實九五三○書于左綫之左去減實餘三四六即改書之以待四商作綫抹去九五三○左亦作綫抺去九一八四)

　求四商用第四㸃上餘實三四六八九為四商實

　

　

隅四商自乗九亷隅共積併得三四六八九

　四商法曰(用定率二乗初商次商三商合數五千七百八十得一萬一千五百六十為泛積乃約實可商三定為四商即以泛積乗之得定積三萬四千六百八十四商三自乘得九為隅積併定積成三萬四千六百八十九是為亷隅共積各如式列訖再將四商三挨書于三商八十之下而以其亷隅積三四六八九對第四㸃實書于左綫之左就以減四商實恰盡乃作綫抹去之左減數亦抺去)

　初商五千有四㸃故初商是千位

　次商七百

　三商八十

　四商單三

　凡開得平方根五七千百八十三

　還原法置方根五千七百八十三自乗得積三千三百四十四萬三千○八十九合原積

開立方(即再乗方)

　設立方積一千○○七萬七千六百九十六尺問每面方若干

　答曰二百一十六尺

　　　　　　　　　依法列實作㸃(自末位單數作一㸃起逆上每隔兩位㸃之有三㸃宜商三次)

　　　　　　　　　求初商(用最上一㸃截原實兩位一○為初商實查初商表有小于一○者是○八其方根二即以二定為初商對實首上一位書左綫之右而以其積數○八對實一○書左綫之左對減初商實餘二改書之以待次商)初商二百尺(有三㸃初商是百)

　求次商用第二㸃上餘實二○七七為次商實

　

　

　

　

　依法求得次商一十尺(書于初商二百之下而以其亷隅共積一百二十六萬一千減㳄商實餘八一六改書之以待三商)

　求三商用第三㸃上餘實八一六六九六為三商實

　

　

隅三商再乗二一六亷隅共積併得八一六六九六

　依法求得三商六尺(續書次商一十之下而以亷隅共積八十一萬六千六百九十六減三商實恰盡)

　凡開得立方根二百一十六尺

　還原置方根(二百一十六尺)自之得(四萬六千六百五十六尺)為平幂又置平幂以方根乗之得一千○○七萬七千六百九十六合原數

開三乗方

　設三乗方積一億三千六百○四萬八千八百九十六問方根若干

　答曰一百○八

　　　　　　　　　　依法列實作㸃(自末位單數作一㸃起逆上每隔三位㸃之)

　　　　　　　　　　求初商用最上一㸃截實首位一為初商實

　凡積一者其根亦一不必查表竟以一為初商(其積與實對減恰盡)

　初商一百(有三㸃初商是百)

　求次商用第二㸃餘實三六○四為次商實

　

　

　

隅次商三乗一○○○○亷隅共積併得四六四一○○○○

　依法求得亷隅共積四千六百四十一萬為次商一十之積大於次商實不及減是無次商也法于初商一百下書○

　求三商用第三㸃合上第二㸃餘實三六○四八八九六共八位為三商實(三商減積至末位第三㸃故合八位為其實)

　凡求三商當合初商次商兩數乗定率以求泛積今次商故只用初商數

　

　

　

隅三商自乗三次四○九六亷隅共積併得三六○四八八九六

　依法求得三商八(續書次商○之下而以其亷隅共積三千六百○四萬八千八百九十六與餘實相減恰盡)

　凡開得三乗方根一百○八

　還原置方根(一○八)自乗得(一一六六四)為平幂平幂又自乗得一億三千六百○四萬八千八百九十六合原積

　或以方根一百○八自乗三次亦同

　開方簡法置三乗方積(一三六○四八八九六)以平方法開之得(一一六六四)再置(一一六六四)以平方開之得方根一百○八合問

開四乗方

　設四乗方積一十三億五千○一十二萬五千一百○七問方根若干

　答曰六十七

　　　　　　　　　　依法列實作㸃(自末位單數作一㸃起逆上每隔四位㸃之共兩㸃宜商兩次)

　　　　　　　　　　求初商用最上一㸃截原實一三五○一為初商實(查表有七七七六小于實其根六即以六為初商而以其積七七七六對減初商實餘五七二五改書之以待次商)初商六十(有兩㸃初商是十)

　求次商用第二㸃上餘實五七二五二五一○七為次商實

隅次商四乗一八六○七亷隅共積併得五七二五二五一○七

　依法求得次商七(書于初商六十之下而以亷隅共積五億七千二百五十二萬五千一百○七減次商實恰盡)凡開得四乗方根六十七

　還原置方根(六十七)自乗四次得積一十三億五千○一十二萬五千一百○七合原數

開五乗方

　設五乗方積一兆七千五百九十六萬二千八百七十八億○一百萬問方根若干

　答曰五百一十

　　　　　　　　　　　　　　　　　列實(數以單位為根今原積尾位是百萬故補六○列之)作㸃(自末單位○上作一㸃起逆上每隔五位㸃之)求初商(用最上一㸃截原實五位一七五九六為初商實入表得五為初商對實首上一位錄左綫右即以其積數對實列左綫左相減餘一九七一改書之以待次商)初商求到五百(有三㸃故初商是百)

　求次商(用第二㸃上餘實一九七一二八七八○一為次商實)

　

　

　

　

　

　

　

隅次商五乗一○○○○○○亷隅共積併得一九七一二八七八○一○○○○○○

　依法求得次商一十(書初商五百之下再將亷隅共積一千九百七十一萬二千七百七十八億○一百萬去減次商實恰盡)

　原實三㸃宜有三商而次商已減實盡無可商作○于次商下

　凡開得五乗方根五百一十○

　還原置方根(五百一十○)自乗五次復得一兆七千五百九十六萬二千八百七十八億○一百萬合原積

　設六乗方積三百四十三億五千九百七十三萬八千三百六十八問方根若干

　答曰三十二

　　　　　　　　　　　依法列實作㸃(自末位單數作㸃起逆上每隔六位㸃之共兩㸃宜商兩次)

　　　　　　　　　　　求初商用最上㸃截原實三四三五為初商實(查表得三為初商書左綫右而以其積數二一八七書左綫之左對減初商實餘一二四八改書以待續續商)初商三十(有兩㸃故初商是十)

　求次商用第二㸃上餘實(一二四八九七三八三六八)為次商實

　

隅次商六乗一二八亷隅共積併得一二四八九七三八三六八

　依法求得次商二(書初商三十之下再以亷隅共積與次商實對減恰盡)

　凡開得六乗方根三十二

　還原置方根(三十二)自乗六次得積(三四三五九七三八三六八)合原數

　設七乗方積一千一百○○億七千五百三十一萬四千一百七十六問方根若干

　答曰二十四

　　　　　　　　　　　　依法列實作㸃(自末位單數作㸃起逆上每隔七位再作一㸃)

　　　　　　　　　　　　求初商用最上㸃截原實一一○○為初商

　實(查表得二為初商即以二書左綫之右而以其積二五六書左綫之左對減初商實餘八四四改書之以待續商)

　初商二十(有兩㸃初商是十)

　求次商用第二㸃上餘實(八四四七五三一四一七六)為次商實

　

　

　

　

　

亷隅共積併得八四四七五三一四一七六

　依法求得次商四(書初商二十之下再將亷隅共積八四四七五三一四一七六與次商實對減恰盡)

　凡開得七乗方根二十四

　還原置方根(二十四)自乗七次復得(一一○○七五三一四一七六)合原數

　或以根(二十四)自乗得(五百七十六)為平幂平幂又自乗得(三十三萬一千七百七十六)為三乗方積三乗方積又自乗得(一一○○七五三一四一七六)亦合原數

　開方簡法置設積(一一○○七五三一四一七六)以平方法開之得(三三一七七六)又置為實以三乗方法開之得方根二十四

　或置設積(一一○○七五三一四一七六)用平方法連開三次亦得方根二十四

　設八乗方積一千六百二十八萬四千一百三十五億九千七百九十一萬○四百四十九問方根

　答曰四十九

　　　　　　　　　　　　　　　　列實(法同前)

　　　　　　　　　　　　　　　　作㸃(自末位單數作㸃起逆上每隔八位㸃之)求初商(用最上一㸃截原實一六二八四一三為初商實查表得八乗綫方積二六二一四四其根四即以四定為初商書左右而以其積數書左綫左對減初商實餘一三六六二六九以待次商)

　初商四十(有兩㸃初商是十)

　求次商用第二㸃上餘實(一三六六二六九五九七九一○四四九)為次商實

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

隅次商八乗三八七四二○四八九亷隅共積併得一三六六二六九五九七九一○四四九

　依法求得次商九(書初商四十之下再將亷隅共積對減次商實恰盡)

　凡開得八乗方根四十九

　還原置方根(四十四)自乗八次復得(一六二八四一三五九七九一○四四九)合原積

開九乗方

　設九乗方積八十三兆九千二百九十九萬三千六百五十八億六千八百三十四萬○二百二十四問方根若干

　答曰六十二

　　　　　　　　　　　　　　　列實(法同前)

　　　　　　　　　　　　　　　作㸃(自末位單數作㸃起逆上每隔九位㸃之)

　求初商(如法用最上一㸃原積八位截為初商實查表得九乗方根六即以六為初商而以其積數六○四六六一七六減初商實餘二三四六三七六○待續商各如法書之)

　初商六十(冇兩㸃初商是十)

　求次商用第二㸃上餘實二三四六三七六○五八六八三四○二二四為次商實

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

隅次商九乗一○二四亷隅共積併得二三四六三七六○五八六八三四○二二四

　依法求到次商二(書于初商六十之下乃以其亷隅共積二十三兆四千六百三十七萬六千○五十八億六千八百三十四萬○二百二十四減次商實恰盡)

　凡開得九乗方根六十二

　又法置九乗方積(八三九二九九三六五八六八三四○二二四)以平方法開之得(九一六一三二八三二)為四乗方積再以四乗方法開之得方根(六十二)

　或置九乗方積(八三九二九九三六五八六八三四○二二四)以四乗方開之得(八三四四)再以平方開之得方根(六十二)並同

　還原以方根(六十二)自乗九次得原積

　或以原根(六十二)自乗四次得(九一六一三二八三二)為四乗方積再以四乗積四乗得原積亦同

開十乗方

　設十乗方積七千四百三十○億○八百三十七萬○六百八十八問方根

　答曰一十二

　　　　　　　　　　　　依法列實作㸃(自末位單數作一㸃起逆上每隔十位再作一㸃)

　　　　　　　　　　　　求初商(用最上㸃截實首位七為初商實查表得十乗方根一定為初商即以其積一減初商實七餘六改書之以待續商)

　初商一十(有二㸃初商是十)

　求次商用第二㸃上餘實六四三○○八三七○六八八為實

隅次商十乗二○四八亷隅共積併得六四三○○八三七○六八八

　依法求得次商二(書初商一十之下再將亷隅共積減次商實恰盡)

　還原置方根(一十二)自乗十次復得七千四百三十○億○八百三十七萬○六百八十八合原積

　又法置方根(一十二)自乗(一四四)為平幂平幂自乗(二○七三六)為三乗方積三乗方又自乗得(四二九九八一六九六)為七乗方積再以根再乗之立積(一七二八)乗之得十乗方積

開十一乗方

　設十一乗方積七千三百五十五萬八千二百七十五億一千一百三十八萬六千六百四十一問方根若干

　答曰二十一

　　　　　　　　　　　　　　　列實(法同前)

　　　　　　　　　　　　　　　作㸃(自末位單數作㸃起逆上每隔十一位㸃之)

　求初商用最上一㸃截實七三五五為初商實查表得十一乗方根二定為初商(以其積四○九六對減初商實餘三二五九以俟續商皆各如法書之)

　初商二十(有二㸃初商是十)

　求初商用第二㸃上餘實(三二五九八二七五一一三八六六四一)為次商實

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

亷隅共積併得三二五九八二七五一一三八六六四一

　依法求得次商一(書初商二十之下其亷隅共積三千二百五十九萬八千二百七十五億一千一百三十八萬六千六百四十一減餘實恰盡)

　凡開得十一乗方根二十一

　還原用方根(二十一)自乗十一次復得原積

　又法置方根自乗再乗得(九二六一)為立方積立方積自乗得(八五七六六一二一)為五乗方積五乗方積又自乗得十一乗方原積

　開方簡法置設積(七三五五八二七五一一三八六六四一)以平方法開之得五乗方積(八五七六六一二一)又置為實以五乗方法開之得根二十一

開十二乗方

　設十二乗方積一十五兆四千四百七十二萬三千七百七十七億三千九百一十一萬九千四百六十一問方根若干

　

　

　

　

　依法列實作㸃(自末位單數作㸃起逆上隔十二位㸃之)

　求初商用最上一㸃截原實一五四四七為初商實查表得十二乗積(八一九二)其方根二即以二定為初商(其積數與實對減餘七二五五再俟續商)

　求初商用第二㸃上餘實七二五五三三七七七三九一一九四六一為次商實

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

亷隅共積併得七二五五二三七七七三九一一九四六一

　依法求得次商一(書于初商二十之下再將亷隅共積七兆二千五百五十二萬三千七百七十七億三千九百一十一萬九千四百有六十一以減餘實恰盡)

　凡開得十二乗方根二十一

　還原置方根二十一自乗十二次復得原積

　或以方根(二十一)自乗得(四四一)再乗得(九二六一)三乗得(一九四四八一)為三乗方積即以三乗方積自乗得(三七八二二八五九三六一)再自乗得(七三五五八二七五一一三八六六四一)為十一乗方積又置為實而以方根(二十一)乗之得十二乗原積

　又法以方根自乗再乗得(九二六一)為立方積就以立方積自乗三次得(七三五五八二七五一一三八六六四一)為十一乗方積如前再以方根乗之亦得原積

　又法以根(二十一)自乗之平方(四四一)為法自乗四次得九乗方積(一六六七九八八○九七八二○一)再以根(二十一)再乗之立方(九二六一)乗之得十二乗原積並同

　論諸乗方簡法

凡開平方二次即三乗方也是為方之方開平方立方各一次五乗方也可名為立方之平方亦可名為平方之立方

開平方三次七乗方也或三乗方平方各開一次亦同可名為平方之三乗亦可名為三乗方之平方

開立方二次八乗方也可名為立方之立方

開四乗方平方各一次九乗方也可名為四乗方之平方

開平方二次立方一次十一乗方也或三乗方立方各一次亦同可名為三乗方之立方亦可名為立方之三乗方

　按惟四乗方六乗方十乗方不能借用他法同文算指謂四乗方開二次為六乗方又謂四乗方開三次為十乗方非也且四乗方平方各一次已為九乗方矣安得有開四乗方二次而反為六乗開四乗方三次而止為十乗乎必不然矣

　演諸乗方逓増通法

平方積自乗為三乗方立方積自乗為五乗方三乗方積自乗為七乗方四乗方積自乗為九乗方

五乗方積自乗為十一乗方六乗方積自乗為十三乗方七乗方積自乗為十五乗方八乗方積自乗為十七乗方九乗方積自乗為十九乗方十乗方積自乗為二十一乗方十一乗方積自乗為二十三乗方十二乗方積自乗為二十五乗方十三乗方積自乗為二十七乗方十四乗方積自乗為二十九乗方十五乗方積自乗為三十一乗方(以上並超兩位)

平方積再自乗為五乗方立方積再乗為八乗方

三乗方積再乗為十一乗方四乗方積再乗為十四乗方五乗方積再乗為十七乗方六乗方積再乗為二十乗方七乗方積再乗為二十三乗方八乗方積再乗為二十六乗方九乗方積再乗為二十九乗十乗方積再乗為三十二乗方(以上並超三位)

平方積自乗三次為七乗方立方積自乗三次為十一乗方三乗方積自乗三次為十五乗方四乗方積自乗三次為十九乗方五乗方積自乗三次為二十三乗方六乗方積自乗三次為二十七乗方七乗方積自乗三次為三十一乗方(以上並超四位)

平方積四乗為九乗方立方積四乗為十四乗方

三乗方積四乗為十九乗方四乗方積四乗為二十四乗方五乗方積四乗為二十九乗方(以上並超五位)

平方積五乗為十一乗方立方積五乗為十七乗方

　三乗方積五乗為二十三乗方四乗方積五乗為

五十九乗方(以上並超六位)

平方積六乗為十三乗方立方積六乗為二十乗方

　三乗方積六乗為二十七乗方四乗方積六乗為

三十四乗方(以上並超七位)

平方積七乗為十五乗方立方積七乗為二十三乗方三乗方積七乗為三十一乗方(以上並超八位)

平方積八乗為十七乗方立方積八乗為二十六乗方三乗方積八乗為三十五乗方(以上並超九位)

平方積九乗為十九乗方立方積九乗為二十九乗方(以上並超十位平方至十二乗方已有初商表其十三乗以後不及詳列推以根之為二為三者演之至三十二乗以見其意)

根二(至三十二乗則有十位)根三(至三十二乗則有十六位十三乗)一六三八四四七八二九六九(十四乗)三二七六八一四三四八九○七(十五乗)六五五三六四三○四六七二一(十六乗)一三一○七二一二九一四○一六三(十七乗)二六二一四四三八七四二○四八九(十八乗)五二四二八八一一六二二六一四六七(十九乗)一○四八五七六三四八六七八四四○一(二十乗)二○九七一五二一○四六○三五三二○三(二十一乗)四一九四三○四三一三八一○五九六○九(二十二乗)八三八八六○八九四一四三一七八八二七(二十三乗)一六七七七二一六二八二四二九五三六四八一(二十四乗)三三五五四四三二八四七二八八六○九四四三(二十五乗)六七一○八八六四二五四一八六五八二八三二九(二十六乗)一三四二一七七二八七六二五五九七四八四九八七(二十七乗)二六八四三五四五六二二八七六七九二四五四九六一(二十八乗)五三六八七○九一二六八六三○三七七三六四八八三(二十九乗)一○七三七四一八二四二○五八九一一三二○九四六四九(三十乗)二一四七四八三六四八六一七六七三三九六二八三九四七(三十一乗)四二九四九六七二九六一八五三○二○一八八八五一八四一(三十二乗)八五八九九三四五九二五五五九○六○五六六五五五五二三

　附開多乗方求次商㨗法

列實作㸃截實求初商如常法既得初商減一等自乗為亷積(加五乗方則用四乗)又以本乗方數加一為亷數(如五乗方則用六)亷數乗亷積得數為法以除餘實為次商遂合初商次商數依本乗方數乗之(如五乗方亦自乗五次)得積合原數定所得為方根(如原積數少不及減則改次商及減而止)

假如三乗方積五百七十六萬四千八百○一問方根若干

　答曰四十九

　　　　　　　如法於初商表取三乗方積二五六減原實定初商為四十餘實(三二○四八○一)為次商實法置初商四○自乗

　再乗得(六四○○○)為亷積(本方三乗故亷積用再乗為減一等)又以四為亷數(三乗方故用四為亷數為加一數)亷數乗亷積得(二五六○○○)為法以除次商實得九為次商(得數可進一十因欲存第二亷以下亷隅積數不得滿除只商作九數待酌)遂合初商次商共四十九依法自乗得(二四○一)又以(二四○一)自乗得(五七六四八○一)以較原實相同減盡即定四十九為三乗方根

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　厯算全書卷五十九