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几何原本 卷四之首 第 1a 页 WYG0798-0650a.png
钦定四库全书
几何原本卷四之首
西洋利玛窦译
界说七则
第一界
直线形居他直线形内而此形之各角切他形之各边
为形内切形
此卷将论切形在圜之内外及作圜在形之内外故
几何原本卷四之首
西洋利玛窦译
界说七则
第一界
直线形居他直线形内而此形之各角切他形之各边
为形内切形
此卷将论切形在圜之内外及作圜在形之内外故
几何原本 卷四之首 第 1b 页 WYG0798-0650b.png
解形之切在形内及切在形外者先以直
线形为例如前图丁戊己角形之丁戊己
三角切甲乙丙角形之甲乙乙丙丙甲三
边则丁戊己为甲乙丙之形内切形如后
图癸子丑角形虽癸子两角切庚辛壬角
形之庚辛壬庚两边而丑角不切辛壬边
则癸子丑不可谓庚辛壬之形内切形
第二界
线形为例如前图丁戊己角形之丁戊己
三角切甲乙丙角形之甲乙乙丙丙甲三
边则丁戊己为甲乙丙之形内切形如后
图癸子丑角形虽癸子两角切庚辛壬角
形之庚辛壬庚两边而丑角不切辛壬边
则癸子丑不可谓庚辛壬之形内切形
第二界
几何原本 卷四之首 第 2a 页 WYG0798-0650c.png
一直线形居他直线形外而此形之各边切他形之各
角为形外切形
如第一界图甲乙丙为丁己戊之形外切形 其馀
各形仿此二例
第三界
直线形之各角切圜之界为圜内切形
甲乙丙形之三角各切圜界于甲于乙于丙
是也
角为形外切形
如第一界图甲乙丙为丁己戊之形外切形 其馀
各形仿此二例
第三界
直线形之各角切圜之界为圜内切形
甲乙丙形之三角各切圜界于甲于乙于丙
是也
几何原本 卷四之首 第 2b 页 WYG0798-0650d.png
第四界
直线形之各边切圜之界为圜外切形
甲乙丙形之三边切圜界于丁于己于戊
是也
第五界
圜之界切直线形之各边为形内切圜
同第四界图
第六界
直线形之各边切圜之界为圜外切形
甲乙丙形之三边切圜界于丁于己于戊
是也
第五界
圜之界切直线形之各边为形内切圜
同第四界图
第六界
几何原本 卷四之首 第 3a 页 WYG0798-0651a.png
圜之界切直线形之各角为形外切圜
同第三界图
第七界
直线之两界各抵圜界为合圜线
甲乙线两界各抵甲乙丙圜之界为合圜线
若丙抵圜而丁不至及戊之两俱不至不为
合圜线
同第三界图
第七界
直线之两界各抵圜界为合圜线
甲乙线两界各抵甲乙丙圜之界为合圜线
若丙抵圜而丁不至及戊之两俱不至不为
合圜线
几何原本 卷四之首 第 3b 页 WYG0798-0651b.png
几何原本卷四之首
几何原本 卷四之首 第 4a 页 WYG0798-0651c.png
钦定四库全书
几何原本卷四
西洋利玛窦撰
第一题
有圜求作合圜线与所设线等此设线不大于圜之径线
法曰甲乙丙圜求作合线与所设丁线等
其丁线不大于圜之径线(径为圜内之最/大线更大不可)
(合见三/卷十五)先作甲乙圜径为乙丙若乙丙与
几何原本卷四
西洋利玛窦撰
第一题
有圜求作合圜线与所设线等此设线不大于圜之径线
法曰甲乙丙圜求作合线与所设丁线等
其丁线不大于圜之径线(径为圜内之最/大线更大不可)
(合见三/卷十五)先作甲乙圜径为乙丙若乙丙与
几何原本 卷四之首 第 4b 页 WYG0798-0651d.png
丁等者即是合线若丁小于径者即于乙丙上截取
乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙
丙圜于甲末作甲乙合线即与丁等何者甲乙与乙
戊等则与丁等
第二题
有圜求作圜内三角切形与所设三角形等角
法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设
丁戊己形之三角各等先作庚辛线切圜于甲(三卷/十七)
乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙
丙圜于甲末作甲乙合线即与丁等何者甲乙与乙
戊等则与丁等
第二题
有圜求作圜内三角切形与所设三角形等角
法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设
丁戊己形之三角各等先作庚辛线切圜于甲(三卷/十七)
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次作庚甲乙角与设形之己角等次作辛
甲丙角与设形之戊角等末作乙丙线即
圜内三角切形与所设丁戊己形等角
论曰甲丙乙与庚甲乙两角等甲乙丙与
辛甲丙两角亦等(三卷/卅二)而庚甲乙辛甲丙两角既与
所设己戊两角各等即甲丙乙甲乙丙亦与己戊各
等而乙甲丙必与丁等(一卷/卅二)则三角俱等
第三题
甲丙角与设形之戊角等末作乙丙线即
圜内三角切形与所设丁戊己形等角
论曰甲丙乙与庚甲乙两角等甲乙丙与
辛甲丙两角亦等(三卷/卅二)而庚甲乙辛甲丙两角既与
所设己戊两角各等即甲丙乙甲乙丙亦与己戊各
等而乙甲丙必与丁等(一卷/卅二)则三角俱等
第三题
几何原本 卷四之首 第 5b 页 WYG0798-0652b.png
有圜求作圜外三角切形与所设三角形等角
法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三
角与所设丁戊己形之三角各等先于戊
己一边引长之为庚辛次于圜界抵心作
甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚等次作
乙壬丙角与丁己辛等末于甲乙丙上作
癸子子丑丑癸三垂线此三线各切圜于甲于乙于丙(三卷/十六)
(之/系)而相遇于子于丑于癸(若作甲丙线郎癸甲丙癸/丙甲两角小于两直角而)
法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三
角与所设丁戊己形之三角各等先于戊
己一边引长之为庚辛次于圜界抵心作
甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚等次作
乙壬丙角与丁己辛等末于甲乙丙上作
癸子子丑丑癸三垂线此三线各切圜于甲于乙于丙(三卷/十六)
(之/系)而相遇于子于丑于癸(若作甲丙线郎癸甲丙癸/丙甲两角小于两直角而)
几何原本 卷四之首 第 6a 页 WYG0798-0652c.png
(子癸丑癸两线必/相遇馀二仿此)此癸子丑三角与所设
丁戊己三角各等
论曰甲壬乙子四边形之四角与四直角
等(一卷卅/二题内)而壬甲子壬乙子两为直角即
甲壬乙甲子乙两角并等两直角彼丁戊
庚丁戊己两角并亦等两直角(一卷/十三)此二等率者每
减一相等之丁戊庚甲壬乙则所存丁戊己与甲子
乙等依显丑角与丁己戊等则癸与丁亦等(一卷/卅二)而
丁戊己三角各等
论曰甲壬乙子四边形之四角与四直角
等(一卷卅/二题内)而壬甲子壬乙子两为直角即
甲壬乙甲子乙两角并等两直角彼丁戊
庚丁戊己两角并亦等两直角(一卷/十三)此二等率者每
减一相等之丁戊庚甲壬乙则所存丁戊己与甲子
乙等依显丑角与丁己戊等则癸与丁亦等(一卷/卅二)而
几何原本 卷四之首 第 6b 页 WYG0798-0652d.png
癸子丑与丁戊己两形之各三角俱等
第四题
三角形求作形内切圜
法曰甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙
丙角甲丙乙角各两平分之(一卷/九)作乙丁丙
丁两直线相遇于丁次自丁至角形之三边
各作垂线为丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形
之丁戊乙丁乙戊两角与乙丁己角形之丁己乙丁
第四题
三角形求作形内切圜
法曰甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙
丙角甲丙乙角各两平分之(一卷/九)作乙丁丙
丁两直线相遇于丁次自丁至角形之三边
各作垂线为丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形
之丁戊乙丁乙戊两角与乙丁己角形之丁己乙丁
几何原本 卷四之首 第 7a 页 WYG0798-0653a.png
乙己两角各等乙丁同边即丁戊丁己两边亦等(一/卷)
(廿/六)依显丁丙己角形与丁庚丙角形之丁己丁庚两
边亦等即丁戊丁己丁庚三线俱等末作圜以丁为
心戊为界即过庚己为戊庚己圜而切角形之甲乙
乙丙丙甲三边于戊于己于庚(三卷十/六之系)此为形内切
圜
第五题
三角形求作形外切圜
(廿/六)依显丁丙己角形与丁庚丙角形之丁己丁庚两
边亦等即丁戊丁己丁庚三线俱等末作圜以丁为
心戊为界即过庚己为戊庚己圜而切角形之甲乙
乙丙丙甲三边于戊于己于庚(三卷十/六之系)此为形内切
圜
第五题
三角形求作形外切圜
几何原本 卷四之首 第 7b 页 WYG0798-0653b.png
法曰甲乙丙角形求作形外切圜先平分两边(若形/是直)
(角钝角则分直角/钝角之两旁边)于丁于戊次于丁戊上各作垂线
为己丁己戊而相遇于己(若自丁至戊作/直线即己丁戊)
(角形之己丁戊己戊丁两角小于/两直角故丁己戊己两线必相遇)其己点
或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙
三线或在乙丙边上止作己甲线其甲丁
己角形之甲丁与乙丁己角形之乙丁两
腰等丁己同腰而丁之两旁角俱直角即
(角钝角则分直角/钝角之两旁边)于丁于戊次于丁戊上各作垂线
为己丁己戊而相遇于己(若自丁至戊作/直线即己丁戊)
(角形之己丁戊己戊丁两角小于/两直角故丁己戊己两线必相遇)其己点
或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙
三线或在乙丙边上止作己甲线其甲丁
己角形之甲丁与乙丁己角形之乙丁两
腰等丁己同腰而丁之两旁角俱直角即
几何原本 卷四之首 第 8a 页 WYG0798-0653c.png
甲己己乙两底必等(一卷/四)依显甲己戊丙
己戊两形之甲己己丙两底亦等则己甲
己乙己丙三线俱等末作圜以己为心甲
为界必切丙乙而为角形之形外切圜
一系若圜心在三角形内即三角形为锐角形何者
每角在圜大分之上故若在一边之上即为直角形
若在形外即为钝角形
二系若三角形为锐角形即圜心必在形内若直角
己戊两形之甲己己丙两底亦等则己甲
己乙己丙三线俱等末作圜以己为心甲
为界必切丙乙而为角形之形外切圜
一系若圜心在三角形内即三角形为锐角形何者
每角在圜大分之上故若在一边之上即为直角形
若在形外即为钝角形
二系若三角形为锐角形即圜心必在形内若直角
几何原本 卷四之首 第 8b 页 WYG0798-0653d.png
形必在一边之上若钝角形必在形外
增从此推得一法任设三点不在一直线可作一
过三点之圜其法先以三点作三直线相联成三
角形次依前作
其同法甲乙丙三点先以甲乙两点
各自为心相向各任作圜分令两圜
分相交于丁于戊次甲丙两点亦如
之令两圜分相交于己于庚末作丁
增从此推得一法任设三点不在一直线可作一
过三点之圜其法先以三点作三直线相联成三
角形次依前作
其同法甲乙丙三点先以甲乙两点
各自为心相向各任作圜分令两圜
分相交于丁于戊次甲丙两点亦如
之令两圜分相交于己于庚末作丁
几何原本 卷四之首 第 9a 页 WYG0798-0654a.png
戊己庚两线各引长之令相交于辛即辛为圜之
心 论见三卷二十五增
第六题
有圜求作内切圜直角方形
法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切圜直角
方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于
戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四线即甲乙丙丁为内
切圜直角方形
心 论见三卷二十五增
第六题
有圜求作内切圜直角方形
法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切圜直角
方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于
戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四线即甲乙丙丁为内
切圜直角方形
几何原本 卷四之首 第 9b 页 WYG0798-0654b.png
论曰甲乙戊角形之甲戊与乙戊丙角形之戊丙两
腰等乙戊同腰而腰间角两为直角即其底甲乙乙
丙等(一卷/四)依显乙丙丙丁亦等则四边形之四边俱
等而甲乙丙丁四角皆在半圜分之上又皆直角(三/卷)
(卅/一)是为内切圜直角方形
第七题
有圜求作外切圜直角方形
法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切圜直角方形先
腰等乙戊同腰而腰间角两为直角即其底甲乙乙
丙等(一卷/四)依显乙丙丙丁亦等则四边形之四边俱
等而甲乙丙丁四角皆在半圜分之上又皆直角(三/卷)
(卅/一)是为内切圜直角方形
第七题
有圜求作外切圜直角方形
法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切圜直角方形先
几何原本 卷四之首 第 10a 页 WYG0798-0654c.png
作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊次于
甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四线为两
径之垂线而相遇于己于辛于壬于庚即己庚壬辛
为外切圜直角方形
论曰甲戊乙己乙戊既皆直角即己辛甲丙平行(一/卷)
(廿/八)依显甲丙庚壬亦平行则己庚辛壬亦平行(一卷/三十)
又甲丙辛己既直角形即甲丙己辛必等(一卷/卅四)而甲
丙辛甲己辛两角亦等甲丙辛既直角即甲己辛亦
甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四线为两
径之垂线而相遇于己于辛于壬于庚即己庚壬辛
为外切圜直角方形
论曰甲戊乙己乙戊既皆直角即己辛甲丙平行(一/卷)
(廿/八)依显甲丙庚壬亦平行则己庚辛壬亦平行(一卷/三十)
又甲丙辛己既直角形即甲丙己辛必等(一卷/卅四)而甲
丙辛甲己辛两角亦等甲丙辛既直角即甲己辛亦
几何原本 卷四之首 第 10b 页 WYG0798-0654d.png
直角依显庚壬辛亦直角而辛壬壬庚庚己三边俱
等于甲丙乙丁两径既四边俱等于两径则己庚壬
辛为直角方形而四边各切圜(三卷十/六之系)
第八题
直角方形求作形内切圜
法曰甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先
以四边各两平分于戊于己于庚于辛而作
辛己戊庚两线交于壬其甲丁与乙丙既平行相等
等于甲丙乙丁两径既四边俱等于两径则己庚壬
辛为直角方形而四边各切圜(三卷十/六之系)
第八题
直角方形求作形内切圜
法曰甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先
以四边各两平分于戊于己于庚于辛而作
辛己戊庚两线交于壬其甲丁与乙丙既平行相等
几何原本 卷四之首 第 11a 页 WYG0798-0655a.png
即半减线之甲辛乙己亦平行相等而甲乙与辛己
亦平行相等(一卷/卅三)依显丁丙与辛己亦平行
相等甲丁乙丙戊庚俱平行相等而甲壬乙
壬丙壬丁壬四俱直角形壬戊壬己壬庚壬辛四线
与甲辛戊乙丁辛甲戊四线各等夫甲辛戊乙丁辛
甲戊各为等线之半即与之等者壬戊壬己壬庚壬
辛亦自相等次作圜以壬为心戊为界必过己庚辛
而切甲丁丁丙丙乙乙甲四边(三卷/十六)是为形内切圜
亦平行相等(一卷/卅三)依显丁丙与辛己亦平行
相等甲丁乙丙戊庚俱平行相等而甲壬乙
壬丙壬丁壬四俱直角形壬戊壬己壬庚壬辛四线
与甲辛戊乙丁辛甲戊四线各等夫甲辛戊乙丁辛
甲戊各为等线之半即与之等者壬戊壬己壬庚壬
辛亦自相等次作圜以壬为心戊为界必过己庚辛
而切甲丁丁丙丙乙乙甲四边(三卷/十六)是为形内切圜
几何原本 卷四之首 第 11b 页 WYG0798-0655b.png
第九题
直角方形求作形外切圜
法曰甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作
对角两线为甲丙乙丁而交于戊其甲乙丁
角形之甲乙甲丁两腰等即甲乙丁甲丁乙两角亦
等(一卷/五)而乙甲丁为直角即甲乙丁甲丁乙俱半直
角(一卷/卅二)依显丙乙丁丙丁乙亦俱半直角而四角俱
等又戊甲丁戊丁甲两角等即戊甲戊丁两边亦等
直角方形求作形外切圜
法曰甲乙丙丁直角方形求作外切圜先作
对角两线为甲丙乙丁而交于戊其甲乙丁
角形之甲乙甲丁两腰等即甲乙丁甲丁乙两角亦
等(一卷/五)而乙甲丁为直角即甲乙丁甲丁乙俱半直
角(一卷/卅二)依显丙乙丁丙丁乙亦俱半直角而四角俱
等又戊甲丁戊丁甲两角等即戊甲戊丁两边亦等
几何原本 卷四之首 第 12a 页 WYG0798-0655c.png
(一卷/六)依显戊甲戊乙两边亦等而戊乙戊丙两边戊
丙戊丁两边各等次作圜以戊为心甲为界必过乙
丙丁而为形外切圜
第十题
求作两边等三角形而底上两角各倍大于腰间角
法曰先任作甲乙线次分之于丙其分法
须甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直
角方形等(二卷/十一)次以甲为心乙为界作乙
丙戊丁两边各等次作圜以戊为心甲为界必过乙
丙丁而为形外切圜
第十题
求作两边等三角形而底上两角各倍大于腰间角
法曰先任作甲乙线次分之于丙其分法
须甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直
角方形等(二卷/十一)次以甲为心乙为界作乙
几何原本 卷四之首 第 12b 页 WYG0798-0655d.png
丁圜次作乙丁合圜线与甲丙等(本篇/一)末作甲丁线
相联其甲乙甲丁等即甲乙丁为两边等角形而甲
乙丁甲丁乙两角各倍大于甲角
论曰试作丙丁线而甲丙丁角形外作甲丙丁切圜
(本篇/五)其甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直角方
形等即亦与至规外之乙丁上直角方形等而乙丁
线切甲丙丁圜于丁(三卷/卅七)即乙丁切线偕丁丙割线
所作乙丁丙角与负丁甲丙圜分之甲角交互相等
相联其甲乙甲丁等即甲乙丁为两边等角形而甲
乙丁甲丁乙两角各倍大于甲角
论曰试作丙丁线而甲丙丁角形外作甲丙丁切圜
(本篇/五)其甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直角方
形等即亦与至规外之乙丁上直角方形等而乙丁
线切甲丙丁圜于丁(三卷/卅七)即乙丁切线偕丁丙割线
所作乙丁丙角与负丁甲丙圜分之甲角交互相等
几何原本 卷四之首 第 13a 页 WYG0798-0656a.png
(三卷/卅二)此二率者每加一丙丁甲角即甲丁乙全角与
丙甲丁丙丁甲两角并等夫乙丙丁外角亦与丙甲
丁丙丁甲相对之两内角等(一卷/卅二)即乙丙丁角与甲
丁乙全角等而与相等之甲乙丁亦等丙丁与乙丁
两线亦等(一卷/六)夫乙丁元与甲丙等即丙丁与甲丙
亦等丙甲丁丙丁甲两角亦等而甲角既与乙丁丙
角等即乙丁丙与丙丁甲两角亦等是甲丁乙倍大
于丙丁甲必倍大于相等之甲角也而相等之甲乙
丙甲丁丙丁甲两角并等夫乙丙丁外角亦与丙甲
丁丙丁甲相对之两内角等(一卷/卅二)即乙丙丁角与甲
丁乙全角等而与相等之甲乙丁亦等丙丁与乙丁
两线亦等(一卷/六)夫乙丁元与甲丙等即丙丁与甲丙
亦等丙甲丁丙丁甲两角亦等而甲角既与乙丁丙
角等即乙丁丙与丙丁甲两角亦等是甲丁乙倍大
于丙丁甲必倍大于相等之甲角也而相等之甲乙
几何原本 卷四之首 第 13b 页 WYG0798-0656b.png
丁亦倍大于甲也
第十一题
有圜求作圜内五边切形其形等边等角
法曰甲乙丙丁戊圜求作五边内切圜形
等边等角先作己庚辛两边等角形而庚
辛两角各倍大于己角(本篇/十)次于圜内作
甲丙丁角形与己庚辛角形各等角(本篇/二)
次以甲丙丁甲丁丙两角各两平分(一卷/九)作丙戊丁
第十一题
有圜求作圜内五边切形其形等边等角
法曰甲乙丙丁戊圜求作五边内切圜形
等边等角先作己庚辛两边等角形而庚
辛两角各倍大于己角(本篇/十)次于圜内作
甲丙丁角形与己庚辛角形各等角(本篇/二)
次以甲丙丁甲丁丙两角各两平分(一卷/九)作丙戊丁
几何原本 卷四之首 第 14a 页 WYG0798-0656c.png
乙两线末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五线相联即
甲乙丙丁戊为五边内切圜形而五边五角俱自相
等
论曰甲丙丁甲丁丙两角皆倍大于丙甲丁角而两
角又平分即甲丁乙乙丁丙丙甲丁丁丙戊戊丙甲
五角皆等而五角所乘之甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲
五圜分亦等(三卷/廿六)即甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五线
亦等(三卷/廿九)是五边形之五边等又甲乙戊丁两圜分
甲乙丙丁戊为五边内切圜形而五边五角俱自相
等
论曰甲丙丁甲丁丙两角皆倍大于丙甲丁角而两
角又平分即甲丁乙乙丁丙丙甲丁丁丙戊戊丙甲
五角皆等而五角所乘之甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲
五圜分亦等(三卷/廿六)即甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五线
亦等(三卷/廿九)是五边形之五边等又甲乙戊丁两圜分
几何原本 卷四之首 第 14b 页 WYG0798-0656d.png
等而各加一乙丙丁圜分即甲乙丙丁与戊丁丙乙
两圜分等乘两圜分之甲戊丁乙甲戊两角亦等依
显馀三角与两角俱等是五边形之五角等
第十二题
有圜求作圜外五边切形其形等边等角
法曰甲乙丙丁戊圜求作五边外切圜形
等边等角先作圜内甲乙丙丁戊五边等
边等角切形(本篇/十一)次从己心作己甲己乙
两圜分等乘两圜分之甲戊丁乙甲戊两角亦等依
显馀三角与两角俱等是五边形之五角等
第十二题
有圜求作圜外五边切形其形等边等角
法曰甲乙丙丁戊圜求作五边外切圜形
等边等角先作圜内甲乙丙丁戊五边等
边等角切形(本篇/十一)次从己心作己甲己乙
几何原本 卷四之首 第 15a 页 WYG0798-0657a.png
己丙己丁己戊五线次从此五线作庚辛辛壬壬癸
癸子子庚五垂线相遇于庚于辛于壬于癸于子(庚/戊)
(甲庚甲戊两角小于两直角故/甲庚戊庚线必相遇馀四仿此)五垂线既切圜(三卷/十六)
即成外切圜五边形而等边等角
论曰试从己心作己庚己辛己壬己癸己子五线其
己甲甲辛上两直角方形己乙乙辛上两直角方形
之两并各与己辛上直角方形等(一卷/四七)即两并自相
等此两并率者每减一相等之甲己己乙上直角方
癸子子庚五垂线相遇于庚于辛于壬于癸于子(庚/戊)
(甲庚甲戊两角小于两直角故/甲庚戊庚线必相遇馀四仿此)五垂线既切圜(三卷/十六)
即成外切圜五边形而等边等角
论曰试从己心作己庚己辛己壬己癸己子五线其
己甲甲辛上两直角方形己乙乙辛上两直角方形
之两并各与己辛上直角方形等(一卷/四七)即两并自相
等此两并率者每减一相等之甲己己乙上直角方
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形即所存甲辛辛乙上两直角方形等则甲辛辛乙
两线等也又甲己辛角形之甲己与乙己辛角形之
乙己两腰等己辛同腰而甲辛辛乙两底又等即甲
己辛辛己乙两角等(一卷/八)而甲辛己乙辛己两角亦
等(一卷/四)则甲己乙角倍大于辛己乙角也依显乙己
丙角亦倍大于乙己壬角乙壬丙角亦倍大于乙壬
己角也又甲己乙乙己丙两角乘甲乙乙丙相等之
两圜分(线等故圜分等/见三卷廿八)即两角自相等(三卷/廿七)半减之
两线等也又甲己辛角形之甲己与乙己辛角形之
乙己两腰等己辛同腰而甲辛辛乙两底又等即甲
己辛辛己乙两角等(一卷/八)而甲辛己乙辛己两角亦
等(一卷/四)则甲己乙角倍大于辛己乙角也依显乙己
丙角亦倍大于乙己壬角乙壬丙角亦倍大于乙壬
己角也又甲己乙乙己丙两角乘甲乙乙丙相等之
两圜分(线等故圜分等/见三卷廿八)即两角自相等(三卷/廿七)半减之
几何原本 卷四之首 第 16a 页 WYG0798-0657c.png
辛己乙乙己壬两角亦等 乙己辛角形之乙己辛
辛乙己两角与乙己壬角形之乙己壬壬乙己两角
各等而乙己同边是辛乙乙壬两边亦等也(一卷/廿六)乙
辛己乙壬己两角亦等也则辛壬线倍大于辛乙线
也依显庚辛线亦倍大于辛甲线也前己
显甲辛辛乙两线等则倍大之庚辛辛壬
两线亦等也依显壬癸癸子子庚与庚辛
辛壬俱等也是为庚辛壬癸子形之五边等又依前
辛乙己两角与乙己壬角形之乙己壬壬乙己两角
各等而乙己同边是辛乙乙壬两边亦等也(一卷/廿六)乙
辛己乙壬己两角亦等也则辛壬线倍大于辛乙线
也依显庚辛线亦倍大于辛甲线也前己
显甲辛辛乙两线等则倍大之庚辛辛壬
两线亦等也依显壬癸癸子子庚与庚辛
辛壬俱等也是为庚辛壬癸子形之五边等又依前
几何原本 卷四之首 第 16b 页 WYG0798-0657d.png
所显乙辛己与乙壬己两角等是乙辛甲之减半角
与乙壬丙之减半角等即倍大之乙辛甲与乙壬丙
亦等也依显辛壬癸壬癸子癸子庚子庚辛与庚辛
壬俱等也是为庚辛壬癸子形之五角等
第十三题
五边等边等角形求作形内切圜
法曰甲乙丙丁戊五边等边等角形求作内切圜先
分乙甲戊甲乙丙两角各两平分(一卷/九)其线为己甲
与乙壬丙之减半角等即倍大之乙辛甲与乙壬丙
亦等也依显辛壬癸壬癸子癸子庚子庚辛与庚辛
壬俱等也是为庚辛壬癸子形之五角等
第十三题
五边等边等角形求作形内切圜
法曰甲乙丙丁戊五边等边等角形求作内切圜先
分乙甲戊甲乙丙两角各两平分(一卷/九)其线为己甲
几何原本 卷四之首 第 17a 页 WYG0798-0658a.png
己乙而相遇于己(己甲乙己乙甲两角小/于两直角故己甲己乙)
(两线必/相遇)自己作己丙己丁己戊三线其甲
己乙角形之甲乙腰与乙己丙角形之乙
丙腰等乙己同腰而两腰间之甲乙己丙乙己两角
等即甲己己丙两底亦等乙甲己乙丙己两角亦等
(一卷/四)又乙甲戊与乙丙丁两角等而乙甲己为乙甲
戊之半即乙丙己亦乙丙丁之半则乙丙丁角亦两
平分于己丙线矣依显丙丁戊丁戊甲两角亦两平
(两线必/相遇)自己作己丙己丁己戊三线其甲
己乙角形之甲乙腰与乙己丙角形之乙
丙腰等乙己同腰而两腰间之甲乙己丙乙己两角
等即甲己己丙两底亦等乙甲己乙丙己两角亦等
(一卷/四)又乙甲戊与乙丙丁两角等而乙甲己为乙甲
戊之半即乙丙己亦乙丙丁之半则乙丙丁角亦两
平分于己丙线矣依显丙丁戊丁戊甲两角亦两平
几何原本 卷四之首 第 17b 页 WYG0798-0658b.png
分于己丁己戊两线矣次从己向各边作
己庚己辛己壬己癸己子五垂线其甲己
庚角形之己甲庚己庚甲两角与甲己子
角形之己甲子己子甲两角各等甲己同边即两形
必等(一卷/廿六)己子与己庚两线亦等依显己辛己壬己
癸三垂线与己庚己子两垂线俱等末作圜以己为
心庚为界必过辛壬癸子而为甲乙丙丁戊五边形
之内切圜(三卷/十六)
己庚己辛己壬己癸己子五垂线其甲己
庚角形之己甲庚己庚甲两角与甲己子
角形之己甲子己子甲两角各等甲己同边即两形
必等(一卷/廿六)己子与己庚两线亦等依显己辛己壬己
癸三垂线与己庚己子两垂线俱等末作圜以己为
心庚为界必过辛壬癸子而为甲乙丙丁戊五边形
之内切圜(三卷/十六)
几何原本 卷四之首 第 18a 页 WYG0798-0658c.png
第十四题
五边等边等角形求作形外切圜
法曰甲乙丙丁戊五边等边等角形求作外切圜先
分乙甲戊甲乙丙两角各两平分其线为
己甲己乙而相遇于己(说见/前)次从己作己
丙己丁己戊三线依前题论推显乙丙丁
丙丁戊丁戊甲三角各两平分于己丙己丁己戊三
线夫五角既等即其半减之角亦等而甲乙己角形
五边等边等角形求作形外切圜
法曰甲乙丙丁戊五边等边等角形求作外切圜先
分乙甲戊甲乙丙两角各两平分其线为
己甲己乙而相遇于己(说见/前)次从己作己
丙己丁己戊三线依前题论推显乙丙丁
丙丁戊丁戊甲三角各两平分于己丙己丁己戊三
线夫五角既等即其半减之角亦等而甲乙己角形
几何原本 卷四之首 第 18b 页 WYG0798-0658d.png
之己甲乙己乙甲两角等即甲己与己乙两线亦等
(一卷/六)依显己丙己丁己戊三线与己甲己乙俱等末
作圜以己为心甲为界必过乙丙丁戊而为甲乙丙
丁戊五边形之外切圜
第十五题
有圜求作圜内六边切形其形等边等角
法曰甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六边内切圜形
等边等角先作甲丁径线次以丁为心庚为界作圜
(一卷/六)依显己丙己丁己戊三线与己甲己乙俱等末
作圜以己为心甲为界必过乙丙丁戊而为甲乙丙
丁戊五边形之外切圜
第十五题
有圜求作圜内六边切形其形等边等角
法曰甲乙丙丁戊己圜其心庚求作六边内切圜形
等边等角先作甲丁径线次以丁为心庚为界作圜
几何原本 卷四之首 第 19a 页 WYG0798-0659a.png
两圜相交于丙于戊次从庚心作丙庚
戊庚两线各引长之为丙己戊乙末作
甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线相
联即成甲乙丙丁戊己内切圜六边形而等边等角
论曰庚丙庚丁两线等而丁丙与丁庚亦等(依圜/界说)三
边俱等即庚丙丁为平边角形而庚丁丙丁丙庚丙
庚丁三角俱等(一卷/五)此三角元与两直角等(一卷/卅二)即
每角为两直角三分之一而丙庚丁角为两直角三
戊庚两线各引长之为丙己戊乙末作
甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线相
联即成甲乙丙丁戊己内切圜六边形而等边等角
论曰庚丙庚丁两线等而丁丙与丁庚亦等(依圜/界说)三
边俱等即庚丙丁为平边角形而庚丁丙丁丙庚丙
庚丁三角俱等(一卷/五)此三角元与两直角等(一卷/卅二)即
每角为两直角三分之一而丙庚丁角为两直角三
几何原本 卷四之首 第 19b 页 WYG0798-0659b.png
分之一也依显丁庚戊角亦两直角三分之一而丙
庚丁丁庚戊戊庚己三角又等于两直角(一卷/十三)即戊
庚己角亦两直角三分之一矣则丙庚丁丁庚戊戊
庚己三角亦自相等而此三角与己庚甲甲庚乙乙
庚丙三角亦等(一卷/十五)是辏庚心之六角俱自相等而
所乘之六圜分(三卷/廿六)及甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己
甲六线俱自相等(三卷/廿九)则甲乙丙丁戊己形之六边
等乂乙丙与甲己两圜分等而各加一丙丁戊己圜
庚丁丁庚戊戊庚己三角又等于两直角(一卷/十三)即戊
庚己角亦两直角三分之一矣则丙庚丁丁庚戊戊
庚己三角亦自相等而此三角与己庚甲甲庚乙乙
庚丙三角亦等(一卷/十五)是辏庚心之六角俱自相等而
所乘之六圜分(三卷/廿六)及甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己
甲六线俱自相等(三卷/廿九)则甲乙丙丁戊己形之六边
等乂乙丙与甲己两圜分等而各加一丙丁戊己圜
几何原本 卷四之首 第 20a 页 WYG0798-0659c.png
分即乙丙丁戊己与甲己戊丁丙两圜分等而所乘
之乙甲己与甲乙丙两角等(三卷/廿七)依显乙丙丁丙丁
戊丁戊己戊己甲四角与乙甲己甲乙丙两角俱等
则甲乙丙丁戊己形之六角等
一系凡圜之半径为六分圜之一之分弦何者庚丁
与丁丙等故故一开规为圜不动而可六平分之
二系依前十二十三十四题可作六边等边等角形
在圜之外又六边等边等角形内可作切圜又六边
之乙甲己与甲乙丙两角等(三卷/廿七)依显乙丙丁丙丁
戊丁戊己戊己甲四角与乙甲己甲乙丙两角俱等
则甲乙丙丁戊己形之六角等
一系凡圜之半径为六分圜之一之分弦何者庚丁
与丁丙等故故一开规为圜不动而可六平分之
二系依前十二十三十四题可作六边等边等角形
在圜之外又六边等边等角形内可作切圜又六边
几何原本 卷四之首 第 20b 页 WYG0798-0659d.png
等边等角形外可作切圜
第十六题
有圜求作圜内十五边切形其形等边等角
法曰甲乙丙圜求作十五边内切圜形等边等角先
作甲乙丙内切圜平边三角形与丁等
角(本篇/二)即三边等而甲乙乙丙丙甲三
圜分亦等(三卷/廿八)夫甲乙丙圜十正分之
则甲乙三分圜之一当为十五分之五
第十六题
有圜求作圜内十五边切形其形等边等角
法曰甲乙丙圜求作十五边内切圜形等边等角先
作甲乙丙内切圜平边三角形与丁等
角(本篇/二)即三边等而甲乙乙丙丙甲三
圜分亦等(三卷/廿八)夫甲乙丙圜十正分之
则甲乙三分圜之一当为十五分之五
几何原本 卷四之首 第 21a 页 WYG0798-0660a.png
次从甲作甲戊己庚辛内切圜五边形等角(本篇/十一)即
甲戊戊己己庚庚辛辛甲五圜分等(三卷/廿八)夫甲乙丙
圜十五分之则甲戊五分圜之一当为十五分之三
而戊乙得十五分之二次以戊乙圜分两平分于壬
(三卷/卅)则壬乙得十五分之一次作壬乙线依壬乙共
作十五合圜线(本篇/一)则成十五边等边形而十五角
所乘之圜分等即各角亦等(三卷/廿七)
一系依前十二十三十四题可作外切圜十五边
甲戊戊己己庚庚辛辛甲五圜分等(三卷/廿八)夫甲乙丙
圜十五分之则甲戊五分圜之一当为十五分之三
而戊乙得十五分之二次以戊乙圜分两平分于壬
(三卷/卅)则壬乙得十五分之一次作壬乙线依壬乙共
作十五合圜线(本篇/一)则成十五边等边形而十五角
所乘之圜分等即各角亦等(三卷/廿七)
一系依前十二十三十四题可作外切圜十五边
几何原本 卷四之首 第 21b 页 WYG0798-0660b.png
形又十五边形内可作切圜又十五边
形外可作切圜
注曰依此法可设一法作无量数形
如本题图甲乙圜分为三分圜之一
即命三甲戊圜分为五分圜之一即命五三与五
相乘得十五即知此两分法可作十五边形又如
甲乙命三甲戊命五三与五较得二即知戊乙得
十五分之二因分戊乙为两平分得壬乙线为十
形外可作切圜
注曰依此法可设一法作无量数形
如本题图甲乙圜分为三分圜之一
即命三甲戊圜分为五分圜之一即命五三与五
相乘得十五即知此两分法可作十五边形又如
甲乙命三甲戊命五三与五较得二即知戊乙得
十五分之二因分戊乙为两平分得壬乙线为十
几何原本 卷四之首 第 22a 页 WYG0798-0660c.png
五分之一可作内切圜十五边形也以此法为例
作后题
增题若圜内从一点设切圜两不等等边等角形
之各一边此两边一为若干分圜之一一为若干
分圜之一此两若干分相乘之数即后作形之边
数此两若干分之较数即两边相距之圜分所得
后作形边数内之分数
法曰甲乙丙丁戊圜内从甲点作数形之各一边
作后题
增题若圜内从一点设切圜两不等等边等角形
之各一边此两边一为若干分圜之一一为若干
分圜之一此两若干分相乘之数即后作形之边
数此两若干分之较数即两边相距之圜分所得
后作形边数内之分数
法曰甲乙丙丁戊圜内从甲点作数形之各一边
几何原本 卷四之首 第 22b 页 WYG0798-0660d.png
如甲乙为六边形之一边甲丙为五边形之一边
甲丁为四边形之一边甲戊为三边形之一边甲
乙命六甲丙命五较数一即乙丙圜分为所作三
十边等边等角形之一边何者五六相乘为三十
故当作三十边也较数一故当为一边
也
论曰甲乙圜分为六分圜之一即得三
十分圜之五而甲丙为五分圜之一即得三十分
甲丁为四边形之一边甲戊为三边形之一边甲
乙命六甲丙命五较数一即乙丙圜分为所作三
十边等边等角形之一边何者五六相乘为三十
故当作三十边也较数一故当为一边
也
论曰甲乙圜分为六分圜之一即得三
十分圜之五而甲丙为五分圜之一即得三十分
几何原本 卷四之首 第 23a 页 WYG0798-0661a.png
圜之六则乙丙得三十分圜之一也依显乙丁为
二十四边形之二边也何者甲乙命六甲丁命四
六乘四得二十四也又较数二也依显乙戊为十
八边形之三边也丙丁为二十边形之一边也丙
戊为十五边形之二边也丁戊为十二边形之一
边也
二系凡作形于圜之内等边则等角何者形之角所
乘之圜分皆等故(三卷/廿七)凡作形于圜之外即从圜心
二十四边形之二边也何者甲乙命六甲丁命四
六乘四得二十四也又较数二也依显乙戊为十
八边形之三边也丙丁为二十边形之一边也丙
戊为十五边形之二边也丁戊为十二边形之一
边也
二系凡作形于圜之内等边则等角何者形之角所
乘之圜分皆等故(三卷/廿七)凡作形于圜之外即从圜心
几何原本 卷四之首 第 23b 页 WYG0798-0661b.png
作直线抵各角依本篇十二题可推显各角等
三系凡等边形既可作在圜内即依圜内形可作在
圜外即形内可作圜即形外亦可作圜皆依本篇十
二十三十四题
四系凡圜内有一形欲作他形其形边倍于此形边
即分此形一边所合之圜分为两平分而每分各作
一合线即三边可作六边四边可作八边仿此以至
无穷
三系凡等边形既可作在圜内即依圜内形可作在
圜外即形内可作圜即形外亦可作圜皆依本篇十
二十三十四题
四系凡圜内有一形欲作他形其形边倍于此形边
即分此形一边所合之圜分为两平分而每分各作
一合线即三边可作六边四边可作八边仿此以至
无穷
几何原本 卷四之首 第 24a 页 WYG0798-0661c.png
又补题圜内有同心圜求作一多边形切大圜不至
小圜其多边为偶数而等
法曰甲乙丙丁戊两圜同以己为心求
于甲乙丙大圜内作多边切形不至丁
戊小圜其多边为偶数而等先从己心
作甲丙径线截丁戊圜于戊次从戊作
庚辛为甲戊之垂线即庚辛线切丁戊圜于戊也(三/卷)
(十六/之系)夫甲庚丙圜分虽大于丙庚若于甲庚丙减其
小圜其多边为偶数而等
法曰甲乙丙丁戊两圜同以己为心求
于甲乙丙大圜内作多边切形不至丁
戊小圜其多边为偶数而等先从己心
作甲丙径线截丁戊圜于戊次从戊作
庚辛为甲戊之垂线即庚辛线切丁戊圜于戊也(三/卷)
(十六/之系)夫甲庚丙圜分虽大于丙庚若于甲庚丙减其
几何原本 卷四之首 第 24b 页 WYG0798-0661d.png
半甲乙存乙丙又减其半乙壬存壬丙又减其半壬
癸如是递减至其减馀丙癸必小于丙庚(如下/补论)既得
丙癸圜分小于丙庚而作丙癸合圜线即丙癸为所
求切圜形之一边也次分乙壬圜分其分数与丙壬
之分数等次分甲乙与乙丙分数等分丙甲与甲乙
丙分数等则得所求形(三卷/廿九)而不至丁戊小圜
论曰试从癸作癸子为甲丙之垂线遇甲丙于丑其
庚戊丑癸丑戊两皆直角即庚辛癸子为平行线(一/卷)
癸如是递减至其减馀丙癸必小于丙庚(如下/补论)既得
丙癸圜分小于丙庚而作丙癸合圜线即丙癸为所
求切圜形之一边也次分乙壬圜分其分数与丙壬
之分数等次分甲乙与乙丙分数等分丙甲与甲乙
丙分数等则得所求形(三卷/廿九)而不至丁戊小圜
论曰试从癸作癸子为甲丙之垂线遇甲丙于丑其
庚戊丑癸丑戊两皆直角即庚辛癸子为平行线(一/卷)
几何原本 卷四之首 第 25a 页 WYG0798-0662a.png
(廿/八)庚辛线之切丁戊圜既止一点即癸子线更在其
外必不至丁戊矣何况丙癸更远于丑癸乎依显其
馀与丙癸等边同度距心者(三卷/十四)俱不至丁戊圜也
(此系十二卷第十六题因六卷今/增题宜藉此论故先类附于此)
补论其题曰两几何不等若于大率递减其大半必
可使其减馀小于元设小率
解曰甲乙大率丙小率题言于甲乙递减其大半至
可使其减馀小于丙
外必不至丁戊矣何况丙癸更远于丑癸乎依显其
馀与丙癸等边同度距心者(三卷/十四)俱不至丁戊圜也
(此系十二卷第十六题因六卷今/增题宜藉此论故先类附于此)
补论其题曰两几何不等若于大率递减其大半必
可使其减馀小于元设小率
解曰甲乙大率丙小率题言于甲乙递减其大半至
可使其减馀小于丙
几何原本 卷四之首 第 25b 页 WYG0798-0662b.png
论曰试以丙倍之又倍之至仅大于甲乙而
止为丁戊丁戊之分为丁己己庚庚戊各与丙
等也次于甲乙减其大半甲辛存辛乙又减
其大半辛壬存壬乙如是递减至甲乙与丁戊之分
数等夫甲辛辛壬壬乙与丁己己庚庚戊分数既等
丁戊又大于甲乙若两率各为两分而大丁戊之减
丁己止于半小甲乙之减甲辛为大半即丁戊之减
馀必大于甲乙之减馀也若各为多分而己戊尚多
止为丁戊丁戊之分为丁己己庚庚戊各与丙
等也次于甲乙减其大半甲辛存辛乙又减
其大半辛壬存壬乙如是递减至甲乙与丁戊之分
数等夫甲辛辛壬壬乙与丁己己庚庚戊分数既等
丁戊又大于甲乙若两率各为两分而大丁戊之减
丁己止于半小甲乙之减甲辛为大半即丁戊之减
馀必大于甲乙之减馀也若各为多分而己戊尚多
几何原本 卷四之首 第 26a 页 WYG0798-0662c.png
于丙者即又于己戊减己庚于辛乙减其大半辛壬
如是递减卒至丁戊之末分庚戊大于甲乙之末分
壬乙也而庚戊元与丙等是壬乙小于丙也
又论曰若于甲乙递减其半亦同前论何者大丁戊
所减不大于半则丁戊之减馀每大于甲乙之减馀
以至末分亦大于末分(此系十卷第一题借/用于此以足上论)
如是递减卒至丁戊之末分庚戊大于甲乙之末分
壬乙也而庚戊元与丙等是壬乙小于丙也
又论曰若于甲乙递减其半亦同前论何者大丁戊
所减不大于半则丁戊之减馀每大于甲乙之减馀
以至末分亦大于末分(此系十卷第一题借/用于此以足上论)
几何原本 卷四之首 第 26b 页 WYG0798-0662d.png
几何原本卷四