李潢汪萊陳杰丁兆慶張福僖時曰淳李銳黎應南

駱騰鳳項名達王大有丁取忠李錫蕃謝家禾吳嘉善

羅士琳易之瀚顧觀光韓應陛左潛曾紀鴻夏鸞翔

鄒伯奇李善蘭華衡芳弟世芳

李潢，字云門，鍾祥人。乾隆三十六年進士，由翰林官至工部左侍郎。博綜群書，尤精算學，推步律呂，俱臻微妙。著九章算術細草圖說九卷，附海島算經一卷，共十卷。

其自序重差圖云：「圖九，望遠，海島舊有圖解，餘八圖今所補也。同式形兩兩相比，所作四率，二三率相乘，與一四率相乘同積。如欲作圖明之，第取一三率聯爲一邊，又取二四率聯爲一邊，作相乘長方圖之，自然分為四冪。又以斜弦界為同式句股形各二，則形勢驗矣。舊圖於形外別作同積二方，至兩形相去遼遠者，又必宛轉通之，皆可不必也。圖中以四邊形、五邊形立說，似與句股不類，然於本形外補作句股形，則亦句股也。四率比例法，在九章粟米謂之今有，一為所有率，二為所求率，三為所有數，四為所求數，在句股則統目之為率。劉氏注云：'句率股率，見句見股者是也。'今祗云同式相比者，取省易耳，異乘同除則一也。」書甫寫定，潢即病。俟吳門沈欽裴算校，方可付梓。越八年，其甥程矞採家為之校刊，以成其志。

九章初經東原戴氏從永樂大典中錄出，一刻於曲阜孔氏，再刻於常熟屈氏，悉依戴氏原校本刊刻。其時古籍甫顯，校訂較難，不無間有扞格，自是天下之習九章者，莫不家★L3一編，奉為圭臬。而劉徽九章亦從此有善本矣。潢又嘗因古算經十書中，九章之外最著者，莫如王孝通之輯古。唐制開科取士，獨輯古四條限以三年，誠以是書隱奧難通。世所傳之長塘鮑氏、曲阜孔氏、羅江李氏各刻本，又悉依汲古閣毛影宋本，祗有原術文而未詳其法，且復傳寫脫誤。雖經陽城張氏以天元一術推演細草，但天元一術創自宋、元時人，究在王氏後，似非此書本旨。爰本九章古義，為之校正，凡其誤者糾之，闕者補之，著考註二卷。以明斜袤廣狹割截附帶分並虛實之原，務如其術乃止。稿未成，潢歿後，為南豐劉衡授其鄉人，以西士開方法增補算草，並附圖解，刻於江西省中，喧賓奪主，殊亂其真。矞採取江西刻本削去圖草，仍以原考注刊布。

武進李兆洛為之序，曰：「輯古何為而作也？蓋闡少廣、商功之蘊而加精焉者也。商功之法，廣袤相乘，又以高若深乘之為立積，今轉以積與差求廣袤高深，所求之數，最小數也。曷為以最小數為所求數？曰，求大數，則實方廉隅，正負雜糅。求小數，則實常為負，方廉隅常為正也。觀台羨道，築堤穿河，方倉圓囤，芻甍輸粟，其形不一，概以從開立方除之何也？曰，一以貫之之理也。物生而後有像，象而後有滋，滋而後有數。斜解立方，得兩巉堵，一為陽馬，一為鱉臑。陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也。今於平地之餘續狹斜之法，無論為巉堵、為陽馬、為鱉臑，皆作立積。觀其立積內不以所求數乘者為減積，以所求數一乘者為方法，再乘者為廉法，所求數再自乘為立方，即隅法也。從開立方除之，得所求數。若繪圖於紙，令廣袤相乘，以所求數從橫截之。剖平冪為若干段，又以截高與所求數乘之。分立積為若干段，若者為減積，若者為方，若者為廉，若者為隅，條段分明，歷歷可指。作者之意，不煩言而解矣。其云廉母自乘為方母，廉母乘方母為實母者之分，開方之要術也。先生於是書立法之根，如鋸解木，如錐劃地，又復補正脫誤，條理秩然，信王氏之功臣矣！爰述大旨，以告世之習是書者，無復苦其難讀雲。」

汪萊，字孝嬰，號衡齋，歙縣人。年十五，補博士弟子。弱冠后，讀書於吳葑門外，慕其鄉江文學永、戴庶常震、金殿撰榜、程徵君易疇學，力通經史百家及推步曆算之術。嘉慶十二年，以優貢生入都，考取八旗官學教習，會御史徐國楠奏請續修天文、時憲二志，經大學士首舉萊與徐準宜、許澐入館纂修。十四年，書成。議敘，以本班教職用，選授石埭縣訓導。十八年，應省試，得疾歸，卒於官，年四十有六。先是十一年夏，黃河啟放王營減壩，正溜直注張家河，會六塘河歸海。兩江督臣奉上命，查量雲梯關外舊海口與六塘河新海口地勢高下，延萊測算，蓋其精算之名，久為官卿所知。曾制渾天、簡平、一方各儀器觀測。

與郡人巴樹穀最友善，客江、淮間，又與焦孝廉循、江上舍籓、李秀才銳，辯論宋秦九韶、元李冶立天元一及正、負開方諸法。天性敏絕，極能攻堅，不肯苟於著述。凡所言，皆人所未言，與夫人所不能言。

嘗以古書八線之制，終於三分取一，用益實歸除法求之，其一表之真數，僅得十之二。因悟得五分之一通弦與五分之三通弦交錯為三角形，比例立法，以取五分之一之通弦，而弦切之數益密。梅氏環中黍尺，有以量代算之術，惟求倚平儀外周之兩角，而縮於內半週之角未詳。其法較易，因立新術，量取不倚外周之角度，而三角之量法乃全。堆垛有求平三角、立三角、尖堆積法，不及三乘方以上，又復推而廣之，自三乘、四乘以上之尖堆，皆可由根知積。並及諸物遞兼之法，以補古九章所未備。

又糾正梅文穆公句股知積術，及指識天元一，正、負開方之可知、不可知。其糾正句股知積術也，文穆赤水遺珍稱：「有句股積及股弦和較求句股，向無其術，苦思力索，立法四條。」其門人丁維烈又造減縱翻積開三乘方法，文穆許之。萊謂：「句股形等積、等弦和，帶縱立方形等基、等高闊和，皆有兩形互易。如句二十，股二十一，弦二十九，句弦和四十九，句股積二百一十。若句十二，股三十五，弦三十七，句弦積亦四十九，句股積亦二百一十。設問者暗執一形，則對者交盲兩數。梅、丁諸公法成而不可用，蓋兩句弦較，與一句弦和，恆為連比例之三率。其兩句弦較，即首、末二率；兩較減一和之餘，即中率；而句弦和必為三率𠊧。遂創立有兩積相等、兩句弦和相等、求兩句股形之法。以四倍句股積自乘，句弦和除之，為帶縱長立方積。以句弦和為縱，開得數為兩句弦較之中率，自乘為帶縱平方積。又以中率與句弦和相減為長闊和，求得長闊兩根為兩句股較，用求兩句股形各數。又同積之邊，彼此可互，三次之乘，先後可通，故四倍句股積自乘，即兩形之倍句相乘為底，兩形之股相乘為高，即猶以中末乘首。中化為中率，再乘為立方三率，𠊧為帶縱。由是推得立方形兩高數恆為首末二率，高闊和恆為三率，𠊧數與等積、等弦和之兩弦較及弦和絲毫無異。如高九闊十，高闊和十九，立方積九百。若高四闊十五，高闊和亦十九，立方積亦九​​百，其數莫不由兩形相引而出。故其法即命積為帶縱長立方積，以高闊和為所帶之縱。用帶縱長立方法開得本方根，為兩形高數之中率。與高闊和相減，餘為帶縱之平方長闊和。中率自乘，為帶縱平方積。用帶縱平方長闊和法開之，得長闊一根，為兩形之兩高數。兩高與和相減，為兩闊數。」

其指識正、負開方也，「元李冶傳洞淵九容術，撰測圓海鏡、益古演段，以明天元如積相消，其究必用正、負開方，互詳於宋秦九韶數學九章。梅文穆公雖指天元一為西人借根方所由來，而正、負開方則未有闡明者。元和李秀才銳特為讎校，謂少廣一章，得此始貫於一。好古之士，翕然相從。萊獨推其有可知、有不可知。如測圓海鏡邊股第五問'圜田求徑二百四十步與五百七十六步共數'，而李仁卿專以二百四十為答。數學九章田域第二題'尖田求積二百四十步與八百四十步共數'，而秦道古專以八百四十為答。乃自二乘方以下，縷析推之，得九十五條。凡幾根數為帶縱長闊較則可知，為帶縱長闊和則不可知。又推得幾真數少，幾根數又多，幾平方與一立方積等多少雜糅，和較莫定。立法以審之，以幾平方數用幾立方數除之，得數乘幾根數，以較幾真數。若少於真數，則以幾平方為高闊較，是為可知。若多於真數，則或幾平方為通分法，三母總數、幾真數為三母維乘之共數，幾根數為通分之共子，如二、如六、如十二。設真數一百四十四，少二百八，根數多二十，平方積與一立方積相等，則三數皆同，是為不可知。」

蓋以一答為可知，不止一答為不可知。故李秀才銳跋其書，括為三例以證明之。謂：「隅實同名者不可知；隅實異名，而從廉正負不雜者可知；隅實異名，而從廉正負相雜，其從翻而與隅同名者可知，否則不可知。隅實異名，即帶縱之長闊較也，較僅一答；隅實同名，即帶縱之長闊和也，和則不止一答。」銳以隅實同名、異名，明一答與不止一答；萊以長闊、和較，明可知、不可知，其義一也。著有衡齋算學七冊，考定通藝錄磬氏倨句解一冊。

陳杰，字靜弇，烏程諸生。考取天文生，任欽天監博士，供職時憲科兼天文科，司測量。累官國子監算學助教。道光十九年，謝病歸，卒於家。生平邃於算學，尤神明於比例之用。初著輯古算經細草一卷，後十餘年，又為之指畫形象，成圖解三卷；又博採訓詁，考正其傳寫之舛譌，稽合各本之同異，別成音義一卷。

其自述比例言有曰：「比例之法，昉自九章，傳由西域，在古法曰異乘同除，在西法曰比例等。假如甲有錢四百，易米二斗，問乙有錢六百，易米幾何？答曰三斗。法以乙錢為實，甲米乘之，得數，甲錢除之，即得。錢與米異名相乘，與錢同名相除，故謂之異乘同除，此古法也。以甲錢比甲米，若乙錢與乙米。凡言以者一率，言比者二率，言若者三率，言與者四率。二三相乘，一率除之，得四率，此西法也。古法元、明時中土幾以失傳，不知何時流入西域。明神宗時，西人利瑪竇來中國，出其所著算書，中人矜為創獲，其實所用皆古法，但異其名色耳。茲以西人名色解王氏，固取其平近，亦以名中、西之合轍也。 」

又有論曰：「二十一史律志無不用比例者，他如九章、緝古、十種算書，多用比例，無如古人總不言比例。如緝古第二問，求均給積尺，欲以本體求又一形之體，忽取兩面冪之數，一用以乘，一用以除，而得數。又第九問求員囤，第十問求員窖，忽以周徑乘除，即如方亭法求之，諸數悉得。走作圖解，審諦久之，而始知為比例，乃明言比例以揭之。嗣是而閱古算書者，罔弗比例矣。」

又自道光以來，嘗親在觀像台督率值班天文生頻年實測黃、赤大距為二十三度二十七分，未經奏明，故當時未敢用。迨甲辰歲修儀象考成續編，監臣即取此數上之，而欽定頒行焉。

晚年所譔為算法大成，上編十卷，首加、減、乘、除，次開方、句股，次比例、八線，次對數，次平三角、弧三角。門分類別，皆先列舊法，而以新法附之，圖說理解，不憚反覆詳明，

專為引誘初學設也。下編十卷，則有目無書。其言曰：「算法之用多端，第一至要為治歷，故下編言在官之事，先治歷，次出師，次工程錢糧，次戶口鹽司，次堆積丈量；儒者則考據經傳，下及商賈庶民，則貲本營運，市廛交易，持家日用，凡事無鉅細，各設題為問答，以明算法之用，蓋如此之廣云。」下編似未成。其門人丁兆慶、張福僖均以算名。

兆慶，字寶書，歸安人。沉潛好學，為項學正兩邊夾角迳求對角新法圖說，謂其講解明晰，戛戛獨造。

福僖，字南坪，烏程諸生。精究小輪之理，著有慧星考略。

時曰淳，字清甫，嘉定人。精算術。發明古人術意，無不入微。咸豐末，與長沙丁取忠同客胡林翼幕府，每與商榷數理，見丁氏數學拾遺之百雞術，謂與二色方程暗合。因為廣衍，立二十八題，以「舊學商量加邃密、新知培養轉深沉」十四字識其上下，為十四耦。諸題皆借方程為本術，並述大衍求一術以博其趣，作百雞術衍二卷。

自序略曰：「張丘建算經雞翁雞母題問，甄、李兩註及劉孝孫草，皆未達術意，不可通。近焦理堂所釋尤誤。讀吾友丁君果臣數學拾遺，設術與二色方程暗合，乃通法也。駱氏藝遊錄用大衍求一術，以大小較求中數，取徑頗巧，然遇較除共較實適盡者，則不可求。方程術則遇法除實得中數，不盡者以分母與減率相求而齊同之，無不可得。駱氏殆未知有方程本術耳。夫題祗本經一術，算理之微妙，不如孫子不知數一問，而術文各隱秘。彼則但舉用數，此亦僅著加減三率，於前半段取數之法皆闕如。豈古人不傳之秘，必待學者深思而自得乎？孫子求一術，至宋秦道古發之，獨是題襲謬傳訛，無借方程以問途者。曰淳蓄疑既久，今年春與果臣連榻鄂城，復一商榷，別後數月乃通之。怡然渙然，了無滯凝，亦窮愁中一快事也。因衍方程術為數學拾遺補，求負數法及加減率求答數法，附述求一術為藝遊錄補。以中小較求大數法，及大中較、大小較互求得中數、小數法，引伸鉤索，溫故知新，庶足以大暢厥旨乎！易翁、母、雛為大、中、小，設數不必以百，而統以百雞命之者，識斯術所自昉也。」

李銳，字尚之，元和諸生。幼開敏，有過人之資。從書塾中檢得算法統宗，心通其義，遂為九章、八線之學。因受經於錢大昕，得中、西異同之奧，於古歷尤深。自三統以迄授時，悉能洞澈本原。

嘗謂：「三統，世經稱殷術，以元帝初元二年為紀首，是年歲在甲戌。推而上之，一千五百二十歲而歲值甲寅為元首，又上四千五百六十年而歲复甲寅為上元。以此積年，用四分上推，太初元年得至朔同日，而中餘四分日之三，朔餘九百四十分之七百五，故太初術虧四分日之三，去小餘七百五分也。《漢書》載三統而不著太初，其實一月之日，二十九日八十一分日之四十三，是日法、月法與三統同。賈逵稱太初術鬥二十六度三百八十五分，是統法週天又與三統同。蓋四分無異於太初，而太初亦得謂之三統。鄭注召誥，周公居攝五年二月三月，當為一月二月，不云正月者，蓋待治定制禮，乃正言正月故也。江徵君聲、王光祿鳴盛以為據洛誥十二月戊辰逆推之，其說未核。今案鄭君精於步算，此破二月三月為一月二月，以緯候入蔀數，推知上推下驗，一一符合，不僅檢勘一二年間事也。」

因據詩大明疏，鄭注尚書文王受命，武王伐紂時日皆用殷歷甲寅元，遂從文王得赤雀受命年起，以乾鑿度所載之積年推算，是年入戊午蔀，二十九年歲在戊午，與劉歆所說殷歷周公六年始入戊午蔀不同。歆謂文王受命九年而崩，崩後四年武王克殷，後七年而崩，明年周公攝政元年，較鄭少一年。又載召誥、洛誥俱攝政七年事，其年二月乙亥朔，三月甲辰朔，十二月戊辰朔，並與鄭不合。乃以推算各年及一月二月，排比干支，分次上下，著召誥日名考，此融會古歷以發明經術者也。

當是時，大昕為當代通儒第一，生平未嘗親許人，獨於銳則以為勝己。大昕嘗以太乙統宗寶鑑求積年術日法一萬五百歲，實三百八十三萬五千四十八分二十五秒為疑。銳據宋同州王湜易學，謂每年於三百六十五日二千四百四十分之外，有終於五分者，有終於六分者，有終於五六分之間者。終於五分者，五代王朴欽天歷是也，以七千二百為日法。終於六分者，近年萬分歷是也，以一萬分為日法。終於五六分之間者，景祐曆法載於太乙遁甲中是也，以一萬五百分為日法，此暗用授時法也。試以日法為一率，歲實為二率，授時日法一萬為三率，推四率，得三百六十五萬二千四百二十五分，即授時之歲實也。探本窮源，一言破的。

近世曆算之學，首推吳江王氏錫闡、宣城梅氏文鼎，嗣則休寧戴氏震亦號名家。王氏謂土盤曆元在唐武德年間，非開皇己未；梅氏謂回回曆實用洪武甲子為元，而託之於開皇己未。其算宮分，雖以開皇己未為元，其查立成之根，則在己未元後二十四年，二說並同。

戴氏謂回回曆百二十八年閏三十一日，是每歲三百六十五日之外，又餘百二十八分日之三十一也。以萬萬乘三十一，滿百二十八而一，得二千四百二十一萬八千七百五十，地谷所定歲實三百六十五日二十三刻三分四十五秒，通分內子以萬萬乘之，滿日法而一，亦得二千四百二十一萬八千七百五十，與梅氏疑問所云合。是三家所論，未嘗不確知灼見，然均未得其詳。銳據明史曆志、回回本術，參以近年瞻禮單，精加考核，謂回回曆有太陽年，彼中謂為宮分；有太陰年，彼中謂為月分。宮分有宮分之元，則開皇己未是也；月分有月分之元，則唐武德壬午是也。自開皇己未至洪武甲子，積宮分年七百八十六，自武德壬午至洪武甲子，積月分年亦七百八十六，其惑人者即此兩積年相等耳，因著回回曆元考。有求宮分白羊一日入月分截元後積年月日法，以為不明乎此，雖有立成，不能入算也。稿佚未刊。

梅氏未見古九章，其所著方程論，率皆以臆創補，然又囿於西學，致悖直除之旨。銳尋究古義，探索本根，變通簡捷，以舊術列於前，別立新術附於後，著方程新術草，以期古法共明於世。古無天元一術，其始見於元李冶測圓海鏡、益古演段二書，元郭守敬用之，以造授時曆草，而明學士顧應祥不解其旨，妄刪細草，遂致是法失傳。自梅文穆悟其即西法之借根方，於是李書乃得鄭重於世。其有原術不通，別設新術數則，更於梅說外辨得天元之相消，有減無加，與借根方之兩邊加減法少有不同。

且不滿顧氏所著之句股、弧矢兩算術，謂：「弧矢肇於九章方田，北宋沈括以兩矢冪求弧背，元李冶用三乘方取矢度，引伸觸類，厥法綦詳。顧氏如積未明，開方徒衍，不亦傎乎？」爰取弧矢十三術，入以天元，著弧矢算術細草。並仿演段例，括句股和較六十餘術，著句股算術細草，以導習天元者之先路。

又從同里顧千里處得秦九韶數學九章，見其亦有天元一之名，而其術則置奇於右上，定於右下，立天元一於左上。先以右上除右下，所得商數與左上相生，入於左下。依次上下相生，至右上末後奇一而止，乃驗左上所得以為乘率。與李書立天元一於太極上，如積求之，得寄左數與同數相消之法不同。因知秦書乃大衍求一中之又一天元，秦與李雖同時，而宋元則南北隔絕，兩家之術，無緣流通，蓋各有所授也。

銳嘗謂：「四時成歲，首載虞書，五紀明歷，見於洪範。歷學誠致治之要，為政之本。乃通典、通考置而不錄，邢云路雖撰古今律歷考，然徒援經史，以侈卷帙之多。梅氏祗有欲撰曆法通考之議，卒未成書。因更網羅諸史，由黃帝、顓頊、夏、殷、週、魯六歷，下逮元、明數十餘家，一一闡明義蘊，存者表而章之，缺者考而訂之，著為司天通志，俾讀史者啟其扃，治歷者益其智。」惜僅成四分、三統、乾象、奉天、佔天五術注而已。餘與開方說皆屬稿未全。

開方說三卷，銳讀秦氏書，見其於超步、退商、正負、加減、借一為隅諸法，頗得古九章少廣之遺，較梅氏少廣拾遺之無方廉者，不可以道裡計。蓋梅氏本於同文算指、西鏡錄二書，究出自西法，初不知立方以上無不帶從之方。銳因秦法推廣詳明，以著其說。甫及上、中二捲而卒，年四十有五。其下卷則弟子黎應南續成之。

應南，字見山，號鬥一，廣東順德人。嘉慶戊寅順天經魁，以書館議敘，選浙江麗水縣知縣，調平陽縣知縣。海疆俸滿，加六品銜，卒於官。

駱騰鳳，字鳴岡，山陽人。嘉慶六年舉人，道光六年，大挑一等，用知縣。以母老不原仕，改授舒城縣訓導。未一年，告養歸，教授里中，學徒甚眾。二十二年八月，卒於家，年七十有二。性敏銳，好讀書，尤精疇人術。在都中從鍾祥李潢學，研精覃思，寒暑靡間。

著開方釋例四卷，自序略謂：「天元一術，見宋秦九韶大衍數中，不言創於何人。元李冶測圓海鏡、益古演段二書，亦用此例。冶稱其術出於洞淵九容，今不可詳所自矣。是書自平方以至多乘，悉用一術，即芻童、羨餘諸形，亦可握觚而得，洵算術之秘鑰也。西法借根方實原於此，乃以多少代正負，徒欲掩其襲取之跡。不知正負以別異同，多少以分盈朒，毫釐千里，必有能辨之者。」

又著遊藝錄二卷，自識云：「餘於正、負開方之例，既為釋例以明其法矣。至於衰分方程、句股等法，以及九章所未載，與夫古今算術之未能該洽者，輒為溯其源，正其誤。不敢掠前哲之美以為名，亦不為黯黮之詞以欺世也。隨所見而識之，彙為一編。」遺稿凡十餘萬言，即今傳本也。

南匯張文虎嘗與青浦熊戶部其光書論之曰：「承示駱司訓算書二種，讀竟奉繳。李四香開方說，詳於超步、商除、翻積、益積諸例，而不言立法之根，令初學者茫不解其所謂。駱氏於諸乘方、方廉、和較、加減之理，皆質言之，而推求各元進退、定商諸術，尤足補李書所未備，誠學開方者之金鎖匙。汪孝嬰創設兩句股同積同句股和一問，以兩句弦較中率轉求兩句弦較，立術迂迴。駱氏以正、負開方徑求得兩句，頗為簡易。衡齋亦當首肯也。」其為人所推服如此。

項名達，字梅侶，仁和人。嘉慶二十一年舉人，考授國子監學正。道光六年，成進士，改官知縣，不就，退而專攻算學。三十年，卒於家，年六十有二。著述甚富，今傳世者，但有下學庵句股六術及圖解，复附句股形邊角相求法三十二題，合為一卷。以句股和較相求​​諸題術稍繁難，爰取舊術稍為變通。分術為六，使題之相同者通為一術，釐然悉有以御之。第一、二、三術及第四術之前二題，悉本舊解，餘為更定新術，皆別注捷法，各為圖解，以明其意。第四、五、六術其原皆出於第三術，可釋之以比例。第三術以句弦較比股，若股與句弦和，以股弦較比句，若句與股弦和，是為三率連比例。凡有比例加減之，其和較亦可互相比例。故第四、五、六術諸題，皆可由第三術之題加減而得，即可因第三術之比例而另生比例。因比例以成同積，而諸術開方之所以然遂明。名達又創有弧三角總較術，求橢員弧線術，術定，未有詮釋，以義奧趣幽，難猝竟事，故六術獨先成雲。

名達與烏程陳杰、錢塘戴煦契最深，晚年詣益精進，謂古法無用，不甚涉獵，而專意於平弧三角，與傑意不謀而合。與傑論平三角，名達曰：「平三角二邊夾一角，迳求斜角對邊，向無其法，竊嘗擬而得之，君聞之乎？」傑曰：「未也。 」錄其法以歸。蓋以甲乙邊自乘與甲丙邊自乘相加，得數寄左；乃以半徑為一率，甲角餘弦為二率，甲乙、甲丙兩邊相乘倍之為三率，求得四率，與寄左數相減，鈍角則相加，平方開之，得數即乙丙邊。

又嘗謂泰西杜德美之割圜九術，理精法妙，其原本於三角堆，董方立定四術以明之，洵為卓見。惟求倍分弧，有奇無偶，徐有壬補之，庶幾詳備。名達嘗玩三角堆，歎其數祗一遞加，而理法像數，包蘊無窮，夫方圜之率不相通，通方圜者必以尖，句股，尖像也；三角堆，尖數也。古法用半徑屢求句股得圜週，不勝其繁。杜氏則以三角堆御連比例諸率，而弧弦可以互通，割圜術蔑以加矣。然以此制八線全表，每求一數，必乘除兩次，所用弧線，位多而乘不便，董、徐二氏大、小弧相求法亦然。向思別立簡易法，因從三角堆整數中推出零數，但用半徑，即可任求幾度分秒之正餘弦，不煩取資於弧線及他弧弦矢。且每一乘除，便得一數，似可為製表之一助。

又著像數原始一書，未竟，疾革時，囑戴煦。後煦索稿於名達子錦標，校算增訂六閱月而稿始定，都為七卷。原書之四，僅六紙，並第七卷皆煦所補也。卷一曰整分起度弦矢率論，卷二曰半分起度弦矢率論，卷三、卷四曰零分起度弦矢率論，皆以兩等邊三角形明其像，遞加法定其數，末乃申論其算法。卷五曰諸術通詮，取新立弧弦矢求他弧弦矢二術、半徑求弦矢二術及杜、董諸術，按術詮釋之。卷六曰諸術明變，雜列所定弦矢求八線術，開諸乘方捷術，算律管新術，橢員求週術，以明皆從遞加數轉變而得。卷七曰橢員求週圖解，原術以袤為徑，求大員周及週較，相減而得周，補術則以廣為徑，求小員周，週較相加而得周，末係以圖解。徐有壬巡撫江蘇，郵書索煦寫定本梓行，刻甫就而有壬殉難，書與板皆毀焉。

有王大有者，字吉甫，仁和諸生。翰林院待詔。窮究天算，問業於處士戴煦。凡煦所著述，皆錄副本去，名達見之，因與煦訂交。大有嘗校割圜捷術合編。後殉於杭州。

丁取忠，字果臣，長沙人。研究像數，不求聞達，刻算書二十有一種，為白芙堂叢書。光緒初，卒於家，年逾七十。所自譔者為數學拾遺一卷，以所演算草較詳，可便初學，又意在拾遺，故未暇詳其義之出自何人。

又譔粟布演草二卷，自序曰：「道光壬辰，餘始習算，友人羅寅交學博洪賓以難題見詢，久無以應。同治初元，始獲交南豐吳君子登太史，馭以開屢乘方法，餘始通其術，然未悉其立法之根也。後吳君遊嶺表，餘推之他題，及展轉相求，仍多窒礙。又函詢李君壬叔，蒙示以廉法表及求總率二術，而其理始顯。後吳君又示以指數表及開方式表，李君復為之圖解以闡其義。由是三事互求，理歸一貫。餘因取數題詳為演草，並捷法圖解，都為一卷。質之南海鄒君特夫，君復為增訂開屢乘方法，並另設題演草，補所未備。即算家至精之理，如圜內容各等邊形，皆可藉發商生息以明之，誠快事也！」

後又譔演草補一篇，序云：「餘前年與左君壬叟共輯粟布演草，原為商賈之習算者設，或一例而演數題，或一題而更數式。或用真數，或用代數。其式或橫列，或直下，雜然並陳，無非欲學者比類參觀，易於領悟也。乃初學習之，猶謂茫無入門處，蓋商賈所習算書，大都詳於文而略於式。況代數又古算術所無，宜其卒然覽之而不解也。茲更擬一題附後，特仿數理精蘊借根方體例，專詳於文，庶初學讀之，可因文知義。算理既明，則全書各式，可渙然冰釋，或兼可為習代數者之先導乎？」其鄉人李錫蕃，亦以演算名。

錫蕃，字晉夫。道光三十年早卒，著有借根方句股細草一卷，衍為二十有五術，取忠刊入叢書。

謝家禾，字和甫，錢塘舉人。與同學戴氏兄弟熙、煦相友善。少嗜西學，點線面體四部，靡不淹貫。已，復取元初諸家算書，幽探冥索，悉其秘奧。乃輯平時所得析通分加減，定方程正負，以標舉立元大耍，撰演元耍義一卷。其自序云：「元學至精且邃，而求其要領，無過通分加減，凡四元之分正負，及相消法，互隱通分法，大致原於方程。方程者，即通分之義。方程不明，由於正負無定例，加減無定行，以譌傳譌，如梅宣城精研數理，未暇深究，他書可知矣。九章算經正負術甚明，而釋者反以意度，古誼之不明，可勝道哉！唯以衍元之法正方程之義，由是方程明而元學亦明。著演元要義，綜通分方程而論列之，附以連枝同體之分等法。通乎此，則四元庶可窺其涯涘耳。」

又以劉徽、祖沖之之率求弧田，求其密於古率者，撰弧田問率一卷。同里戴煦為之序曰：「古率徑一周三，徽率劉徽所定，徑五十週一百五十七也。密率乃祖沖之簡率，徑七週二十二也。諸書弧田術皆用古率，郭太史以二至相距四十八度，求矢亦用古法。顧徽、密二率之週既盈於古，則積亦盈於古，試設同徑之圓，旁割四弧，其中兩弦相得之方三率皆同，知三率圓積之盈縮，正三率弧積之盈縮也。徽、密二率弧田古無其術，惟四元玉鑑一睹其名，而設問隱晦，莫可端倪。穀堂得其旨，因依李尚之孤矢算術細草設問立術，亦足發前人所未發也。」

又以直橫與句股弦和較展轉相求，撰直積回求一卷，其自序云：「始戴諤士著句股和較集成，予亦著直積與和較求句股弦之書，然二書為義尚淺，且直積與句弦和求三事，用立方三乘方等，得數不易，而又不足以為率，其書遂不存。近見四元玉鑑直積與和較回求之法，多立二元，嘗與諤士思其義蘊，有不必用二元者。蓋以句弦較與句弦和相乘為股冪，股弦和與股弦較相乘為句冪，而直積自乘，即句冪股冪相乘也。如以句弦較乘股弦較冪，除直積冪，即為句弦和乘股弦和冪矣。句弦和乘股弦和冪，即弦冪和冪共內少半個黃方冪也。蓋相乘冪內去一弦冪，所餘為句股相乘者一，句弦相乘者一，股弦相乘者一，此三冪合成和冪，則少一半黃方冪。半黃方冪，即句弦較股弦較相乘冪也。加一半黃方冪，即為弦冪和冪共矣。加二直積，即二和冪也。減六直積，即二較冪也。又句弦和乘股弦較冪，為句冪內少個句股較乘股弦較冪也。股弦和乘句弦較冪，為股冪內多個句股較乘句弦較冪也。減一句股較乘股弦較冪，尚餘一句股較冪矣。術中精意，皆出於此。其他之參用常法者，可不解而自明耳。草中既未暇論，恐習者不知其理，因揭其大旨於簡端，見演段之不可不精也。」

家禾歿後，戴熙搜遺稿，囑其弟煦校讎而授諸梓。煦精​​算，見忠義傳。著有補重差圖說，句股和較集成消法簡易圖解，對數簡法，外切密率，假數測圓，及船機圖說等。

吳嘉善，字子登，南豐人。咸豐十一年進士，改翰林院庶吉士，散館授編修。與徐有壬同治算學。同治改元，避粵匪亂遊長沙，識丁取忠。逾年，客廣州，因鄒伯奇又識錢塘夏鸞翔。三人誌同道合，相得益彰。光緒五年，奉使法蘭西，駐巴黎。後受代還，旋卒。

所譔算書，首述筆算。次九章翼，曰今有術，曰分法，曰開方，曰平方平員各術。推演方田者，曰立方立員術，推演商功者，曰句股，曰衰分術，曰盈不足術，曰方程術。於句股術後，次附平三角、弧三角測量高遠之術。又次則專述天元四元之書，為天元一術釋例，為名式釋例，為天元一草，為天元問答，為方程天元合釋，為四元名式釋例並草，為四元淺釋。自序曰：「算學至今日，可謂盛矣。古義既彰，新法日出，前此所未有也。餘與丁君果臣皆癖此，既忘其癖，更欲以癖導人。嘗苦近世津逮初學之書無善本，梅文穆公所刪之算法統宗，今亦不傳。因商榷述此，取其淺近易曉，以為升高行遠之助雲。」

羅士琳，字茗香，甘泉人。以監生循例貢太學，嘗考取天文生。咸豐元年，恩詔徵舉孝廉方正之士，郡縣交薦，以老病辭。三年春，粵匪陷揚州，死之，年垂七十矣。少治經，從其舅江都秦太史恩复受舉業，已乃棄去，專力步算，博覽疇人書，日夕研求數年。

初精西法，自譔言曆法者曰憲法一隅。又思句股、少廣相表裡，而方田與商功無異，差分與均輸不殊。按類相從，摘九章中之切於日用者，悉以比例馭之，彙為十二種。以各定率冠首，以藉根方繼後，以諸乘方開法附末，凡四卷，曰比例匯通，雖悔其少作，實便初學問途。

後見四元玉鑑，服膺嘆絕，遂壹意專精四元之術。士琳博文強識，兼綜百家，於古今算法尤具神解，以硃氏此書實集算學大成，思通行發明，乃殫精一紀，步為全草，並有原書於率不通及步算傳寫之譌，悉為標出，補漏正誤，反覆設例，申明疑義，推演訂證。就原書三卷二十有四門，廣為二十四卷，門各補草。

嘗為提要鉤元之論，謂：「是書通體弗出九章範圍，不獨商功修築、句股測望、方程正負已也。如端匹互隱、廩粟回求寓粟布，如意混和寓借衰，茭草形段、果垛疊藏，如像招數寓商功中之差分，直段求源、混積問元、明積演段、撥換截田、鎖套吞容寓方田、少廣諸法。他若分索隱之為約分命分，方員交錯、三率究員、箭積交參之為定率兼交互。至於或問歌彖、雜範類會，以其各自為法，不能比類。故一則寄諸歌詞，一則編成雜法，均似補遺。大旨皆以加、減、乘、除、開方、帶分六例為問，每門必備此例，略簡易而詳繁難，尤於自來算書所無者，必設二問以明之。如混積問元中既設種金田及句三股四八角田為問。撥換截田中復設半種金田，鎖套吞容中復設方五斜七八角田為問。又果垛疊藏兩設員錐垛，雜範類會既設徽率割員，又設密率割員是矣。更有一門專明一義者，如和分索隱之分開方，三率究員兩儀合轍之反覆互求是矣。是書但云如積求之，如積有用定率為同數相消者，有如問加減乘除得積為同數相消者。祖序謂：'平水劉汝諧撰如積釋鎖，惜今​​不傳。'意者其釋此例歟？」

道光中，得硃氏算學啟蒙於京師廠肆，士琳復加斠詮刊布之。此書總二十門，凡二百五十九問，其名術義例多與玉鑑相表裡。士琳為之互斠，始於天元，終於四元，義主精邃，所得甚深。考大德四年莫若序，計後此書四年。此書首列乘除布算諸例，始於超徑等接之術，終於天元如積開方，由淺近以至通變，循序漸進，其理易知。名曰啟蒙，實則為玉鑑立術之根，此一證也。玉鑑原本十行，行十九字，「今有」低一格，「術曰」又​​低二格，與此書同，此二證也。玉鑑斗斛之「鬥」別作「」，此假借字，本漢書平帝紀及管子乘馬篇，尚雜見於唐以前之孫子、五曹、張丘建諸算經，鈞石之「石」，說文本作「柘」，玉鑑作「碩」，「碩」「石」古雖互通，然假「碩」為「石」，則僅見於毛詩甫田疏引漢書食貨志，而算書罕見，又玉鑑田之「」，雖見李籍九章音義，為字書所無，此書並同，此三證也。玉鑑雖亦三卷，而門則為二十四，問則二百八十八，較多此書四門二十九問，然以四字分類，其體裁同。且如商功、修築、方程、正負之屬，則又二書互見，此四證也。玉鑑如意混和第一問，據數知一秤為十五斤，適與此書之斤秤起率合，此五證也。玉鑑鎖套吞容第九問，方五斜七八角田左右逢元第六、第十三、第二十諸問，有小平小長，皆向無其術。此書卷首明乘除段，即載平除長為小長，長除平為小平之例。其田畝形段第十五問，复載方五斜七八角田求積通術，此六證也。他如玉鑑或問歌彖第四問，與此書盈不足術第七問，又玉鑑果垛疊藏第十四問，與此書堆積還原第十四問，又玉鑑方程正負第四問，與此書方程正負第五問，題皆約略相同，此七證也。知系硃氏原書佚而復出，併其算法一則，亦為附列，間有魚豕，悉仍其舊，但各標識於誤字旁，別記刊誤於卷末。

又嘗以乾隆間明氏捷法校得八線對數表，一度十三分二十秒正切第五字「０」誤「一」；又六度四十一分十秒正切第五字「 ０」誤「六」；又十二度五十分正弦第六字「七」誤「五」；又十六度三十二分十秒正切第七字「九」誤「０」；又四十二度三十二分四秒正切第九字「五」誤「四」。可見西人所能，中人亦能之。

又因會通四元玉鑑如像招數一門，更取明氏捷法，御以天元，知密率亦可招差，其弧與弦矢互求之法，與授時曆之垛積招差一一符合。且以祖氏綴術失傳，其法廑見於秦書，即大衍之連環求等遞減遞加，亦與明氏捷法相近。爰融會諸家法意，撰綴術輯補二卷。

又甄錄古今疇人，仍阮氏體例為列傳，採前傳所未收者，得補遺十二人，附見五人，續補二十人，附見七人，合共四十有四人，次於前傳四十六卷之後。

集所校著都為觀我生室匯十二種。如四元玉鑑細草二十四卷，釋例二卷，校正算學啟蒙三卷，校正割圜密率捷法四卷，續疇人傳六卷，皆別有單行本。

外已刻者尚得七種，曰句股容三事拾遺三卷，附例一卷，本繪亭監副博啟法補其遺，取內容方邊員徑垂線交互相求，一以天元馭之。曰三角和較算例一卷，取斜平三角形中兩邊夾一角術鎔入天元法，用和較推演成式。曰演元九式一卷，括玉鑑中進退消長諸例，借無數之數，以正負開方式入之。曰台錐積演一卷，以玉鑑茭草、果垛二門可補少廣之闕，爰取台錐形段引而伸之。曰周無專鼎銘考一卷，以四分週術佐以三統漢術，推得宣王十有六年九月既望甲戌，與銘辭正合。曰弧矢算術補一卷，以元和李四香原術未備，為增補二十七術，合成四十術。曰推算日食增廣新術一卷，推廣正升斜升橫升之算法，以求太陰隨地隨時之明魄方向分秒，复推其術，以求交食限內之方向，及所經歷之諸邊分。

餘若春秋朔閏異同考、綴術輯補交食圖說舉隅、句股截積和較算例、淮南天文訓存疑、博能叢話，凡若干卷，未有刻本。其同縣友有易之瀚者，亦以算名。

易之瀚，字浩川。知士琳有四元玉鑑補草，因從問難，為撰四元釋例一卷。凡開方例二十九則，天元例十一則，四元例十三則。

顧觀光，字尚之，金山人。太學生，三試不售，遂無志科舉，承世業為醫。鄉錢氏多藏書，恆假讀之。博通經、傳、史、子、百家，尤究極天文曆算，因端竟委，能抉其所以然，而摘其不盡然。時復蹈瑕抵隙，蒐補其未備。如據周髀「笠以寫天，青黃丹黑」之文及後文「凡為此圖」云云，而悟篇中周徑里數皆為繪圖而設。天本渾員，以視法變為平員，則不得不以北極為心，而內外衡以次環之，皆為藉象，而非真以平員測天也。

開元占經魯歷積年之算不合，因用演積術，推其上元庚子至開元二年歲積，知佔經少三千六十年。又以佔經顓頊歷歲積考之史記秦始皇本紀，知其術雖起立春，而以小雪距朔之日為斷。蓋秦以十月為歲首，閏在歲終，故小雪必在十月，昔人未及言也。李尚之用何承天調日法考古曆日法朔餘強弱不合者十六家，以為未能推算入微。爰別立術，以日法朔餘展轉相減，以得強弱之數。但使日法在百萬以上皆可求，惟朔餘過於強率者不可算耳。授時術以平定立三差求太陽盈縮，梅氏詳說未明其故。讀明志乃知即三色方程之法。謂凡兩數升降有差，彼此遞減，必得一齊同之數。引而伸之，即諸乘差，則八線、對數、小輪、橢員諸術，皆可共貫。讀佔經所載瞿曇悉達九執術，知回回、太西曆法皆源於此。其所謂高月者即月孛，月藏者即月引數，日藏者即日引數，特稱名不同，亦猶回曆稱歲實為宮日數，朔策為月分日數也。

其論婺源江氏冬至權度，推劉宋大明五年十一月乙酉冬至前以壬戌丁未二日景求太陽實經度，而後求兩心差，乃專用壬戌。今用丁未求得兩心差，適與江氏古大今小之說相反。蓋偏取一端，其根誤在高衝行太疾也。西法用實朔距緯求食甚兩心實相距，術繁而得數未確。改以前後兩設時求食甚實引徑得兩心實相距，不必更資實朔，較本法為簡而密矣。

西人割圜，止知內容各等邊之半為正弦，而不知外切各等邊之半為正切。乃依六宗、三要、二簡諸術，別立求外切各等邊之正切法，以補其缺。杜德美求員周術，用員內容六邊形起算，巧而降位稍遲，謂內容十等邊之一邊，即理分中末線之大分，距週較近。且十邊形之邊與周同數，不過遞進一位，而大分與全分相減即得小分，則連比例各率，可以較數取之。入算尤簡易，可用弧度入算，不用弧背真數。然猶慮其難記，仍不能無藉於表，因又合兩法用之，則術愈簡，而弧線、直線相求之理始盡。錢塘項氏割圜捷術，止有弦矢求餘線術，以為可通之割、切二線，因補其術。西人求對數，以正數屢次開方，對數屢次折半，立術繁重。李氏探原以尖錐發其覆，捷矣，而布算術猶繁。且所得者皆前後兩數之較，可以造表而不可徑求。戴氏簡法及西人數學啟蒙，又有新術，而未窮其理。乃變通以求二至九之八對數，因任意設數，立六術以御之，得數皆合。復立還原四術，並推衍為和較相求八術，為自來言對數者所未有也。又謂對數之用，莫便於八線，而西人未言其立表之根，因冥思力索，仍用諸乘方差，迎刃而解，尤晚歲造微之詣也。其它凡近時新譯西術，如代數、微分、諸重學，皆有所糾正，類此。

所著曰算賸初、續編凡二卷。曰九數存古，依九章分為九卷，而以堆垛、大衍、四元、旁要、重差、夕桀、割圜、弧矢諸術附焉，皆採古書而分門隸之。曰九數外錄，則隱括四術為對數、割圜、八線、平三角、弧三角各等面體、員錐三曲線、靜重學、動重學、流質重學、天重學，凡記十篇。曰六歷通考，則據佔經所紀黃帝、顓頊、夏、殷、週、魯積年而加以考證。曰九執歷解，曰回回曆解，皆就原法疏通證明之。曰推步簡法，曰新歷推步簡法，曰五星簡法，則就原術改度為百分，省迂迴而歸簡易，蓋於學實事求是，無門戶異同之見，故析理甚精，而談算為最雲。其友人韓應陛，亦​​以表章算書顯。

應陛，字對虞，婁縣人。道光二十四年舉人，官內閣中書舍人。少好讀週、秦諸子，為文古質簡奧，非時俗所尚。既而從同里姚椿遊，得望溪、惜抱相傳古文義法。西人所創點、線、面、體之學，為幾何原本，凡十五卷，明萬曆間利譯止前六卷。咸豐初，英人偉烈亞力續譯後九卷，海寧李壬叔寫而傳之。應陛反覆審訂，授之剞劂，亞力以為泰西舊本弗及也。外若新譯重、氣、聲、光諸學，應陛推極其致，往往為西人所未及雲。

左潛，字壬叔，大學士宗棠從子。補縣學生。於詩、古文辭無不深造，尤明算理。長沙丁取忠引為忘年交。早卒，士​​林惜之。所學自大衍、天元及借根方、比例諸新法，無不貫通。且能自出己意，變其式，勘其誤，作為圖解，往往突過先民。嘗增訂徐有壬割圜綴術，既成，忽悟通分捷法析分母、分子為極小數，根同者去之，凡多項通分，頃刻立就。因演數草，為通分捷法一帙。

所譔綴術補草四卷，自序曰：「自泰西杜德美創立割圜九術，以屢乘屢除通方圜之率，我朝明氏、董氏各為之說，而杜書之義，推闡靡遺。顧八線互求，尚無通術，未足以盡一圜之變，非明氏、董氏之智力，不能因法立以盡其變也。其能窮杜氏之義也，資於借根方；其不能廣杜氏之法也，亦限於借根方。蓋借根方即天元一之變術，究不如元術之巧變莫測也。是書祖杜宗明，又旁參以董氏之法，八線相求，各立一式，因式立法，因法入算。鄉之不可立算者，今皆能馭之以法，即有不能立法布算者，而其式存，則能濟法之窮；而度圜諸線，一以貫之矣。推其立式之由，所謂比例術，即明氏定半徑為一率，所有為二率或三率之法也。所謂還原術，即明氏弧背求正矢，又以正矢求弧背之法也。所謂借徑術，即明氏借十分全弧通弦率數求百分全弧通弦率數，求千分全弧通弦率數諸法也。所謂商除法，又即還原術之變法。是故綴術胎於明氏，而又足以盡明氏之變。明氏之未立式者，以藉根方取兩等數，其分母、分子雜糅繁重，既不可通，其多號、少號，展轉互變，又不可約。試取明氏書馭之以綴術，其遞降各率，頃刻可求。則是書也，其真能因法立法，別樹幟於明、董之後者歟？書為徐君青先生所作，吳君子登成之，顧詳於式而略於草。敬考其立法之原，不可遽得，學者難焉，潛因於暇日為補草四卷，因綴數語於簡端雲。」

又譔綴術釋明二卷，湘鄉曾紀鴻為之序，略曰：「易系云：'極其數遂定天下之象。'則綜天下難定之像以歸有定，莫數若矣。在昔聖神，制器尚象，利物前民，於數理必有究極精微，範圍後世者，代久年湮，漸至失傳。近三百年，泰西猶能推闡古法，而中國才智之士，或反率其成轍。孔子曰：'天子失官，學在四夷。'正今日數學之謂也。中國舊有弧矢算術，而未標角度八線鈐表，則雖有用其理以入算者，而無表可檢。則每求一數，必百倍其功，而所得數仍非密率。明代譯出泰西八線表及八線對數表，覈其立法得數之原，甚屬繁難，而成表之後，一勞永逸。大至無外，細及極微，莫不以此表測之，則其用之廣大可想。然得表之後，雖無事於再求，而任舉一數，無從較其訛誤。若仍用舊術，則非★月經旬，不能得一數，此明靜菴、董方立推演杜德美弧矢捷術之所以可貴也。向來求八線者，例用六宗、三耍、二簡各法，若任言一弧，必不能考其弦矢諸數。至杜氏創立屢乘屢除之法，則但有弧徑，而八線均可求。董方立解杜術，先取其線之極微者，令與與弧線合，而後用連比例以推至極大。又考諸率數與尖錐理相合，故用尖錐以釋弧矢，而弧矢之數理以顯。明靜菴解杜術，先取四分弧與十分弧之通弦直線之極大者，用連比例以推至千分、萬分弧通弦之極微者，考其乘除之率數，與杜術乘除之原理合，故用綴術以釋弧矢，而弧矢之數理亦出。董、明二氏，均為弧矢不祧之宗，無庸軒輊。邇百年中繼起者，如戴、徐、李三氏所著書，雖自出心裁，要皆奉董、明為師資也。吾友左君壬叟，於數學尤孜孜不倦，遇有疑難，必窮力追索，務洞澈其奧窔。嘗謂方員之理，乃天地自然之數，吾之宗中宗西，不必分畛域，直以為自得新法也可。曾釋君青徐氏綴術，又釋戴鄂士求表捷術，茲又釋明靜菴弧矢捷術，而一貫以天元寄分之式，於員率一道三致意焉，可謂勤矣。孰意天厄良才，壬叟竟於甲戌秋不永年而逝，凡在同人，無不嘆惜！況餘與之為兩世神交，安能無愴切耶！」

曾紀鴻，字栗誠，大學士國籓少子。恩賞舉人。早卒。紀鴻少年好學，與兄紀澤並精算術，尤神明於西人代數術。銳思勇進，創立新法，同輩多心折焉。謂大衍求一術亦可以代數推求，依題演之，理正相通，撰對數詳解五卷，始明代數之理，為不知代數者開其先路。中言對數之理，末言對數之用，明作書之本意。其於常對、訥對，辨析分明。先求得各真數之訥對，復以對數根乘之，即為常對數。級數朗然，有條不紊，雖初學循序漸進，無不可相說以解焉。

夏鸞翔，字紫笙，錢塘人。以輸餉議敘，得詹事府主簿。為項梅侶入室弟子。講究曲線諸術，洞悉員出於方之理。匯通各法，推演以盡其變，譔洞方術圖解二卷，自序略曰：「自杜氏術出，而求弦矢得捷徑焉。顧猶煩乘除，演算終不易，思一可省乘除之法而迄未得。丁巳夏，客都門，細思連比例術者，尖堆底也。尖堆底之比例，與諸乘方之比例等。以之求連比例術，必合諸乘方積而並求之。設不得諸乘方積遞差之故，方積何能並求？且並求方積而欲以加減代乘除，又必得諸較自然之數而後可，誠極難矣。既而悟曰，方積之遞加，加以較也。較之遞生，生於三角堆也。較加較而成積，亦較加較而成較。且諸乘方積之數與諸乘尖堆之數，數異而理同。三角堆起於三角形，故屢次增乘，皆增以三角。方積起於正方形，故累次增乘，皆增以正方。三角之較數，增一根則增一較；方積之較數，增一乘則增一較，理正同也。累次相較，較必有盡，惟其有盡，乃可入算。相連諸弦矢所以愈相較而較愈均者，正此理矣。諸較之理，皆起於天元一，而生於根差。遞加根一，諸乘方根差皆一。一乘之數不變，故可省乘。若增其根差，非復單一，則乘不能省。弦矢弧背之差，或一秒，或十秒，即以一秒、十秒弧線當根差，按根遞求，即可盡得諸乘方之較。以較加較，即盡得所求弦矢各數矣，豈不捷哉！爰演為求弦矢術，俾求表者得以加減代乘除。並細繹立術之義，以俟精於術數者採擇。」