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卷九十二 第 1a 页 WYG0789-0375c.png
钦定四库全书
新法算书卷九十二 明 徐光启等 撰
测量全义卷六
论体
历家所重全在测量所当测者略有三事一曰线测其长
短二曰面测其长短广狭三曰体测其长短广狭厚薄所
以测体者何也即如交食一法日与月各有不同心本天
各有最高度最高冲度其去人远近也恒不等其自相去
之远近恒不等人目所见二曜之体大小恒不等若此者
新法算书卷九十二 明 徐光启等 撰
测量全义卷六
论体
历家所重全在测量所当测者略有三事一曰线测其长
短二曰面测其长短广狭三曰体测其长短广狭厚薄所
以测体者何也即如交食一法日与月各有不同心本天
各有最高度最高冲度其去人远近也恒不等其自相去
之远近恒不等人目所见二曜之体大小恒不等若此者
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必于地体推之故有日与月与地三大之比例(别有/本书)不用
此比例何繇知交食之岁月日时地影(即闇/虚)比于月体小
大之数几何乎不因地月之比例何从推日轮之视体几
何大去人几何远乎则何繇知日食既之有无金环乎何
繇知月食过分之闇虚几何大乎何繇定食限之几何时
刻乎不知地球之大何繇定东西相去几何里即交食前
后相去几何时刻南北相去几何里即日食应有应无有
则几何分秒乎则安得不讲于量体之法乎然则测线测
面者何也曰体者诸面之积也未能测面安能测体面者
此比例何繇知交食之岁月日时地影(即闇/虚)比于月体小
大之数几何乎不因地月之比例何从推日轮之视体几
何大去人几何远乎则何繇知日食既之有无金环乎何
繇知月食过分之闇虚几何大乎何繇定食限之几何时
刻乎不知地球之大何繇定东西相去几何里即交食前
后相去几何时刻南北相去几何里即日食应有应无有
则几何分秒乎则安得不讲于量体之法乎然则测线测
面者何也曰体者诸面之积也未能测面安能测体面者
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又诸线之积也未能测线安能测面又测候七政行度皆
以句股弧弦诸法诸法则皆线也诸线之积为面不知面
理则亦不能晰线之体势故三测为并重也虽然测天皆
曲线曲面也直线与平面何为乎曰曲线法从直线出也
曲面法从平面出也犹圆体法从方体出也故繇线而面
而体繇直线而曲线平面而曲面方体而圆体譬之跬步
前步未行后步不可得进也是测量之全义也
体者面之积或实如金木土石等或空如盘池陶穹等俱同
以句股弧弦诸法诸法则皆线也诸线之积为面不知面
理则亦不能晰线之体势故三测为并重也虽然测天皆
曲线曲面也直线与平面何为乎曰曲线法从直线出也
曲面法从平面出也犹圆体法从方体出也故繇线而面
而体繇直线而曲线平面而曲面方体而圆体譬之跬步
前步未行后步不可得进也是测量之全义也
体者面之积或实如金木土石等或空如盘池陶穹等俱同
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理同法
其界为面面居体之周(面截面生棱如线遇线生/角也又棱为两面之共界)
一面之体如球如卵
二面之体如半球半卵圆角圆堆
其界为面面居体之周(面截面生棱如线遇线生/角也又棱为两面之共界)
一面之体如球如卵
二面之体如半球半卵圆角圆堆
卷九十二 第 3a 页 WYG0789-0376c.png
三面之体如剖球卵之一分
四面之体如三面角体而四面等
即三面角体第因各面俱等故属四面
五面之体如四面角体(因角体之面无定数/故左方不列其名)
四面之体如三面角体而四面等
即三面角体第因各面俱等故属四面
五面之体如四面角体(因角体之面无定数/故左方不列其名)
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六面之体如立方正立方斜立方
八面之体八面俱等
十二面之体十二面俱等
二十面之体二十面俱等(自四六八十二二十面之外/不能为等面胥无法之体也)
公量如斗如升皆足为体之量总之以立方为本如用
尺寸分为度而一尺之体其长其广其袤各一尺八俱
直棱八俱直角乘法一千实寸为一实尺一千实分为
一实寸则以立方之体再自之耳此为物数均齐推算
简易者也
八面之体八面俱等
十二面之体十二面俱等
二十面之体二十面俱等(自四六八十二二十面之外/不能为等面胥无法之体也)
公量如斗如升皆足为体之量总之以立方为本如用
尺寸分为度而一尺之体其长其广其袤各一尺八俱
直棱八俱直角乘法一千实寸为一实尺一千实分为
一实寸则以立方之体再自之耳此为物数均齐推算
简易者也
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几何原本一十一卷详解其理今略引一二如左
有法之体二其上者各面俱等盖设一边即知其面其
容也其次则对面为平行面或同类之体有公法如角
体者是也球亦有法之体盖其径其周其外面其容之
比例恒相等第以比例无尽分之数亦属次焉
第一体名立面体如正立方斜立方多边立体正立圆体
扁圆体(因其上下为平/行面亦属等面)公法以高乘底之积得其容(高/深)
(两名/互用)其高之度则垂线也
有法之体二其上者各面俱等盖设一边即知其面其
容也其次则对面为平行面或同类之体有公法如角
体者是也球亦有法之体盖其径其周其外面其容之
比例恒相等第以比例无尽分之数亦属次焉
第一体名立面体如正立方斜立方多边立体正立圆体
扁圆体(因其上下为平/行面亦属等面)公法以高乘底之积得其容(高/深)
(两名/互用)其高之度则垂线也
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几何原本十二卷七增题曰两平行面内之体或同高
两体其比例为体与体若底与底但取同类相求以正
高为据不论体势直与不直
又本卷三十二题曰同类之体与体(凡比体者皆以/其容积相比)为
两体其比例为体与体若底与底但取同类相求以正
高为据不论体势直与不直
又本卷三十二题曰同类之体与体(凡比体者皆以/其容积相比)为
卷九十二 第 5a 页 WYG0789-0377c.png
其边与边三加之比例 解曰三加之比例者四几何
为同理之连比例则一与二为一加与三为再加与四
为三加也(五卷/十界)此云三加者谓体之一与二若其边之
一与四也如二 四 八 十六为四几何同理之连
比例其首二尾十六为三加之比例则小体之边二大
体之边四其小体之容与大体之容若小边之二与大
边之十六也
系凡同类数体测定一体之容即其容与他体之容
为其边与边三加之比例设有立方体其边八其容
为同理之连比例则一与二为一加与三为再加与四
为三加也(五卷/十界)此云三加者谓体之一与二若其边之
一与四也如二 四 八 十六为四几何同理之连
比例其首二尾十六为三加之比例则小体之边二大
体之边四其小体之容与大体之容若小边之二与大
边之十六也
系凡同类数体测定一体之容即其容与他体之容
为其边与边三加之比例设有立方体其边八其容
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五一二又设次体其边十二即八与十二再加之得
十八三加之得二七(其超法为/一身有半)则初体与次体若八
与二十七或用三率法八与二十七若五一二与一
七二六或以四率连比例之第二率再自之得数同
第二体名角体底广上锐如堆垛锥亭峰之类其法同也
几何十二卷七题之系曰同底同高之角体与平行面
体(即同/高体)之比例若一与三法曰如方锥之底边设九则
底积八十一设高十八以乘底积得一四五八以三为
法而一得四八六方锥之容也又如圆堆之底周设十
十八三加之得二七(其超法为/一身有半)则初体与次体若八
与二十七或用三率法八与二十七若五一二与一
七二六或以四率连比例之第二率再自之得数同
第二体名角体底广上锐如堆垛锥亭峰之类其法同也
几何十二卷七题之系曰同底同高之角体与平行面
体(即同/高体)之比例若一与三法曰如方锥之底边设九则
底积八十一设高十八以乘底积得一四五八以三为
法而一得四八六方锥之容也又如圆堆之底周设十
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二尺设高五尺则先求周之径得三又十一之九相乘
得四五又十一之九以四为法而一得十一又十一之
五底积也以高乘之得五七实尺又十一之三以三为
法而一得十九又十一之一为圆堆之容(系凡委粟及/倚垣等角体)
(皆求立体之容三/除之为角体之容)
若不知其正高但知其底及棱则先求其正高
得四五又十一之九以四为法而一得十一又十一之
五底积也以高乘之得五七实尺又十一之三以三为
法而一得十九又十一之一为圆堆之容(系凡委粟及/倚垣等角体)
(皆求立体之容三/除之为角体之容)
若不知其正高但知其底及棱则先求其正高
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法曰若棱为偶数如上图得四甲乙
丙丁为底之四边各八又半甲丙对
角线十二弱戊为角顶戊甲戊乙戊
丁戊丙为四棱各十而求次图之中
长线戊己(次图何物如上图戊甲丁/丙乙为全体若从戊顶向)
(甲丙对角线平分之为二即所截之/两面各成戊甲丙三角形甲丙底十)
(二弱戊甲戊丙各十以此三边/求中长线戊已即角体之高)
法以半底甲已自之得三十六(句/方)以减腰方一百(弦/方)馀
六十四(股/方)开方得甲已八为角体之正高馀如前
丙丁为底之四边各八又半甲丙对
角线十二弱戊为角顶戊甲戊乙戊
丁戊丙为四棱各十而求次图之中
长线戊己(次图何物如上图戊甲丁/丙乙为全体若从戊顶向)
(甲丙对角线平分之为二即所截之/两面各成戊甲丙三角形甲丙底十)
(二弱戊甲戊丙各十以此三边/求中长线戊已即角体之高)
法以半底甲已自之得三十六(句/方)以减腰方一百(弦/方)馀
六十四(股/方)开方得甲已八为角体之正高馀如前
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若棱为奇数如五底之各边为十二棱之度为二十则
先求一面之中长线(各体有底有面有/棱底之边随体无)
(定数面则恒各为三边形形之/底线即底之一边两腰即棱也)依句股
法半底边得六(为/句)自之得三十六(句/方)棱
度自之得四百(弦/方)相减得三百六十四
(股/方)开方得一十九又一十三之一(即股即面形/之中长线)
次求底形之中长线用正弦法以五(底之/边数)为法三百六
十(全圈/之周)为实(几何论凡有法之形形外可作圈切/形之各角形内可作圈切形之各边)而一
得七十二度为一边之弧半弧之正弦(即底之/半边)为五八
先求一面之中长线(各体有底有面有/棱底之边随体无)
(定数面则恒各为三边形形之/底线即底之一边两腰即棱也)依句股
法半底边得六(为/句)自之得三十六(句/方)棱
度自之得四百(弦/方)相减得三百六十四
(股/方)开方得一十九又一十三之一(即股即面形/之中长线)
次求底形之中长线用正弦法以五(底之/边数)为法三百六
十(全圈/之周)为实(几何论凡有法之形形外可作圈切/形之各角形内可作圈切形之各边)而一
得七十二度为一边之弧半弧之正弦(即底之/半边)为五八
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七七九第一率也(内/)半边之数六为二率(外/)半弧之馀
弦八○九○二为三率(内/)算得八又四之一不尽(外/)为
五边底形从心所出之中垂线又正弦(内/)与半边(外/)若
全数(内/)与半径(外/)得一十又五之一强(形外圈/之半径)两数并
得一十八又二十之九强为五边形之中长线
次以面形之中长线底形之中长线及一棱之度三线
相遇成一三角形(平分全体所/分之两面)有三边之数求中长线
得一十六又半不尽为所求元体之正高
底之周六十半之得三十以中垂线乘之得五七二又
弦八○九○二为三率(内/)算得八又四之一不尽(外/)为
五边底形从心所出之中垂线又正弦(内/)与半边(外/)若
全数(内/)与半径(外/)得一十又五之一强(形外圈/之半径)两数并
得一十八又二十之九强为五边形之中长线
次以面形之中长线底形之中长线及一棱之度三线
相遇成一三角形(平分全体所/分之两面)有三边之数求中长线
得一十六又半不尽为所求元体之正高
底之周六十半之得三十以中垂线乘之得五七二又
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十三之四为底积以正高乘之得九四三八三而一为
元体之容得三一四六也
若棱之度长短不等则用最长之棱及其对面之中长
线求体之正高
论曰角体为立面体三之一者何也如正立方体自上
而下对角平分之为两堑堵每一堑堵得正立方二之
一又于堑堵之两方面自上而下对角平分之成大小
二分大者为阳马得堑堵三之二小者为鳖臑得堑堵
元体之容得三一四六也
若棱之度长短不等则用最长之棱及其对面之中长
线求体之正高
论曰角体为立面体三之一者何也如正立方体自上
而下对角平分之为两堑堵每一堑堵得正立方二之
一又于堑堵之两方面自上而下对角平分之成大小
二分大者为阳马得堑堵三之二小者为鳖臑得堑堵
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三之一则一正立方分之为堑堵得二阳马则三鳖臑
则六角体者阳马也故得立面体三之一也(说见九/章算)
又外切圈之半径为句棱数为弦用句股法求股即元
体之正高(此法甚简易但须各棱/俱等乃可非公法也)
截圆角体法有五从其轴平分直截之所截两平面为
三角形一也横截之与底平行截面为平圆形二也斜
截之与边平行截面为圭窦形(顶不锐近底之/两腰稍平行)三也直
则六角体者阳马也故得立面体三之一也(说见九/章算)
又外切圈之半径为句棱数为弦用句股法求股即元
体之正高(此法甚简易但须各棱/俱等乃可非公法也)
截圆角体法有五从其轴平分直截之所截两平面为
三角形一也横截之与底平行截面为平圆形二也斜
截之与边平行截面为圭窦形(顶不锐近底之/两腰稍平行)三也直
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截之与轴平行截面为陶邱形(顶曲渐下渐直/底两旁为锐角)四也无
平行任斜截之截面为撱圆形五也内第一第二第五
(有/本)论第三第四其面皆为一直线一曲
线两界之面所截体之一分皆为两平
面一曲面三界之体亚奇默德备论其
量法然非测量所必须又各截面皆有
底有轴(即中/长线)有曲线若转轴环行即径
线为平底界曲线为曲面界生二界之
体其边名曰平曲之边平曲者从曲顶
平行任斜截之截面为撱圆形五也内第一第二第五
(有/本)论第三第四其面皆为一直线一曲
线两界之面所截体之一分皆为两平
面一曲面三界之体亚奇默德备论其
量法然非测量所必须又各截面皆有
底有轴(即中/长线)有曲线若转轴环行即径
线为平底界曲线为曲面界生二界之
体其边名曰平曲之边平曲者从曲顶
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而下渐趋平也若以此体为空体则皆造作燧鉴之法
以其浅深为光心之远近亦非测天所用未及详焉
第三名斗体古名方窖圆窖等其上下两面不等而相似
盖角体之截分也引长其棱即相遇而成全角之体(凡/置)
(斗体大面居下本角体之截分角体/欲自立底必在下也其置截分亦然)
法曰若知本角体之高即先求本
角体之容后求所阙截分之容相
减馀为元体之容假如斗体之底
长方一边得八一边得九则其积
以其浅深为光心之远近亦非测天所用未及详焉
第三名斗体古名方窖圆窖等其上下两面不等而相似
盖角体之截分也引长其棱即相遇而成全角之体(凡/置)
(斗体大面居下本角体之截分角体/欲自立底必在下也其置截分亦然)
法曰若知本角体之高即先求本
角体之容后求所阙截分之容相
减馀为元体之容假如斗体之底
长方一边得八一边得九则其积
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七十二以全高二十四乘之得一七二八以三为法而
一得五七六全角体之容也次置斗体上面之一边四
一边四又半其积十八(即阙分/之底)以阙分之高十二乘之
得二一六以三为法而一得七二阙分之容也以减全
角体其较五○四斗体之容也
若不知全角体之高则截体分求之
法曰如甲乙丙丁斗体之大面也边
各二十四戊已庚辛小面也边各一
十八用垂线截斗体从戊已边向下
一得五七六全角体之容也次置斗体上面之一边四
一边四又半其积十八(即阙分/之底)以阙分之高十二乘之
得二一六以三为法而一得七二阙分之容也以减全
角体其较五○四斗体之容也
若不知全角体之高则截体分求之
法曰如甲乙丙丁斗体之大面也边
各二十四戊已庚辛小面也边各一
十八用垂线截斗体从戊已边向下
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至午未底分元体为二从辛庚边向下至申酉底从庚
已至戍亥从辛戊至子丑皆如之分元体为九一居中
成立面体四边四体为堑堵(正二面一立一斜/侧二面为句股)四隅四
体为阳马(即角体亦/名方锥)各以本法求其容并为斗体之容
(堑堵以高乘底积二而一/阳马以高乘底积三而一)
立面体上下两面等各边十八其积为三
二四以高十五乘之得四八六○
堑堵(一名句/股体)其底长方辛子三(两面之较/六折半得)
(三/)辛庚为十八乘得五十四为底积以正高乘之得八
已至戍亥从辛戊至子丑皆如之分元体为九一居中
成立面体四边四体为堑堵(正二面一立一斜/侧二面为句股)四隅四
体为阳马(即角体亦/名方锥)各以本法求其容并为斗体之容
(堑堵以高乘底积二而一/阳马以高乘底积三而一)
立面体上下两面等各边十八其积为三
二四以高十五乘之得四八六○
堑堵(一名句/股体)其底长方辛子三(两面之较/六折半得)
(三/)辛庚为十八乘得五十四为底积以正高乘之得八
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一二为法而一得四○五四倍之得一
六二○(四边四/体故)阳马其底各三其积九
以正高乘之得一三五以三为法而一
得五四四倍之得一八○
若斗面为多边形而无法或其棱不等亦用次法从上
六二○(四边四/体故)阳马其底各三其积九
以正高乘之得一三五以三为法而一
得五四四倍之得一八○
若斗面为多边形而无法或其棱不等亦用次法从上
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边向下截成众体如图甲皆为堑堵
乙皆为阳马其中间无法之形则以
形为底分之中作一立面体馀为四
三边形各形有棱有高可知其容又
公法(上二法遇/圆体而穷)设上下面之边与正高与两面之积法
曰上下两面积各开方两根相乘得数并入两面积以
正高乘之得数三而一为斗体之容如斗体各率同前
下面各边二四其积为五七六上面之各边一八其积
为三二四两根相乘得四三二与前两积并以高一五
乙皆为阳马其中间无法之形则以
形为底分之中作一立面体馀为四
三边形各形有棱有高可知其容又
公法(上二法遇/圆体而穷)设上下面之边与正高与两面之积法
曰上下两面积各开方两根相乘得数并入两面积以
正高乘之得数三而一为斗体之容如斗体各率同前
下面各边二四其积为五七六上面之各边一八其积
为三二四两根相乘得四三二与前两积并以高一五
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乘之得一九九八○以三除之得六六六○斗体之容
也
又便法(小差而/不远)并两面之边半之自乘得数以高乘之
得斗之容如前数上面边一八下面边二四并得四二
半之得二一自之得四四一以高一五乘之得六六一
五比前少四五其差为一四七之一耳
凡有法之体五其面其棱皆等其大小相容相抱与球相
似(几何十一十二十二十四卷极/论此理今稍引用为比例之法)
也
又便法(小差而/不远)并两面之边半之自乘得数以高乘之
得斗之容如前数上面边一八下面边二四并得四二
半之得二一自之得四四一以高一五乘之得六六一
五比前少四五其差为一四七之一耳
凡有法之体五其面其棱皆等其大小相容相抱与球相
似(几何十一十二十二十四卷极/论此理今稍引用为比例之法)
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一曰四面体各面为三边等形用坚楮依图裁而合之
成一全体有六棱四隅
设各边一百因前法求
其容为一一七四七二
半 此下五则皆名法体求容凡同类之体皆依此为
例以显推隐故下文称例体例边
二曰六面体立方也各面各棱等有十二棱八隅其面
为正方形设各边一百
因前法求其容为十万
成一全体有六棱四隅
设各边一百因前法求
其容为一一七四七二
半 此下五则皆名法体求容凡同类之体皆依此为
例以显推隐故下文称例体例边
二曰六面体立方也各面各棱等有十二棱八隅其面
为正方形设各边一百
因前法求其容为十万
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三曰八面等之体各面为三边等形有十二棱六隅各
边设一百因几何求其
容为四七一四二五有
奇
四曰十二面等之体各面为五边等形有三十棱二十
隅边设一百其容为七
六八六三八九
五曰二十面等之体各面为三边等形有三十棱十二
边设一百因几何求其
容为四七一四二五有
奇
四曰十二面等之体各面为五边等形有三十棱二十
隅边设一百其容为七
六八六三八九
五曰二十面等之体各面为三边等形有三十棱十二
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隅边设一百其
容为五二三八
○九
依几何之说得一体之容可推同类(同类者同若/干面数也)万体
之容盖同类两体之容之比例与两体边上立方之比
例等
假如置四面两体大者边设一百小者边设五十两数
各再自之得一百万与一二五○○○此两数为两体
之容之比例而以大不等为一百万之一二五○○○
容为五二三八
○九
依几何之说得一体之容可推同类(同类者同若/干面数也)万体
之容盖同类两体之容之比例与两体边上立方之比
例等
假如置四面两体大者边设一百小者边设五十两数
各再自之得一百万与一二五○○○此两数为两体
之容之比例而以大不等为一百万之一二五○○○
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约为八之一用三率法则命分数为一率得分数为三
率前所立例体之容为二率得四率为所求他体之
容
如前数欲知五十边上小体之容以例体大边上立方
一百万为一率以所求小体边上立方为二率以大体
之容为三率用法得一四六八四又四之一为小体之
容(第三率大体之容于前法体求/容五例内简其同类者即用之)
一率 一百万
二率 一二五○○
率前所立例体之容为二率得四率为所求他体之
容
如前数欲知五十边上小体之容以例体大边上立方
一百万为一率以所求小体边上立方为二率以大体
之容为三率用法得一四六八四又四之一为小体之
容(第三率大体之容于前法体求/容五例内简其同类者即用之)
一率 一百万
二率 一二五○○
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三率 一七七四七二半为前例所立大体之容
四率得一四六八四又四之一为所求小体之容
又欲知十二面体之容各边二五法以同类之例体边
再自之得一百万所设体之边亦再自之得一五六二
五如前推之
一率 一百万
二率 一五六二五
三率 七六八六三八九为前例所立十二面体之容
四率 得一二○○九九为所求十二面体之容
四率得一四六八四又四之一为所求小体之容
又欲知十二面体之容各边二五法以同类之例体边
再自之得一百万所设体之边亦再自之得一五六二
五如前推之
一率 一百万
二率 一五六二五
三率 七六八六三八九为前例所立十二面体之容
四率 得一二○○九九为所求十二面体之容
卷九十二 第 15a 页 WYG0789-0382c.png
又设一体之容欲知其边若干因此容与他容若此边
上立方与他边上立方其法以例体之容为一率设体
之容为二率例体边上之立方数为三率得设体边上
之立方为四率开方得根即所求边也如有一四六八
四又四之一为今设四面等之容求其边若干查前例
其同类之体边一百其容一一七四七二又半依三率
法得立方根为五十即所求设体边数
一率 一一七四七二半(例容/)
二率 一四六八四又四之一(设容/)
上立方与他边上立方其法以例体之容为一率设体
之容为二率例体边上之立方数为三率得设体边上
之立方为四率开方得根即所求边也如有一四六八
四又四之一为今设四面等之容求其边若干查前例
其同类之体边一百其容一一七四七二又半依三率
法得立方根为五十即所求设体边数
一率 一一七四七二半(例容/)
二率 一四六八四又四之一(设容/)
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三率 一百万(例边/)
四率得一二五○○○为所求边上立方开得五十
为所求设体之边
量圆球之容
圆球之全体见亚奇默德圆球圆柱书并见几何一
十四卷兹借数题明之
第一题
球上大平圜之积为本球圜面积四之一(此亚奇默德之/一卷三十一题)
(也大平圜者从大圈过心剖球体为二所分两/平面是也圜面积者全球大曲面之平积也)
四率得一二五○○○为所求边上立方开得五十
为所求设体之边
量圆球之容
圆球之全体见亚奇默德圆球圆柱书并见几何一
十四卷兹借数题明之
第一题
球上大平圜之积为本球圜面积四之一(此亚奇默德之/一卷三十一题)
(也大平圜者从大圈过心剖球体为二所分两/平面是也圜面积者全球大曲面之平积也)
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系 凡周乘径生球圆面之积亦生大平圜积之四倍
大圜周线上方形与球圆面之比例若大圜之周线与
其径 解曰如图甲乙丙丁球上之大平圜也甲丙其
径(与球/径等)己辛与圜之周线等上成己壬方形形之庚辛
与甲丙径等而己壬方形外复成庚戊方形题言己庚
矩形为大平圜之四倍壬戊矩形与
庚己矩形等盖壬辛己辛同为矩方
形之一边戊辛辛庚亦同为矩方形
之一边则两矩方形必等夫己壬周
大圜周线上方形与球圆面之比例若大圜之周线与
其径 解曰如图甲乙丙丁球上之大平圜也甲丙其
径(与球/径等)己辛与圜之周线等上成己壬方形形之庚辛
与甲丙径等而己壬方形外复成庚戊方形题言己庚
矩形为大平圜之四倍壬戊矩形与
庚己矩形等盖壬辛己辛同为矩方
形之一边戊辛辛庚亦同为矩方形
之一边则两矩方形必等夫己壬周
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线上之方形也壬戊为大平圜之四倍而与球之圆面
等则其比例如己辛与辛戊矣(五卷二周与径比例之/数为二二三之七一或)
(二十二/之七)又大圜径上方形与球之圆面若圜之径与其
周盖己庚矩方形与球之圆面等庚戊为径上之方形
则两形之比例必若己辛周与辛戊径矣
二系 球径上方形与球之圆面为一与三又七一之
十或一与三又七之一
第二题
径三之二乘大平圜之积生球容之数(亚奇默德之一/卷三十二题)
等则其比例如己辛与辛戊矣(五卷二周与径比例之/数为二二三之七一或)
(二十二/之七)又大圜径上方形与球之圆面若圜之径与其
周盖己庚矩方形与球之圆面等庚戊为径上之方形
则两形之比例必若己辛周与辛戊径矣
二系 球径上方形与球之圆面为一与三又七一之
十或一与三又七之一
第二题
径三之二乘大平圜之积生球容之数(亚奇默德之一/卷三十二题)
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解曰设大平圜之周一(凡大测当以全数为母则易推/故设周为一自之再自之恒为)
(一/)其大径为二二三之七一其半为四四六之七一以
半周二之一乘之得八九二之七一此大平圜之盈积
也又以六六九之一四二(此大径三/分之二)乘之约之为二九
八三七四之五○四一得球容之数
又大平圜之周再自之恒为一知大圜周上立方与球
容之比例何者全数为母(即一几何谓/之命分数)是周上之立方
也子数(几何之/得分数)为球容则球容与大圜周上立方之比
例若五○四一与二九八三七四而盈用小径之数得
(一/)其大径为二二三之七一其半为四四六之七一以
半周二之一乘之得八九二之七一此大平圜之盈积
也又以六六九之一四二(此大径三/分之二)乘之约之为二九
八三七四之五○四一得球容之数
又大平圜之周再自之恒为一知大圜周上立方与球
容之比例何者全数为母(即一几何谓/之命分数)是周上之立方
也子数(几何之/得分数)为球容则球容与大圜周上立方之比
例若五○四一与二九八三七四而盈用小径之数得
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四九与二九○四
又球径上立方与球容之比例若二十一与一十一而
盈若四二六与二二三而朒法置球径一大平圜之大
积为十四分径上方之十一以径三之二乘之得四十
二之二十二约之得二十一之十一为球之容
又球径上立方为一则其与球容之比例为二十一与
十一而盈或用朒法则大平圜之小积得四二六与二
二三亦径上立方与球容之比例也(右径上立方与/球容之比例)
因前论置球之径 一求球之圜面以二十二乘径数
又球径上立方与球容之比例若二十一与一十一而
盈若四二六与二二三而朒法置球径一大平圜之大
积为十四分径上方之十一以径三之二乘之得四十
二之二十二约之得二十一之十一为球之容
又球径上立方为一则其与球容之比例为二十一与
十一而盈或用朒法则大平圜之小积得四二六与二
二三亦径上立方与球容之比例也(右径上立方与/球容之比例)
因前论置球之径 一求球之圜面以二十二乘径数
卷九十二 第 18a 页 WYG0789-0384a.png
以七除之以所得之径乘之得圆面之积(用二十二与/七而盈用二)
(二三与七/十一则朒) 一求球之容以二十二乘径以七除之得
数以径三之二乘之得球之容(右以径求圜面/积及球之容)
又径上立方与球之容若二一与一一而盈若四二六
与二二三则朒 置大圜之周大圜周上之立方与球
容若二九八三七四与五○四一而盈若二九四与四
九则朒 置径置球之圆面相乘六而一
置径(四之一乘圆面三之二/三之一乘圆面二之一) 乘大圜之积三而二
或径乘积三分之二 或径三分之二乘积俱得球之
(二三与七/十一则朒) 一求球之容以二十二乘径以七除之得
数以径三之二乘之得球之容(右以径求圜面/积及球之容)
又径上立方与球之容若二一与一一而盈若四二六
与二二三则朒 置大圜之周大圜周上之立方与球
容若二九八三七四与五○四一而盈若二九四与四
九则朒 置径置球之圆面相乘六而一
置径(四之一乘圆面三之二/三之一乘圆面二之一) 乘大圜之积三而二
或径乘积三分之二 或径三分之二乘积俱得球之
卷九十二 第 18b 页 WYG0789-0384b.png
容
或半径乘大圜积三分之二所得为球容之半 或大
圜半积乘径三分之二所得亦半
量球一分之曲面
凡截球面过心其一分为全球之若干量法与全球无
异(或半球或四之一/或五之一俱同法) 若截球面不
过心为直面而曲面界为球上之圈
则借天球之界以明之
解曰甲丁己辛为子午圈甲比己南
或半径乘大圜积三分之二所得为球容之半 或大
圜半积乘径三分之二所得亦半
量球一分之曲面
凡截球面过心其一分为全球之若干量法与全球无
异(或半球或四之一/或五之一俱同法) 若截球面不
过心为直面而曲面界为球上之圈
则借天球之界以明之
解曰甲丁己辛为子午圈甲比己南
卷九十二 第 19a 页 WYG0789-0385a.png
丁辛为夏至之圈从夏至圈截之甲至丁
作直线用此线为半径作甲丁别圈亚奇
默德之一卷四十题曰甲丁别圈之积与
丁甲辛球分之曲面等又从巳至丁作直
线为他圈之半径其圈之积亦与丁己辛
球分之曲面等若曲面非全球之若干
分则为无法之形
量球一分之容
取球之一分截面过心其曲面之界为圈亚奇默德曰
作直线用此线为半径作甲丁别圈亚奇
默德之一卷四十题曰甲丁别圈之积与
丁甲辛球分之曲面等又从巳至丁作直
线为他圈之半径其圈之积亦与丁己辛
球分之曲面等若曲面非全球之若干
分则为无法之形
量球一分之容
取球之一分截面过心其曲面之界为圈亚奇默德曰
卷九十二 第 19b 页 WYG0789-0385b.png
想圆角体其底之圈几何与所截凸面之一分等其高
为球之半径此体之容与今所解之球分等
如甲丁己辛球丁甲辛庚为截分丁甲辛
为凸面丁庚辛庚截面过心则先求丁甲
半径倍之以二二乘之以七除之所得之
半以半径乘之为凸面之积次以甲庚半径乘之三而
一为丁甲辛庚球分之容
若截为直面不过心如甲丁辛之一分而求其容则先
求甲丁辛凸面之积以径乘之六而一为丁甲辛庚体
为球之半径此体之容与今所解之球分等
如甲丁己辛球丁甲辛庚为截分丁甲辛
为凸面丁庚辛庚截面过心则先求丁甲
半径倍之以二二乘之以七除之所得之
半以半径乘之为凸面之积次以甲庚半径乘之三而
一为丁甲辛庚球分之容
若截为直面不过心如甲丁辛之一分而求其容则先
求甲丁辛凸面之积以径乘之六而一为丁甲辛庚体
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之容次丁辛截面至心则想丁辛庚圆角体求其容以
减丁甲辛庚体之容馀为丁甲辛球分之容
量撱圆体之容
撱圆亦有法之体也又次于圆球其为体则长圆形
之长径为轴旋转所生如一点直行生线一线横行
生面一面上行生体平圆面以径为轴转轴环行是
生圆球长圆面则有二径一长一短以长径为轴转
轴环行是生撱圆之体以短径为轴转轴环行是生
扁圆之体撱圆之体或名为卵体非也凡乌卵一端
减丁甲辛庚体之容馀为丁甲辛球分之容
量撱圆体之容
撱圆亦有法之体也又次于圆球其为体则长圆形
之长径为轴旋转所生如一点直行生线一线横行
生面一面上行生体平圆面以径为轴转轴环行是
生圆球长圆面则有二径一长一短以长径为轴转
轴环行是生撱圆之体以短径为轴转轴环行是生
扁圆之体撱圆之体或名为卵体非也凡乌卵一端
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大一端小是为无法之体撱圆体则两端等亚奇默
德之第一卷备解此体及分角体之理今略述之
凡截圆球生两圆面成两圈若平分之即过心过心之
截分恒相等若撱圆体从小径横截之生两平圆面因
小径过心故若从其长径直截之生两长圆面即元体
之长圆也若横截与小径平行亦成平圆面若斜截之
则其面皆不等皆成长圆形
凡圆角体其底之径为撱圆体之小径其高半长径则其
体之容为撱圆体四之一
德之第一卷备解此体及分角体之理今略述之
凡截圆球生两圆面成两圈若平分之即过心过心之
截分恒相等若撱圆体从小径横截之生两平圆面因
小径过心故若从其长径直截之生两长圆面即元体
之长圆也若横截与小径平行亦成平圆面若斜截之
则其面皆不等皆成长圆形
凡圆角体其底之径为撱圆体之小径其高半长径则其
体之容为撱圆体四之一
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如甲乙为长径丙丁为小径
即丙戊丁甲半撱圆体倍大
于甲丙丁角体
解曰小径以二十二乘之七而一小径之周也得数以
乘小径四而一小径之平圆面积也得数以乘半长径
圆柱之容也三而一角体之容也得数四之撱圆半体
之容也
若截面与小径平行如庚己
壬求撱圆分体如庚甲壬之
即丙戊丁甲半撱圆体倍大
于甲丙丁角体
解曰小径以二十二乘之七而一小径之周也得数以
乘小径四而一小径之平圆面积也得数以乘半长径
圆柱之容也三而一角体之容也得数四之撱圆半体
之容也
若截面与小径平行如庚己
壬求撱圆分体如庚甲壬之
卷九十二 第 21b 页 WYG0789-0386b.png
容默德法曰先求庚壬甲角体之容次用三率法己乙
(大分之/轴线)与戊乙(半长/径线)甲己(小分之/轴线)并若角体甲庚壬之
容与撱圆小分庚己壬甲之容
若求大分之容先求角体庚
壬乙之容次用三率法甲己
(小分之/轴线)与甲乙(长/径)戊乙(半长/径)
并若角体庚壬乙之容与撱圆大分庚己壬乙之容
量无法之体
解曰以锡为正方椟各边一尺或五寸若用木则以三
(大分之/轴线)与戊乙(半长/径线)甲己(小分之/轴线)并若角体甲庚壬之
容与撱圆小分庚己壬甲之容
若求大分之容先求角体庚
壬乙之容次用三率法甲己
(小分之/轴线)与甲乙(长/径)戊乙(半长/径)
并若角体庚壬乙之容与撱圆大分庚己壬乙之容
量无法之体
解曰以锡为正方椟各边一尺或五寸若用木则以三
卷九十二 第 22a 页 WYG0789-0386c.png
和灰涂其罅令不漏实之以水投所
量物其中则水溢取出物量水减几
何得物之容如减一寸而椟边设一
尺则得一百寸为物之容盖各边一
尺上面积为一百寸水减一寸则为
一百寸若水减不及寸或过焉则量若干分以面积乘
之得物之容
量物其中则水溢取出物量水减几
何得物之容如减一寸而椟边设一
尺则得一百寸为物之容盖各边一
尺上面积为一百寸水减一寸则为
一百寸若水减不及寸或过焉则量若干分以面积乘
之得物之容
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卷九十二 第 23a 页 WYG0789-0387a.png
新法算书卷九十二