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欽定四庫全書
厯算全書卷四十四
宣城梅文鼎撰
方程論卷五
測量
測量非方程事也方程者算術算術恃計測量恃目實
惟兩途測量之不能兼算術猶算術之不能兼測量雖曰能兼非其粹矣今略具其所兼其不能兼者有句股諸法在
測量在方程有二
一曰隂雲測量
隂雲者不見宿度而雲影微薄之處猶能見五緯若見二星則有其相距之度而可以方程取之矣
一曰宿度測量
宿度者雖無隂翳而無儀器故借宿距一定之度以取之必有二星同見或星與太隂同見則成方程之算矣
隂雲測法
假如隂雲不見宿次但於雲隙測得辰星在太白後一
度又二日熒惑與二星同在一度又二日太白在熒惑前三度而辰星雲翳又一日辰星在房初度餘不可見又十二日熒惑始至房初問各行率若干
畣曰辰星每日行二度太白每日行一度有半
熒惑每日行半度
解曰此辰星行二日太白亦二日而辰星多一度
熒惑與太白同行三日而太白多三度辰星行四日熒惑十六日而行度相當也
法曰以較數列位
依省算以左行半之與右相減辰星同減盡太白二日(右負)熒惑八日(左負)皆無減分正負(同名在隔行即異名也)正一
度亦無減(與熒惑同名)
重列減餘與中行
依省算以左行減三之一乃對減太白同減盡
熒惑同減餘六日為法行度異併三度為實法除實得半度為熒惑每日行率以右減餘八日乗之得四度同減負一度餘三度以太白二日除之得一度半為太白日行率以右行太白二日行三度異加正一度共四度以辰星二日除之得二度為辰星每日行率
假如測得辰星在金星後二度隂雲不知宿次但於四
日後見二星同行在一度亦未知宿次又三日辰星行至房初度而金星雲翳至第四日金星亦至房初而水星未見問兩星每日行率若干
解曰此兩星各行四日而辰星多二度辰星行三日金星行四日而其度相當
法以較數列位
二色者有一色偶同依省算徑以對減金星同減盡辰星同減餘一日為法正二度無減為實
法一省除徑以二度為辰星每日行率以辰星三日行六度金星四日除之得每日行一度半
若欲知前兩測某宿度者以金星四日行六度為二星
同度距房初之數又加金星同行四日六度共十二度為前測金星距房之度又加辰星在金星後二度為辰星前測距房之度各以距度與房初度相求得前兩測星躔宿度
如順行者前所測之宿在房後也氐宿亢宿也各置距度以氐宿亢宿度迭減之不盡者以轉減前宿之度得星所在宿度如逆行者前所測之度在房前也心宿尾宿也各置距度以房度心度逓減之減不及者即命為後宿星所在之度
假如甲子日金星夕見乙丑日水星夕見至丁卯日水
星行及金星但不及半度至戊辰日二星同度皆以陰晦不能細知宿次問各率若干
解曰此金星行四日水星三日相當
金星行三日水星二日則水星不及半度
法以較數列位
依省算左行二分加一水同減盡金同減餘半日為法空度七分半為實法除實得金星日行一度半金三日行四度半同減負半度餘四度以水星二日除之得日行二度
假如廣福二船哨海福船先發行五日廣船行三日遇
於中途其汎地相距二千五百里遂又同往一島廣船行四日先至候六日福船始至問各船每日行率解曰此廣船疾福船遲也廣船三日福船五日共行水面二千五百里廣船四日福船十日而水程相當
畣曰廣船日行五百里
福船日行二百里
法以一和一較列位
如法遍乗廣船同減盡福船異併五十日為法正一萬里無減為實法除實得二百里為福船
毎日行率福船十日行二千里以廣船四日除之得五百里為廣船每日行率
又如自東徂西共二千里先乗車行五日換舟行八日
至其國其舟與車復同往一處車先行六日舟乃發行四日逐及問舟車行率
畣曰舟每日二百里車每日八十里
解曰舟疾車遲舟八日車五日共行二千里舟四日車十日行適相當
依省算半右行數舟同減盡車異併十二日半為法正一千里無減為實法除實得八十里為車率以舟四日除車十日所行八百里得二百里為舟行率
假如甲乙二船哨海同泊一山同用正卯酉字風東行
但甲船先發解䌫七日乙船後行解䌫五日追及於一島又自此島用正子午字風南行但甲又先發解䌫九日泊於南洋乙後發解䌫七日泊於又南洋其二洋相距二百里問道里各數
法以較數列位
甲船同減盡乙船餘四日為法負一千四百里為實法除實得三百五十里為乙船每日率以甲船七日除乙船五日所行一千七百五十里得二百五十里為甲船率其一千七百五十里即山島相去之程以甲船九日行二千二百五十里為島去南洋之程又加二百里為又南洋之程合問
計開
甲船每日行二百五十里
乙船毎日行三百五十里
山島之距一千七百五十里
島距南洋二千二百五十里
距又南洋二千四百五十里
自山至又南洋共水程四千二百里
又假如二人同往西番公幹一人車一人騎車自某山
西行九日騎自某河西行十日及之於一城其河在山之東相距三百里又自此城西行八日騎先至一國駐劄候一日車至問道里各如干
法以較數列位
如法徑減餘騎二日為法三百里為實法除實得一百五十里為騎行率併騎前後共十八日行二千七百里為所駐西國距河之程騎所行也
減河距山三百里餘二千四百里為西國距山之程車所行也併前後車行十八日除之得一百三十三里又三分里之一(即一百二十步也)為車行每日里率
用車行里率乗九日得一千二百為城距山之程
以減總距餘亦一千二百里為西國距城之程
計開
騎日行一百五十里前後共行二千七百里
車日行一百三十三里又三分里之一前後共行一千四百里
城距山一千二百里距河一千五百里
國距城一千二百里距山二千四百里距河二千七百里
此上數則近事易知用明測量之理
宿度測法
凡測量之法有測器又有水漏則雖陰雲可以所見者
得其度若但有測器而無水漏可以所見兩星之距度取之如前所列隂雲不知宿度之法是也乃又無測器而但據目見則當以宿度取之盖宿有一定之度借以為兩星之和度較度因所知以求不知此則方程之法可為測量者助也至於諸星行率古今厯術不同學者通其意無拘其數焉其可
若一星單行非儀器比量莫知其遲疾之度然晴雨難
期則亦有因所見以測所不見之時故算術不可廢也
五星錯行多有相遇則和度較度可施若太隂毎月經
行廿八宿一次與五星相遇亦每月有之精於推步者雖非假此定星然用與厯術相參有不藉儀器而知遲疾使看者引騐見効亦算家之樂也
其五星各有遲疾留逆故測量比例當於相近日數内
求之則所差亦不多也
其遲疾變行須查七政厯以約其日則一星單行亦自
可考其進退之數
兩星相較例
假如兩宿原有定距(如房距心)若干度有一緯星在其間(如金在房心間)以旁星記之越若干日緯星行至東宿(如心)又别一緯星(如火星)在西宿(如房)越若干日行至先所記旁星之處
此因無儀細測故借宿度用之如上所舉乃以宿距為二星和度也一緯星若干日(如金)一緯星若干日(如火)共行天若干度(如房度)故曰和度
又如以一宿為主(如心)有緯星在其西(如木)以旁星記之越
若干日緯星行過宿東至後一宿(如尾)又或異日别
一緯星(如土)亦在前記緯星處所越若干日行至所借為主之宿(如心)
此則以宿距為二星較度也一緯星若干日(如木)一緯星若干日(如土)相差若干度也(如心度)故曰較度
凡此皆可以方程御之
若得兩較度或兩和度或一和一較即二色方程術也若三星四星以上各得三兩宗測數以三色四色等方程求之無不可見
如木星在一宿之西(如井鬼之間)越若干日行至其宿(如鬼)火
星原在木星之西越若干日行至木星原處金星又在火星之西而恰當西宿(如井)越若干日行至火星原處又若干日亦至木星原處
此亦借宿度為用而中有二和一較如云金星若干日火星若干日木星若干日共行若干度也(如井度)又金星若干日木星若干日共行若干(亦用井度)此二者和度也又金星若干日火星若干日而其行適等(用火星至木星元處之日及金星自火星元處至木星元處之日)此則較度也(適足即較數也度無較其日則有較)
又如火星在房宿之西越若干日行過房抵心宿而木
星自火星元處越若干日至房宿又有金星或先或後亦自火星元處越若干日行至房又若干日逐及木星於房心之間
此以宿距為較度者三如云以火星若干日較木星若干日而火星之行多一房度也以火星若干日較金星若干日而火星亦多一房度以金星若干日較木星若干日而行度相等(用兩星逐及於房心之間日數)
此上二則以三色取之凡所測不必兩星同在一度
但欲有旁星可記異日有他星復至所記旁星之處即成同度之算右皆順行星例
又如一星順行自房行幾日一星逆行自心行幾日相
遇同度於房心間自此分行又幾日其逆行星至氐此用一較度一和度也順行星幾日逆行星幾日共行房宿度此為和度順行星幾日逆行星幾日而逆行星多一氐宿度此為較度(用逆行星相遇後至氐宿之日數)
又如一星自建星順行至幾日遇逆行星又幾日至牛
宿其逆行星自相遇處行幾日至建星又幾日至斗宿距星
此亦一和一較順行星幾日逆行星幾日而行度相當(用二星兩相遇處至建星之日數)此較度也順行星幾日逆行星幾日而共行斗宿度(用兩相遇後順行星至牛逆行星至斗之日數)此和度也
右逆行星例
問金火二星在房宿之西同度越九日金星行過房東
至一處有星可記又一日金星行至心宿又八日火星始至房又九日火星始至前所記金星之處其二星行度各若干
解曰此金星行九日火星廿七日而行度相等金星行十日火星十八日而金星多六度(房宿六度故也)
法以較數列位
依省算以右行加九之一乃對減餘火星一十二日為法六度無減為實法除實得半度為火星率以金九日除火廿七日行十三度半得一度有半為金星率
假如太隂自尾宿初度行三日遇木星於斗牛間又三
十日木星行至牛
此太隂三日木星三十日共行四十五度(借尾至牛之度約略其數後倣此)
木星自牛初行三十日與羅㬋遇於牛女間又一百二
十日羅㬋退至牛
此木星行三十日羅㬋一百二十日而度等(羅㬋計都月孛有數無形借顯逆行之用)
羅㬋自牛初退行一百日遇土星於箕斗間又五十日
土星行至牛
此羅㬋一百日土星五十日行度等
土星自牛初行三十日火星逐及遇於牛女間又三十
日火星行至虚此土星三十日水星三十日而共行十八度
火星自虚初行五十日水星逐及遇於危室間又十日
水星行至奎
此火星行五十日水星十日共行四十五度
水星自奎初行十五日逐及金星遇於昴畢間又十七
日金星行至畢
此水星十五日金星十七日共行五十五度半
金星自畢初行二十日遇計都於井鬼間又四十日計
都退至井此金星二十日計都四十日而金星多二十八日(借畢至井之距為兩星之較)
計都自井初逆行二十日遇月孛於參井間又十日月
孛行至井
此計都二十日月孛十日而行度等
月孛自井初行八十日太陰逐及遇於井鬼間又二日
太陰行至栁
此月孛八十日太隂二日共行三十四度
問各行率若干(凡此所設不必其同日在一度謂之相遇但與宿值或有星可記即如同度之理)如法列位(九色和較之雜)
因九色行中擠廹既多空位取出其行次相對者列而先乗此捷法也
先以甲壬太隂對減(兩行相對只三色餘俱兩空省不書俟重列時以次添入)
用省算法以甲行三之一壬行二之一列之(因甲行可三除壬行可二除而除之則太隂皆一日故除而列之)徑對減太隂盡餘木星十日(右)月孛四十日(左)減餘二度(左)分正負太隂減去尋原列中乙行有木星徑與減餘對列
用前法以左乙行三之一與減餘列之木星徑同減羅四十日(左負)孛四十日(右負)負二度(右負)皆無減(以隔行同名仍分正負)
木星減盡尋丙行有羅㬋徑與減餘重列
用前法以減餘二之一丙行五之一列之羅㬋同名徑減餘三位無減以隔行皆負分正負而孛與較同名
羅㬋減盡尋丁行有土星徑對餘數
和較列位
用前法以丁行三之一列之而命之為正土同減盡餘無減度異併七度皆左正右負復變和數土星減去尋戊行有火星徑對餘數
用前法以戊行五之一列之火徑減水(左)孛(右)無減分正負復為較餘二度(左)與水星同名
火星減盡尋已行有水星以對餘數(又因巳行不便省算改用辛行月孛相對)
用前法以減餘半而列之孛同減餘俱無減
隔行同名仍為較
月孛減盡尋庚行有計都以對餘數(水與較度皆右行負同名)
用前法以庚行半而列之
計同減水(右負)金(左負)無減仍為較
餘十三度(左負)與金同名
計都減盡尋巳行恰皆二色以相對
如法乗水同減盡金餘異倂一百六十七日為法度異併二百五十○半度為實法除實得每日一度半為金星率
以巳行金星十七日行二十五度半減共五十五度半餘三十度以水星十五日除之得每日二度為水星率
以戊行水星十日行二十度減共四十五度餘二十五度以火星五十日除之得毎日半度為火星率
以丁行火星三十日行十五度減共十八度餘三度以土星三十日除之得每日十分度之一為土星率
以丙行土星五十日行五度以羅㬋一百日除之得每日二十分度之一為羅㬋率
以乙行羅㬋一百二十日行六度以木星三十日除之得每日五分度之一為木星率
以甲行木星三十日行六度以減共四十五度餘三十九度以太隂三日除之得每日十三度為太陰率
再以庚行金星二十日行三十度同減去正二十八度餘二度以計都四十日除之得每日二十分度之一為計都率(與羅㬋同)
以辛行計都二十日行一度以月孛十日除之得每日十分度之一為月孛率
以壬行月孛八十日行八度減共三十四度餘二十六度太陰二日除之仍得毎日十三度為太陰率
論曰各星遲疾留逆每段不同然其各段中行率大約
相等故可以方程立算亦須稍查時厯以知其變
若太近留段行率甚微難見其在合伏左右行甚疾毎
日不同難與他星相較則以一星遲疾之較取之具如後例
一星遲疾相較例
凡木火土三星雖有遲疾之行大約皆在一度以下而
土木之變尤緩其數十日中行率僅差秒忽兩星相較之法頗可施用惟金水二星遲疾之差懸逺其疾也有在一度以上而水星有二度其遲也不及一度遲之甚則留故可以其遲疾而自相較也
假如金星疾段測得甲乙丙三日共行四度二十九分
己庚兩日共行二度有半問各日行率(此因前測以隂雲用儀得其度分而不知宿次故雖後測能知宿次而中數日不可知是惟方程能御之也)
法以和數列所測以較數列中日(因挨日進退故倍中日為前後兩日而命之適足盖已知測日同在一段故也)
如法互乗逓減餘庚廿七日為法三十三度廿一分為實法除實得一度廿三分為末日行率(庚)以庚日行率減共二度五十分餘一度廿七分為第六日行率(己)倍己日行率減去庚日行率餘一度三十一分為第五日行率(戊)倍戊日行率減去己日行率餘一度三十五分為第四日行率(丁)倍丁日行率減去戊日行率餘一度三十九分為第三日行率(丙)倍丙日行率減去丁日行率餘一度四十三分為次日行率(乙)倍乙日行率減去丙日行率餘一度四十七分為初日行率(甲)
累計甲乙丙日共四度廿九分己庚日共二度半合問或倍庚日行率共二度四十六分以減共二度半餘○度○四分為日差以日差累加庚日得各日行率
總論曰凡步五星既得其段日以為日率則以其盈縮
之厯加減星行而得其段所行之宿次以為度率以日率除度率而得其平行則又以初末日率相求使之陞降有等以為日差而加減之故日差者步五星之要事也
右例不拘日數但在遲疾本段則可用此法
亦不拘定是宿次所見或儀器所測但有兩宗宿度則其餘日皆可倍中日以較其前後兩日命為正負適足而求之何則其加減皆相挨而有序故知倍中日即同前後兩日也
假如金星晨疾測得甲日之寅距地平一度至丙日之
卯距地平三十度○七十五分至己日之卯距地平三十度問各日行率
解曰此是甲乙兩日共行二度二十五分丙丁戊三日共行三度七十五分也
法以丙日距三十度○七十五分減寅至卯差三十度餘○度七十五分與甲日距一度相減餘○度二十五分為金星疾行過平行一度之數加甲乙兩日太陽行二度是為兩日内金星行二度二十五分
又以己日距三十度與丙日距度相減餘○度七十五分為金星疾於平行之度加丙丁戊三日太陽行三度是為三日金星行三度七十五分
論曰此因隂雲不能細測每日之度故五日中僅有三
測也或雖無隂雲而儀器不具惟此三日有所當宿次可借以為行度之據則所得者皆為前兩日後三日之和度也
如法以兩和三較列位(因逓差補作三適足而列之)
如法乗減得丁三日為法共三度七十五分為實法除實得一度二十五分為丁日行率(此因末兩行減餘三色減去二色只一法一實故徑用以求也)
以丁減餘七日行八度七十五分同減負二度二十五分餘六度五十分以戊減餘五日除之得一度三十分為戊日行率(此用三四兩行減餘)
以丁戊兩日行率相減餘○度○五分為日差
以日差減丁日行率得丙日行率累減之得甲乙日行率
計開
甲日行一度十分
乙日行一度十五分
兩日共行二度二十五分
丙日行一度二十分
丁日行一度二十五分
戊日行一度三十分
三日共行三度七十五分合計之五日共行六度此六度者乃金星行於黄道之度寔數也寔數者以宿度徴之如甲日之晨在某宿某度至己日之晨已進六度也其距太陽之數則五日共差一度此一度者乃金星漸近太陽之距亦即漸近於地平之距也目所見也謂之視差則以儀器度而知之如甲日之卯距地平三十一度至己日之晨卯刻則距地平三十度為較前相近一度也今所測為甲日之寅寅與卯相差三十度故寅之星距地平一度者至卯則距三十一度也
其時刻以水漏或中星得之若寅正與卯初則只差十五度每刻則差三度太此以儀測星者所當知
論曰凡加減日差須明進退之理如戊日之行率多於
丁日則其疾為進也而先得末日則以日差累減之而得初日
若先得初日則當以日差累加之而得末日
如前一例庚日之率少於己日則其疾為退也而先得庚日則以日差累加之而得初日若先得甲日則當以日差減之而得末日
其遲段則皆反之如末日多於初日其遲為退也則減末加初
若初日多於末日其遲為進也則減初加末
論曰凡七政盈縮古今厯術綦詳所設立差平差之術
尤宻至於太隂遲疾時刻逈異授時立法以三百三十六限更非逓加挨減所能定惟五星既得段日定星其日差可以循次加減而方程測量之法可施也
又方程測量為草澤不能具儀器而偶有所見設此御
之使獨見者可以共曉若從事推步則有厯學諸書幸勿以管窺為誚
厯算全書卷四十四
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