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卷二十二 第 1a 页 WYG0788-0337a.png
钦定四库全书
新法算书卷二十二 明 徐光启等 撰
筹算
算数之学大者画野经天小者米盐凌杂凡有
形质有度数之物与事靡不藉为用焉且从事
此道者步步蹠实非如谈空说玄可欺人以口
舌明明布列非如握槊夺标可欺人以强力层
层积累非如繇旬刹那可欺人以荒诞也而为
术最繁不有简法济之即当年不能殚恶暇更
新法算书卷二十二 明 徐光启等 撰
筹算
算数之学大者画野经天小者米盐凌杂凡有
形质有度数之物与事靡不藉为用焉且从事
此道者步步蹠实非如谈空说玄可欺人以口
舌明明布列非如握槊夺标可欺人以强力层
层积累非如繇旬刹那可欺人以荒诞也而为
术最繁不有简法济之即当年不能殚恶暇更
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工他学哉敝国以书算其来远矣乃人之记函
弱而心力柔厌与昏每乘之多有畏难而中辍
者后贤别立巧法易之以筹余为译之简便数
倍以似好学者皆喜以为此术之津梁也遂梓
行之传不云不有博奕者乎为之犹贤乎已是
书稍贤于博奕然旅人入来未及他有论著以
此先之不亦末乎行复自哂曰小道可观聊为
之佐一筹而已崇祯戊辰暮春廿日罗雅谷识
造法
弱而心力柔厌与昏每乘之多有畏难而中辍
者后贤别立巧法易之以筹余为译之简便数
倍以似好学者皆喜以为此术之津梁也遂梓
行之传不云不有博奕者乎为之犹贤乎已是
书稍贤于博奕然旅人入来未及他有论著以
此先之不亦末乎行复自哂曰小道可观聊为
之佐一筹而已崇祯戊辰暮春廿日罗雅谷识
造法
卷二十二 第 2a 页 WYG0788-0338a.png
一造筹
或牙或骨或木或合楮俱可其形长方广为长六之一
厚约广五之一诸筹相准不得有短长广狭厚薄须平
正光洁便于画方书字凡筹数任意多寡总之五筹两
面可当一单数说见定数条十筹当十数十五筹当百
数二十筹当千数二十五筹当万数三十筹当十万数
约以众筹之厚为一筹之长便于作开方筹入匣也详
造匣条
二分方
或牙或骨或木或合楮俱可其形长方广为长六之一
厚约广五之一诸筹相准不得有短长广狭厚薄须平
正光洁便于画方书字凡筹数任意多寡总之五筹两
面可当一单数说见定数条十筹当十数十五筹当百
数二十筹当千数二十五筹当万数三十筹当十万数
约以众筹之厚为一筹之长便于作开方筹入匣也详
造匣条
二分方
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每筹横平分为九作九方筹筹相等横列之线线相直
方方相对
三分角
每方自左上至右下斜作一对角线则每方成直角三
边形二横列之则两筹对角
线又成一斜直线其两直角
三边形又合成一平行线方形
四定数
方方相对
三分角
每方自左上至右下斜作一对角线则每方成直角三
边形二横列之则两筹对角
线又成一斜直线其两直角
三边形又合成一平行线方形
四定数
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数自一至九并○共十位筹有二面五筹可满十数其
数以方数与筹上方数相乘每方之中既以对角线分
而为二即每方各成二位右位即零数左位即十数至
第九筹第九方九九相承得八十一而止
第一筹一面作零数九方对角线之上各画一圈一面
作一数九方对角线之上顺
书一二三四五六七八九数
第二筹一面作二数第一方线右书二第二方线右书
数以方数与筹上方数相乘每方之中既以对角线分
而为二即每方各成二位右位即零数左位即十数至
第九筹第九方九九相承得八十一而止
第一筹一面作零数九方对角线之上各画一圈一面
作一数九方对角线之上顺
书一二三四五六七八九数
第二筹一面作二数第一方线右书二第二方线右书
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四二筹二方二二如四也第
三方线右书六二筹三方二
三得六也后推此则第四方
线右书八第五方线右书○线左书一二筹五方二五
得十故左位一右位○以当零数也后推此则第六方
线右书二线左书一第七方线右书四线左书一第八
方线右书六线左书一第九方线右书八线左书一一
面作三数第一方线右书三第二方线右书六第三方
线右书九第四方线右书二线左书一第五方线右书
三方线右书六二筹三方二
三得六也后推此则第四方
线右书八第五方线右书○线左书一二筹五方二五
得十故左位一右位○以当零数也后推此则第六方
线右书二线左书一第七方线右书四线左书一第八
方线右书六线左书一第九方线右书八线左书一一
面作三数第一方线右书三第二方线右书六第三方
线右书九第四方线右书二线左书一第五方线右书
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五线左书一第六方线右书八线左书一第七方线右
书一线左书二第八方线右书四线左书二第九方线
右书七线左书二
第三筹一面作四数第一方线右书四第二方线右书
八第三方线右书二线左书
一第四方线右书六线左书
一第五方线右书○线左书
二第六方线右书四线左书二第七方线右书八线左
书二第八方线右书二线左书三第九方线右书六线
书一线左书二第八方线右书四线左书二第九方线
右书七线左书二
第三筹一面作四数第一方线右书四第二方线右书
八第三方线右书二线左书
一第四方线右书六线左书
一第五方线右书○线左书
二第六方线右书四线左书二第七方线右书八线左
书二第八方线右书二线左书三第九方线右书六线
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左书三一面作五数第一方线右书五第二方线右书
○线左书一第三方线右书五线左书一第四方线右
书○线左书二第五方线右书五线左书二第六方线
右书○线左书三第七方线右书五线左书三第八方
线右书○线左书四第九方线右书五线左书四
第四筹一面作六数第一方线右书六第二方线右书
二线左书一第三方线右书
八线左书一第四方线右书
四线左书二第五方线右书
○线左书一第三方线右书五线左书一第四方线右
书○线左书二第五方线右书五线左书二第六方线
右书○线左书三第七方线右书五线左书三第八方
线右书○线左书四第九方线右书五线左书四
第四筹一面作六数第一方线右书六第二方线右书
二线左书一第三方线右书
八线左书一第四方线右书
四线左书二第五方线右书
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○线左书三第六方线右书六线左书三第七方线右
书二线左书四第八方线右书八线左书四第九方线
右书四线左书五一面作七数第一方线右书七第二
方线右书四线左书一第三方线右书一线左书二第
四方线右书八线左书二第五方线右书五线左书三
第六方线右书二线左书四第七方线右书九线左书
四第八方线右书六线左书五第九方线右书三线左
书六
第五筹一面作八数第一方线右书八第二方线右书
书二线左书四第八方线右书八线左书四第九方线
右书四线左书五一面作七数第一方线右书七第二
方线右书四线左书一第三方线右书一线左书二第
四方线右书八线左书二第五方线右书五线左书三
第六方线右书二线左书四第七方线右书九线左书
四第八方线右书六线左书五第九方线右书三线左
书六
第五筹一面作八数第一方线右书八第二方线右书
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六线左书一第三方线右书
四线左书二第四方线右书
二线左书三第五方线右书
○线左书四第六方线右书八线左书四第七方线右
书六线左书五第八方线右书四线左书六第九方线
右书二线左书七一面作九数第一方线右书九第二
方线右书八线左书一第三方线右书七线左书二第
四方线右书六线左书三第五方线右书五线左书四
第六方线右书四线左书五第七方线右书三线左书
四线左书二第四方线右书
二线左书三第五方线右书
○线左书四第六方线右书八线左书四第七方线右
书六线左书五第八方线右书四线左书六第九方线
右书二线左书七一面作九数第一方线右书九第二
方线右书八线左书一第三方线右书七线左书二第
四方线右书六线左书三第五方线右书五线左书四
第六方线右书四线左书五第七方线右书三线左书
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六第八方线右书二线左书七第九方线右书一线左
书八
五定号
号者应于面之左右两旁厚处露出匣外者记本面数
目○至九共十号其旁狭难
书一二三四等字姑作横线
如○则无线一则一横线也
至五则结为一纵线以该之如五则一纵六则一纵一
横七则一纵二横也各书本面之右用时视其旁即可
书八
五定号
号者应于面之左右两旁厚处露出匣外者记本面数
目○至九共十号其旁狭难
书一二三四等字姑作横线
如○则无线一则一横线也
至五则结为一纵线以该之如五则一纵六则一纵一
横七则一纵二横也各书本面之右用时视其旁即可
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得之
六平立方筹
诸小筹之外别作一大筹长与诸筹等广约长六分之
二两面横分九方亦与诸筹
等其一面平方筹纵作二行
其右行九方书一至九之数
为平方根其左行九方亦如
小筹作对角线以平方根数
自乘之各书根数之左第一方线右书一第二方线右
六平立方筹
诸小筹之外别作一大筹长与诸筹等广约长六分之
二两面横分九方亦与诸筹
等其一面平方筹纵作二行
其右行九方书一至九之数
为平方根其左行九方亦如
小筹作对角线以平方根数
自乘之各书根数之左第一方线右书一第二方线右
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书四第三方线右书九第四方线右书六线左书一第
五方线右书五线左书二第六方线右书六线左书三
第七方线右书九线左书四第八方线右书四线左书
六第九方线右书一线左书八其一面立方筹纵作六
分右一分作一行九方书一至九之数为立方根中二
分作一行九方书一至九各自乘之数与平方筹同左
三分作一行九方每方止截左边三分之二亦如小筹
作对角线是每方分为直角三边形无法四边形各一
也而无法四边形之中暗具一直角方形在右一直角
五方线右书五线左书二第六方线右书六线左书三
第七方线右书九线左书四第八方线右书四线左书
六第九方线右书一线左书八其一面立方筹纵作六
分右一分作一行九方书一至九之数为立方根中二
分作一行九方书一至九各自乘之数与平方筹同左
三分作一行九方每方止截左边三分之二亦如小筹
作对角线是每方分为直角三边形无法四边形各一
也而无法四边形之中暗具一直角方形在右一直角
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三边形在左今止以左中右分之以中行自乘之数再
乘之各书方数之左名立方数第一方右书一第二方
右书八第三方右书七中书二第四方右书四中书六
第五方右书五中书二左书一第六方右书六中书一
左书二第七方右书三中书四左书三第八方右书二
中书一左书五第九方右书九中书二左书七
七造匣
匣合纸或木为之其形短方其空广如筹之长空厚如
筹之广匣有盖以筹长五分之三为匣之深其二为盖
乘之各书方数之左名立方数第一方右书一第二方
右书八第三方右书七中书二第四方右书四中书六
第五方右书五中书二左书一第六方右书六中书一
左书二第七方右书三中书四左书三第八方右书二
中书一左书五第九方右书九中书二左书七
七造匣
匣合纸或木为之其形短方其空广如筹之长空厚如
筹之广匣有盖以筹长五分之三为匣之深其二为盖
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之深使筹入匣而旁号露于匣口之上以便抽取也小
筹比立匣中方根筹侧于小筹之旁下切匣口上切盖
顶正相容也若盖之外径等于匣之外径则匣口必出
笋以入盖夫方根筹之广与匣之深并尚不及小筹之
长以其不及为笋之高则匣与盖外切筹与盖匣内切
矣若匣之外径等于盖之内径则匣自为笋盖冒之可
无庸笋也
赖用算法(凡三条/)
算家加减二法并命分法亦用筹所赖故各具一
筹比立匣中方根筹侧于小筹之旁下切匣口上切盖
顶正相容也若盖之外径等于匣之外径则匣口必出
笋以入盖夫方根筹之广与匣之深并尚不及小筹之
长以其不及为笋之高则匣与盖外切筹与盖匣内切
矣若匣之外径等于盖之内径则匣自为笋盖冒之可
无庸笋也
赖用算法(凡三条/)
算家加减二法并命分法亦用筹所赖故各具一
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则
一加法
加者多小几何并为一大几何也亦谓之计先以第一
小数从左向右横列于上次以第二小数如前横列于
下从视之则零对零十对十百对百也分钱两及寸尺
丈俱依此推次视零位若成十成十则进一位又视十
位若干百则进一位千万以上俱依此推
假如有银九万一千七百六十一两又八万二千○
七十八两又四千五百二十两又九万○六百五十
一加法
加者多小几何并为一大几何也亦谓之计先以第一
小数从左向右横列于上次以第二小数如前横列于
下从视之则零对零十对十百对百也分钱两及寸尺
丈俱依此推次视零位若成十成十则进一位又视十
位若干百则进一位千万以上俱依此推
假如有银九万一千七百六十一两又八万二千○
七十八两又四千五百二十两又九万○六百五十
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四两俱横列则视末位有一八○四
并得十三本位书三进位加一与六
七二五并得二十一本位书一进位
加二与七五六并得二十本位作○
进位加二与一二四并得九本位书九首位九八九
并得二十六本位书六进位书二得二十六万九千
○一十三两如物数是斤两则十六两成一斤进位
尺步亩之类俱依此推
二减法
并得十三本位书三进位加一与六
七二五并得二十一本位书一进位
加二与七五六并得二十本位作○
进位加二与一二四并得九本位书九首位九八九
并得二十六本位书六进位书二得二十六万九千
○一十三两如物数是斤两则十六两成一斤进位
尺步亩之类俱依此推
二减法
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减者一大几何减去一小几何馀几何也亦谓之除以
大数书于上应减数书于下亦零对零十对十百对百
也次于每位对除之若除数多于原数则借前位一以
除之盖前位之一即本位之十也除完则得馀数
假如有银三十○万○一百七十六
两三钱四分内除去二十九万八千
六百四十三两八钱五分从左首位
起上数三下数二三除二存一次位
上数○下数九借前一成一○除九
大数书于上应减数书于下亦零对零十对十百对百
也次于每位对除之若除数多于原数则借前位一以
除之盖前位之一即本位之十也除完则得馀数
假如有银三十○万○一百七十六
两三钱四分内除去二十九万八千
六百四十三两八钱五分从左首位
起上数三下数二三除二存一次位
上数○下数九借前一成一○除九
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存一三位上数○下数八借前一成一○除八存二
四位上数一下数六借前一成一一除六存五五位
上数七下数四七除四存三六位上数六下数三六
除三存三七位上数三下数八借前一成一三除八
存五八位上数四下数五借前一成一四除五存九
该存一千五百三十二两四钱九分
三命分二法
命分者一大几何已分几何尚馀几何今应命此馀者
为几何分之几何也又所馀之小几何再分得几何今
四位上数一下数六借前一成一一除六存五五位
上数七下数四七除四存三六位上数六下数三六
除三存三七位上数三下数八借前一成一三除八
存五八位上数四下数五借前一成一四除五存九
该存一千五百三十二两四钱九分
三命分二法
命分者一大几何已分几何尚馀几何今应命此馀者
为几何分之几何也又所馀之小几何再分得几何今
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应命此得者为几何分之几何也前解曰法数为母馀
数为子如法数一六八馀数四九即命为一百六十八
分之四十九后解曰得数为子得数前位为母如得数
一位则前位为十得数六即命为十分之六得数二位
则前位为百得数三四即命为百分之三十四得数三
位则前位为千得数二八三即命为千分之二百八十
三得数四五位以上推此第前位定于一数十则一十
百则一百千则一千万则一万(前一法即九章之命分/法亦即几何原本之命)
(比例法后一法即九章之小数如衡有钱/分釐毫量有尺寸分釐历有分秒微纤也)
数为子如法数一六八馀数四九即命为一百六十八
分之四十九后解曰得数为子得数前位为母如得数
一位则前位为十得数六即命为十分之六得数二位
则前位为百得数三四即命为百分之三十四得数三
位则前位为千得数二八三即命为千分之二百八十
三得数四五位以上推此第前位定于一数十则一十
百则一百千则一千万则一万(前一法即九章之命分/法亦即几何原本之命)
(比例法后一法即九章之小数如衡有钱/分釐毫量有尺寸分釐历有分秒微纤也)
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用法(凡四条/)
一乘法
乘数有实有法先将实数依号查筹从左向右齐列其
两筹相并所成平行线斜方形合成一位方形内之数
并为一数矣次以筹之方位为法数如法数是五则视
两筹第五方是九则视两筹第九方即得数矣若法有
二数则先查法尾所得数横列之次查法首所得数进
一位横列之末用加法并之得数法有三数以上依此
推显
一乘法
乘数有实有法先将实数依号查筹从左向右齐列其
两筹相并所成平行线斜方形合成一位方形内之数
并为一数矣次以筹之方位为法数如法数是五则视
两筹第五方是九则视两筹第九方即得数矣若法有
二数则先查法尾所得数横列之次查法首所得数进
一位横列之末用加法并之得数法有三数以上依此
推显
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解曰乘者升也九九升积之义也数有二一为实一
为法可互用大略以位数多者为实可也用筹则如
实数列筹自左而右次视法数依筹之同数格上横
取之并得啇数列书之更视次法如前得次啇数进
一位书初啇之下三以上仿此啇毕并诸啇数即乘
得之数
假如八十三为实以四乘之先列八三两筹视其第
四格八号筹下左半斜方有三两筹合一斜方有二
一并作三三号筹下右半斜方有二并为三百三十
为法可互用大略以位数多者为实可也用筹则如
实数列筹自左而右次视法数依筹之同数格上横
取之并得啇数列书之更视次法如前得次啇数进
一位书初啇之下三以上仿此啇毕并诸啇数即乘
得之数
假如八十三为实以四乘之先列八三两筹视其第
四格八号筹下左半斜方有三两筹合一斜方有二
一并作三三号筹下右半斜方有二并为三百三十
卷二十二 第 12a 页 WYG0788-0343a.png
二也
又如每银一钱籴米九升五合今有银三两五钱问
该米若干则以三五为实九
五为法先查实数二筹齐列
次视法尾五查二筹第五横
行内数是一七五另列再视
法首九查二筹第九横行内
数有三一五进一位列于前
得数之下并之得三三二五该米三石三斗二升五
又如每银一钱籴米九升五合今有银三两五钱问
该米若干则以三五为实九
五为法先查实数二筹齐列
次视法尾五查二筹第五横
行内数是一七五另列再视
法首九查二筹第九横行内
数有三一五进一位列于前
得数之下并之得三三二五该米三石三斗二升五
卷二十二 第 12b 页 WYG0788-0343b.png
合
又如有米一斗卖钱一百二十五文今有米一十八
石三斗问该钱若干则以一
八三为实一二五为法先查
实数三筹齐列次视法尾五
查三筹第五横行内数是九
一五另列次视法次二查三
筹第二横行内数是三六六
进一位列于前得数之下次视法首一查三筹第一
又如有米一斗卖钱一百二十五文今有米一十八
石三斗问该钱若干则以一
八三为实一二五为法先查
实数三筹齐列次视法尾五
查三筹第五横行内数是九
一五另列次视法次二查三
筹第二横行内数是三六六
进一位列于前得数之下次视法首一查三筹第一
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横行内数是一八三又进一位列于前得二数之下
并之得二二八七五该钱二万二千八百七十五文
如法数有○则径作一○以当其位再查法数如前
如六八三为实三○○为法则作二○乃查三筹之
第三横行内数从二○左进书之馀放此
二除法
除法有实有法有啇先将法数依号查筹从左向右齐
列次于诸筹从上至下查横行内连数之等于实数或
略少于实数者在第几行即是初啇数如在第一行即
并之得二二八七五该钱二万二千八百七十五文
如法数有○则径作一○以当其位再查法数如前
如六八三为实三○○为法则作二○乃查三筹之
第三横行内数从二○左进书之馀放此
二除法
除法有实有法有啇先将法数依号查筹从左向右齐
列次于诸筹从上至下查横行内连数之等于实数或
略少于实数者在第几行即是初啇数如在第一行即
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得数是一在第九行即得数是九也次以查得之数减
其实数如已尽则止知有初啇未尽则知宜有再啇也
有再啇者即再查横行内数之等于存实或略少于存
实者在第几行即是再啇数又以查得之数减其存数
如前又未尽则更有三啇亦如上法三以上仿此若初
得已除实数未尽乃实数次位无实则知当有○位即
作一○以当次啇或三位俱无则知得有二○即又作
一○以当三啇乃从后数查之若虽有馀数而其数小
于法数是为不尽法法之数用命分法
其实数如已尽则止知有初啇未尽则知宜有再啇也
有再啇者即再查横行内数之等于存实或略少于存
实者在第几行即是再啇数又以查得之数减其存数
如前又未尽则更有三啇亦如上法三以上仿此若初
得已除实数未尽乃实数次位无实则知当有○位即
作一○以当次啇或三位俱无则知得有二○即又作
一○以当三啇乃从后数查之若虽有馀数而其数小
于法数是为不尽法法之数用命分法
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解曰除法者分率之法也有实有法先列实次以法
数平分之故古九章法名为实如法而一或省曰而
一也除法有二一归除一啇除啇除者古法归除则
后来捷法珠算可任用之若书算筹算必独用啇除
也用筹则先如法数列筹自左而右别列实数简筹
之某格与实数相合者或略少于实数者以减实即
初啇数也若未尽即如前再啇三啇以上皆如之又
未尽则以法命之
假如列实一百○八以三十六为法除之简三六两
数平分之故古九章法名为实如法而一或省曰而
一也除法有二一归除一啇除啇除者古法归除则
后来捷法珠算可任用之若书算筹算必独用啇除
也用筹则先如法数列筹自左而右别列实数简筹
之某格与实数相合者或略少于实数者以减实即
初啇数也若未尽即如前再啇三啇以上皆如之又
未尽则以法命之
假如列实一百○八以三十六为法除之简三六两
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筹列之视其第三格六号筹下右半斜方有八中各
斜方有一九共十进一位成百即一百○八除实尽
也
又如有米九升五合价银一钱今有米三石三斗二
升五合问该银若干以三三
二五为实九五为法先以法
数二筹齐列次于各行横数
内求三三二有则径减实数
无则取其田 者二八五以
斜方有一九共十进一位成百即一百○八除实尽
也
又如有米九升五合价银一钱今有米三石三斗二
升五合问该银若干以三三
二五为实九五为法先以法
数二筹齐列次于各行横数
内求三三二有则径减实数
无则取其田 者二八五以
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二八五减三三二馀四七五为实而此二八五数乃
在第三行即三为初啇数次视第五行有四七五正
与馀实相等减尽即五为次啇数是三五为得数也
该银三两五钱
又如每钱三百七十四文买米一斗今有钱八万七
千一百四十二文问该米若干以八七一四二为实
三七四为法先以法数三筹齐列次视各行横数内
求八七一无则取其略少者七四八以七四八减八
七一馀一二三四二为实而此七四八乃在第二行
在第三行即三为初啇数次视第五行有四七五正
与馀实相等减尽即五为次啇数是三五为得数也
该银三两五钱
又如每钱三百七十四文买米一斗今有钱八万七
千一百四十二文问该米若干以八七一四二为实
三七四为法先以法数三筹齐列次视各行横数内
求八七一无则取其略少者七四八以七四八减八
七一馀一二三四二为实而此七四八乃在第二行
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即二为初啇数次视各行中
无一二三四及略少者惟第
三行有一一二二以一一二
二减一二三四馀一一二二
为实即三为次啇数次视第
三行有一一二二正与馀实
相等除尽即三为三啇数该
米二十三石三斗
若积数为八七二四八尚有一○六为馀实再欲细
无一二三四及略少者惟第
三行有一一二二以一一二
二减一二三四馀一一二二
为实即三为次啇数次视第
三行有一一二二正与馀实
相等除尽即三为三啇数该
米二十三石三斗
若积数为八七二四八尚有一○六为馀实再欲细
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分即用命分第一法以馀数一○六为子法数三七
四为母即命为三百七十四分之一百○六
或用命分第二法于馀实一○六后加一○依上法
再分之得二又加一○再分之得八又加一○再分
之得三得数为二八三凡三位即命为一千之二百
八十三
三开平方法
开平方有积数有啇数啇有方法有廉法隅法置积为
实从末位下作一点向前隔一位作一点每一点当作
四为母即命为三百七十四分之一百○六
或用命分第二法于馀实一○六后加一○依上法
再分之得二又加一○再分之得八又加一○再分
之得三得数为二八三凡三位即命为一千之二百
八十三
三开平方法
开平方有积数有啇数啇有方法有廉法隅法置积为
实从末位下作一点向前隔一位作一点每一点当作
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一啇次视平方筹内自乘之数有与实首相等者即除
之若无相等则取其相近之略少者除之但实首以左
第一点为主若点前无位则自乘止于零数如一四九
是也若点前有一位则自乘应有十数如十六至八十
一是也而此乘数在第几格则第几数即初啇数如所
用数是九九为三之自乘在第三格即三为啇数也若
有二点者即以初啇数倍之如一倍为二三倍为六也
即查所倍之筹列于方筹之左如四倍为八即取第八
筹九倍为十八即取第一第八两筹也次视诸筹横行
之若无相等则取其相近之略少者除之但实首以左
第一点为主若点前无位则自乘止于零数如一四九
是也若点前有一位则自乘应有十数如十六至八十
一是也而此乘数在第几格则第几数即初啇数如所
用数是九九为三之自乘在第三格即三为啇数也若
有二点者即以初啇数倍之如一倍为二三倍为六也
即查所倍之筹列于方筹之左如四倍为八即取第八
筹九倍为十八即取第一第八两筹也次视诸筹横行
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内数之与存实相等者除之而此数在第几格则第几
数即次啇数如在第五格即五为次啇数也不尽以法
命之三点以上仿此
解曰开平方者即自乘还原也而法实相同无从置
算故以积求形必用方廉隅三法啇除之如有积一
百啇其根(根者一边之/数四边皆同)十即尽实此独用方法无用
廉隅矣若一百二十一初啇十除实百馀二十一则
倍初啇方根为廉法(任加于初啇实一角之旁两/边故曰廉两廉故倍初啇根)次
啇一以乘廉得二十以一为隅法实尽则百二十一
数即次啇数如在第五格即五为次啇数也不尽以法
命之三点以上仿此
解曰开平方者即自乘还原也而法实相同无从置
算故以积求形必用方廉隅三法啇除之如有积一
百啇其根(根者一边之/数四边皆同)十即尽实此独用方法无用
廉隅矣若一百二十一初啇十除实百馀二十一则
倍初啇方根为廉法(任加于初啇实一角之旁两/边故曰廉两廉故倍初啇根)次
啇一以乘廉得二十以一为隅法实尽则百二十一
卷二十二 第 17b 页 WYG0788-0345d.png
之积开其根得十一也在筹则右行自一至九者即
方根数也左二行即方根自乘之数自乘之数止于
二位故隔一位作点查实下作几点知方根当几位
也法先于左第一点上一位或二位为乘数平行求
得其根适足则已不合则用其少者馀实以待次啇
也左点或一位或二位者点在实首则乘数为单数
点在实首之次位则乘数为十数也
如上图先以第一点求初啇根为方法
乙为方积也不尽为二点之实以初啇
方根数也左二行即方根自乘之数自乘之数止于
二位故隔一位作点查实下作几点知方根当几位
也法先于左第一点上一位或二位为乘数平行求
得其根适足则已不合则用其少者馀实以待次啇
也左点或一位或二位者点在实首则乘数为单数
点在实首之次位则乘数为十数也
如上图先以第一点求初啇根为方法
乙为方积也不尽为二点之实以初啇
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根倍之为廉法甲丙之长边也次啇若干即以为隅
法丁方之一边也并二廉一隅法以除实甲乙丙丁
平方也不尽三啇之啇而不尽者以法命之其筹法
先列本筹得初啇次啇则列廉法筹于本筹之左本
筹之自乘数即隅积也其根隅法也次查所列筹何
格中平行并数可当廉法之几倍及隅方积得其根
以除实即得设实下有二点则左一点之根为十数
右一点之根为单数故廉法筹为十数本筹数为单
数也三点以上仿此
法丁方之一边也并二廉一隅法以除实甲乙丙丁
平方也不尽三啇之啇而不尽者以法命之其筹法
先列本筹得初啇次啇则列廉法筹于本筹之左本
筹之自乘数即隅积也其根隅法也次查所列筹何
格中平行并数可当廉法之几倍及隅方积得其根
以除实即得设实下有二点则左一点之根为十数
右一点之根为单数故廉法筹为十数本筹数为单
数也三点以上仿此
卷二十二 第 18b 页 WYG0788-0346b.png
假如有积六百二十五别列为实从末位五向前隔
一位各作一点即知啇二位
也点在实首六为单数视方
筹内自乘之数无六其下九
过实用其上四实之近少数
也平行向右取二为方法(即/方)
(根/)另列之为初啇即以四百
减六(百/)存二(百/)以并次点之
实得二二五为馀实次倍初啇根得四为廉法(廉有/二故)
一位各作一点即知啇二位
也点在实首六为单数视方
筹内自乘之数无六其下九
过实用其上四实之近少数
也平行向右取二为方法(即/方)
(根/)另列之为初啇即以四百
减六(百/)存二(百/)以并次点之
实得二二五为馀实次倍初啇根得四为廉法(廉有/二故)
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(倍方/根)取四号筹列方筹左于列筹内并数取其合馀
实或近少于馀实者至五格
适合即五为廉次率为隅法
为次啇而本方之根得二十
五
又如积四千四百八十九别
列为实从末位九向前作二
点知啇二位点在次位则实
首四为十数也视筹内自乘
实或近少于馀实者至五格
适合即五为廉次率为隅法
为次啇而本方之根得二十
五
又如积四千四百八十九别
列为实从末位九向前作二
点知啇二位点在次位则实
首四为十数也视筹内自乘
卷二十二 第 19b 页 WYG0788-0346d.png
无四四近少为三六平方取六为方法为初啇即以
三六减四四存八以并次点之实得八八九为馀实
次倍初根得十二为廉法取一二号两筹列方筹左
于列筹并数得八八九在第七格除实尽即七为廉
次率为隅法为次啇而本方之根得六十七
又如有积三万二千○四十一列为实从末向前隔
一位作一点得三点知啇三
位点在实首三为单数视筹
自乘无三近少为一平行取
三六减四四存八以并次点之实得八八九为馀实
次倍初根得十二为廉法取一二号两筹列方筹左
于列筹并数得八八九在第七格除实尽即七为廉
次率为隅法为次啇而本方之根得六十七
又如有积三万二千○四十一列为实从末向前隔
一位作一点得三点知啇三
位点在实首三为单数视筹
自乘无三近少为一平行取
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一为方法为初啇即以一减
三存二以并次点实得二二
○为馀实次倍初根得廉法
二取二号筹列左筹方于列
筹并数得近少者一八九在
第七格即七为隅法为次啇
列初啇之右以一八九减馀
实得三一以并三点之实得
三一四一为次馀实次倍前
三存二以并次点实得二二
○为馀实次倍初根得廉法
二取二号筹列左筹方于列
筹并数得近少者一八九在
第七格即七为隅法为次啇
列初啇之右以一八九减馀
实得三一以并三点之实得
三一四一为次馀实次倍前
卷二十二 第 20b 页 WYG0788-0347b.png
根十七得三四为次廉法取三四两筹列方筹左于
列筹并数得三一四一在第九格适尽即九为三啇
为隅法列次啇之右而本方之根得一百七十九
又如有积六十五万一千二百四十九列为实从末
位九向前隔一位作一点得三
点知啇三位点在次位则实
首六为实数也视筹自乘无
六五近少为六四平行取八
为方法为初啇以六四减六
列筹并数得三一四一在第九格适尽即九为三啇
为隅法列次啇之右而本方之根得一百七十九
又如有积六十五万一千二百四十九列为实从末
位九向前隔一位作一点得三
点知啇三位点在次位则实
首六为实数也视筹自乘无
六五近少为六四平行取八
为方法为初啇以六四减六
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五存一以并次点实得一一
二为馀实次倍初根得廉法
一六取一六两筹列方筹左
于列筹并数查无一一二亦
无近小数即知次啇为○也
则于八下加○以当次啇而
以一一二并三点之实得一
一二四九为次馀实次倍前
根八得一六进一位得一六
二为馀实次倍初根得廉法
一六取一六两筹列方筹左
于列筹并数查无一一二亦
无近小数即知次啇为○也
则于八下加○以当次啇而
以一一二并三点之实得一
一二四九为次馀实次倍前
根八得一六进一位得一六
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○为次廉法取○筹列一六两筹之右于列筹并数
得一一二四九在第七格适尽即七为三啇为隅法
列前二啇之下而本方之根得八○七
其啇而不尽者以法命之则有二术其一如前第一
六十六万二千七百四十九
如前三啇得根八百一十四
馀积一百五十三更啇一当
倍廉加隅得一千六百二十
八今不足则命为未尽者一
得一一二四九在第七格适尽即七为三啇为隅法
列前二啇之下而本方之根得八○七
其啇而不尽者以法命之则有二术其一如前第一
六十六万二千七百四十九
如前三啇得根八百一十四
馀积一百五十三更啇一当
倍廉加隅得一千六百二十
八今不足则命为未尽者一
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千六百二十八之一百五十三也
法曰凡开方不尽实其命分法倍前啇数(二廉/也)加一
(立/隅)为母(续啇/之)馀实为子依法命之然终不能尽如设
积六十求开方初啇七馀十一倍七加一得十五为
母十一为子可命六十之根为七又一十五之一十
一而缩试并初啇及分数自之得四十九又二二五
之二四三一约之为一十一是二二五之一八一以
并四十九得五十九又二二五之一八一不及元积
若倍初啇不加一为母命为十四之十一试自之得
法曰凡开方不尽实其命分法倍前啇数(二廉/也)加一
(立/隅)为母(续啇/之)馀实为子依法命之然终不能尽如设
积六十求开方初啇七馀十一倍七加一得十五为
母十一为子可命六十之根为七又一十五之一十
一而缩试并初啇及分数自之得四十九又二二五
之二四三一约之为一十一是二二五之一八一以
并四十九得五十九又二二五之一八一不及元积
若倍初啇不加一为母命为十四之十一试自之得
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六十○又一九六之一四一过元积而盈
其一欲得其小分则通为小数如前第二法更开之
当于馀积之右加两圈(是原积之一/化为百也)如法开之得根
数当命为一十分之几分也或加四圈(是原积之/化为万也)
得根数命为一百分之几分
也或加六圈(一化为/百万)得根命
数为一千分之几分或加十
圈(一化为/百万万) 得根命为十万
分之几分也
其一欲得其小分则通为小数如前第二法更开之
当于馀积之右加两圈(是原积之一/化为百也)如法开之得根
数当命为一十分之几分也或加四圈(是原积之/化为万也)
得根数命为一百分之几分
也或加六圈(一化为/百万)得根命
数为一千分之几分或加十
圈(一化为/百万万) 得根命为十万
分之几分也
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如图原积六六二七四九已啇得八一四不尽者一
五三欲得其细分加六圈(是一百五十三化为一万/五千三百○十○万○千)
(○百○/十○也)更开得数为○九三因空位六则命为一千
分之○百九十三也欲更细更加空位终不能尽何
故六十者本无根之方也
四开立方法
开立方亦有积数有啇数啇有方法有平廉法长廉法
隅法置积为实从末位向前隔二位作点每一点有一
啇次视立方筹内再乘之数有与实首相等者即除之
五三欲得其细分加六圈(是一百五十三化为一万/五千三百○十○万○千)
(○百○/十○也)更开得数为○九三因空位六则命为一千
分之○百九十三也欲更细更加空位终不能尽何
故六十者本无根之方也
四开立方法
开立方亦有积数有啇数啇有方法有平廉法长廉法
隅法置积为实从末位向前隔二位作点每一点有一
啇次视立方筹内再乘之数有与实首相等者即除之
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若无相等则取其近少者除之但实首以左第一点为
主若点前无位则再乘止于零数如一如八是也若点
前有一位则再乘应有十数如二七如六四是也若点
前有二位则再乘应有百数如一二五至七二九是也
而此乘数在第几格则第几数即初啇数如所用数是
八八为二之再乘在第二格即二为初啇也若有二点
者以初啇数自乘而三倍之如二之自乘得四四之三
倍为一十二为平廉法以初啇数三倍之如二之三倍
得六为长廉法次以平廉法数查筹列立方筹左又以
主若点前无位则再乘止于零数如一如八是也若点
前有一位则再乘应有十数如二七如六四是也若点
前有二位则再乘应有百数如一二五至七二九是也
而此乘数在第几格则第几数即初啇数如所用数是
八八为二之再乘在第二格即二为初啇也若有二点
者以初啇数自乘而三倍之如二之自乘得四四之三
倍为一十二为平廉法以初啇数三倍之如二之三倍
得六为长廉法次以平廉法数查筹列立方筹左又以
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长廉法数查筹列立方筹右次视左筹与方筹并之横
行内数啇其少于馀实者平行取数为约数即以此数
为次啇如在五格即次啇五也次以次啇自乘之数与
长廉法数相乘进一位书于约数之下以此二数并之
除其馀实即得立方根不尽者以法命之三点以上仿
此
解曰立方形者六方面积为一实体也每面等每边
每角各等立方积者一数自乘再乘之所积也线有
长面有长有广体有长有广有高所谓一乘作面再
行内数啇其少于馀实者平行取数为约数即以此数
为次啇如在五格即次啇五也次以次啇自乘之数与
长廉法数相乘进一位书于约数之下以此二数并之
除其馀实即得立方根不尽者以法命之三点以上仿
此
解曰立方形者六方面积为一实体也每面等每边
每角各等立方积者一数自乘再乘之所积也线有
长面有长有广体有长有广有高所谓一乘作面再
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乘作体是也开立方者亦以积求形之术其异于平
方者平方为面面有四等线开之求得四线之一为
方根也立方为体体有十二等线开之求得十二线
之一为方根也三乘方以上亦
皆十二线有等有不等而皆求
其最初第一面之一界线为方
根也今解立方廉隅法姑作分
合图论之若截木或镕蜡作八
体分合解之尤易晓矣 其一
方者平方为面面有四等线开之求得四线之一为
方根也立方为体体有十二等线开之求得十二线
之一为方根也三乘方以上亦
皆十二线有等有不等而皆求
其最初第一面之一界线为方
根也今解立方廉隅法姑作分
合图论之若截木或镕蜡作八
体分合解之尤易晓矣 其一
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作六方面形一事诸面线角皆
相等此名方法体即上图甲乙
丙丁立方体是也 其二作六
面扁方体三事其上下面各与
方法等旁四面之高少于方法之高(任意多寡/开讫乃得)而四
棱线皆等此名平廉法体即上图戊己庚辛是也
其三作六面长方体三事其上下左右四面与平廉
之旁面等两端之四界线皆与平廉之高等此名长
廉法体即上图壬癸是也 其四作六面小立方体
相等此名方法体即上图甲乙
丙丁立方体是也 其二作六
面扁方体三事其上下面各与
方法等旁四面之高少于方法之高(任意多寡/开讫乃得)而四
棱线皆等此名平廉法体即上图戊己庚辛是也
其三作六面长方体三事其上下左右四面与平廉
之旁面等两端之四界线皆与平廉之高等此名长
廉法体即上图壬癸是也 其四作六面小立方体
卷二十二 第 25b 页 WYG0788-0349d.png
一事六面之广袤皆与长廉之两端等此名隅法体
即上图子丑是也
右度数家以度理解数学(度者点线面体量法也数/者一十百千等算法也)
亦以数理解度学如鸟两翼交相待而为用也今依
此借数以明立方之体如初方
体之边各四则一面之积为一
六其容积六四平廉之两大面
亦一六其高设五相乘得容积
八○长廉之长亦四其两端之
即上图子丑是也
右度数家以度理解数学(度者点线面体量法也数/者一十百千等算法也)
亦以数理解度学如鸟两翼交相待而为用也今依
此借数以明立方之体如初方
体之边各四则一面之积为一
六其容积六四平廉之两大面
亦一六其高设五相乘得容积
八○长廉之长亦四其两端之
卷二十二 第 26a 页 WYG0788-0350a.png
高广各五则其容积一○○立隅之边各五则其容
一二五此八体并之以三平廉合于初方之甲丙乙
丙丙丁三面以三长廉补三平廉三阙以立隅补三
长廉之阙即成一总立方也 又算法单数乘单数
生单数(如四乘六为二四是为六者四积/为二十四而其根四乃单数也)单数乘十
数生十数(如四乘三十为一二是为三十者四/积为一百二十而其根二乃十数也)十数
乘十数生百数(如三十乘八十为二四是为八十者/三十积为二千四百而其根四乃四)
(百/也)推之则十乘百生千百乘百生万也 今依此推
前总立方以四十五为全根其初方之一边为四十
一二五此八体并之以三平廉合于初方之甲丙乙
丙丙丁三面以三长廉补三平廉三阙以立隅补三
长廉之阙即成一总立方也 又算法单数乘单数
生单数(如四乘六为二四是为六者四积/为二十四而其根四乃单数也)单数乘十
数生十数(如四乘三十为一二是为三十者四/积为一百二十而其根二乃十数也)十数
乘十数生百数(如三十乘八十为二四是为八十者/三十积为二千四百而其根四乃四)
(百/也)推之则十乘百生千百乘百生万也 今依此推
前总立方以四十五为全根其初方之一边为四十
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其面则为四十者四十是一千六百也是十乘十生
百也其容积为一千六百者四十是六万四千也是
十乘百生千也 其平廉之两大面与初方之面等
亦一千六百其高五是单数以乘百得八十者百是
八千也是单乘百生百也立廉三三倍之得二万四
千也 长廉之高广皆与平廉之高等为五是单数
其面为二五单根也其长与初方等为四十相乘得
四十者二十五是为一百者十则一千也是单乘十
生十也长廉三三倍之得三千也 立隅体与平廉
百也其容积为一千六百者四十是六万四千也是
十乘百生千也 其平廉之两大面与初方之面等
亦一千六百其高五是单数以乘百得八十者百是
八千也是单乘百生百也立廉三三倍之得二万四
千也 长廉之高广皆与平廉之高等为五是单数
其面为二五单根也其长与初方等为四十相乘得
四十者二十五是为一百者十则一千也是单乘十
生十也长廉三三倍之得三千也 立隅体与平廉
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之高等为五是单数自乘得二五亦单数也再乘得
一二五亦单数也是单乘单生单数也 已上共得
九万一千一百二十五为两啇之总立方积其根四
十五右以数明立体之理其在筹则右行自一至九
者立方根数也左三行自一至七二九者即方根自
乘再乘之数也自乘再乘止于三位如三自乘再乘
为二十七九自乘再乘为七百二十九故列实下隔
二位作点查实下几点知立方根当几位也法先于
第一点以上查实简筹或适足或略少者即初啇之
一二五亦单数也是单乘单生单数也 已上共得
九万一千一百二十五为两啇之总立方积其根四
十五右以数明立体之理其在筹则右行自一至九
者立方根数也左三行自一至七二九者即方根自
乘再乘之数也自乘再乘止于三位如三自乘再乘
为二十七九自乘再乘为七百二十九故列实下隔
二位作点查实下几点知立方根当几位也法先于
第一点以上查实简筹或适足或略少者即初啇之
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立方体平行求得其根也 次初啇根自乘得平廉
面与初啇之体等三倍者三平廉也平廉之筹列立
方筹之左者立方筹之右行为单数中行为十左行
为百平廉筹右行之号亦百数也以合于立筹之左
行共为几百也 次平廉之面积三偕初啇之根三
并为分率数以求六廉一隅之高于立筹平筹上求
馀实之近少数(不欲太少为尚有/长廉之容故也)约可用者平行取
根即次啇也不言隅法者次啇之再乘即是立隅筹
上所自有也又平行取次啇之平方积乘长廉筹之
面与初啇之体等三倍者三平廉也平廉之筹列立
方筹之左者立方筹之右行为单数中行为十左行
为百平廉筹右行之号亦百数也以合于立筹之左
行共为几百也 次平廉之面积三偕初啇之根三
并为分率数以求六廉一隅之高于立筹平筹上求
馀实之近少数(不欲太少为尚有/长廉之容故也)约可用者平行取
根即次啇也不言隅法者次啇之再乘即是立隅筹
上所自有也又平行取次啇之平方积乘长廉筹之
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数得长廉之容长廉之号为十数以列于约数之下
进一位作十数 次求七体之总积初体之外有平
廉三长廉三立隅一其定位立隅在本筹之上为单
数次啇与三长廉法相乘得数为三长廉之实此数
之号为十数三平廉之筹加于立筹之外其号为百
数通并之以除馀实未尽而原实有三点者以先两
啇之总方为初体复如前法三啇之亦并八体为一
总体不及啇为一者依法命之
同文算指曰先得之根(初啇/也)乘于三十今曰三之(长/廉)
进一位作十数 次求七体之总积初体之外有平
廉三长廉三立隅一其定位立隅在本筹之上为单
数次啇与三长廉法相乘得数为三长廉之实此数
之号为十数三平廉之筹加于立筹之外其号为百
数通并之以除馀实未尽而原实有三点者以先两
啇之总方为初体复如前法三啇之亦并八体为一
总体不及啇为一者依法命之
同文算指曰先得之根(初啇/也)乘于三十今曰三之(长/廉)
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(法/也)所得之号为十数也又曰先根之方(初体/之面)乘于三
百今曰三之(平廉/法也)所得之号为百数也一也
假如有积四千九百一十三别列为实从末位三向
前隔二位各作一点即知啇二位也点在实首四为
单数视立方筹内再乘之数无四下八过实用其上
一实之近少数也平行向右取一为方法(即方/根)另列
之为初啇即以一(千/)减四(千/)存三(千/)以并次点之实
得三九一三为馀实次用初啇一自乘(为平/廉面)而三倍
之(三平/廉故)得三百为平廉法(亦名倍/方数)取三号筹列立方
百今曰三之(平廉/法也)所得之号为百数也一也
假如有积四千九百一十三别列为实从末位三向
前隔二位各作一点即知啇二位也点在实首四为
单数视立方筹内再乘之数无四下八过实用其上
一实之近少数也平行向右取一为方法(即方/根)另列
之为初啇即以一(千/)减四(千/)存三(千/)以并次点之实
得三九一三为馀实次用初啇一自乘(为平/廉面)而三倍
之(三平/廉故)得三百为平廉法(亦名倍/方数)取三号筹列立方
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筹左又以初啇一十三倍之
(一者长廉边三/长廉故三倍)得三为长廉
法(亦名倍/根数)取三号筹列立方
筹右于列筹(立方筹与/平廉筹也)内并
数取其少于馀实者为约数
第其中有长廉之实不得过
少又不得多多者如第九格
遇三四二九以为约数近少
矣另列之向右平筹自乘数
(一者长廉边三/长廉故三倍)得三为长廉
法(亦名倍/根数)取三号筹列立方
筹右于列筹(立方筹与/平廉筹也)内并
数取其少于馀实者为约数
第其中有长廉之实不得过
少又不得多多者如第九格
遇三四二九以为约数近少
矣另列之向右平筹自乘数
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内平行取八十一乘于长廉法三得二百四十三列
近少数(三四/二九)下进一位并得五八五九则多于馀实
也至第七格遇二四四三以为约数另列之向右平
筹自乘数平行取四十九以乘长廉法三得一百四
十九列近少数(二四/四三)下进一位并得三九一三除实
尽(平廉筹之二千一百平廉实也立方筹之三百四/十三立隅积也平方筹之四十九长廉两端之面)
(也以乘长廉法三十得一四七/长廉积也诸筹之上一一分明)平行求其根得七即
七为次啇也得总立方之根一十七
又如积九百一十五万九千八百九十九别列为实
近少数(三四/二九)下进一位并得五八五九则多于馀实
也至第七格遇二四四三以为约数另列之向右平
筹自乘数平行取四十九以乘长廉法三得一百四
十九列近少数(二四/四三)下进一位并得三九一三除实
尽(平廉筹之二千一百平廉实也立方筹之三百四/十三立隅积也平方筹之四十九长廉两端之面)
(也以乘长廉法三十得一四七/长廉积也诸筹之上一一分明)平行求其根得七即
七为次啇也得总立方之根一十七
又如积九百一十五万九千八百九十九别列为实
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从末位九向前隔二位作一点凡三点当啇三位也
点在实首九为单数视立方筹内再乘之数无九下
二七过实用其上八实之近少数也平行向右取二
为方法另列为初啇即以八
减九存一以并下位得一一
五九为馀实次用初啇二自
乘而三倍之得一十二为平
廉法取一号二号两筹列立
方筹左又以初啇二三倍之
点在实首九为单数视立方筹内再乘之数无九下
二七过实用其上八实之近少数也平行向右取二
为方法另列为初啇即以八
减九存一以并下位得一一
五九为馀实次用初啇二自
乘而三倍之得一十二为平
廉法取一号二号两筹列立
方筹左又以初啇二三倍之
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得六为长廉法取六号筹列
立方筹右于列筹(立方与平/廉共三筹)
内并数取其少于馀实者为
约数试之而无有(最少者为/第一格之)
(一二/○一)则知啇有空位于初啇
下作圈以当次啇复开第三
点之馀实为一一五九八九
九前二啇二○(百十/也)自乘之
得四○○(四万/也)三倍之为一
立方筹右于列筹(立方与平/廉共三筹)
内并数取其少于馀实者为
约数试之而无有(最少者为/第一格之)
(一二/○一)则知啇有空位于初啇
下作圈以当次啇复开第三
点之馀实为一一五九八九
九前二啇二○(百十/也)自乘之
得四○○(四万/也)三倍之为一
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二○○(一千/二百)依数取四筹为
平廉法列立方筹左前啇二
○三倍之得六○取二筹为
长廉法列立方筹右于列筹
(立方与平/廉共五筹)内并数取其少于
馀实者为约数至第九格方
得一○八○七二九另列之
向右平筹自乘数平行取八
十一以乘长廉法六○得四
平廉法列立方筹左前啇二
○三倍之得六○取二筹为
长廉法列立方筹右于列筹
(立方与平/廉共五筹)内并数取其少于
馀实者为约数至第九格方
得一○八○七二九另列之
向右平筹自乘数平行取八
十一以乘长廉法六○得四
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八六○列近少数(一○八○/七二九)
下进一位并得一一二九三
二九除实不尽三○五七○
其三啇平行取根得九并初
二啇得立方根二○九不尽
者更欲细分之则用命分第
二法于馀实后加三圈得三
○五七○○○○为馀实依
上法再开之以前啇二○九
下进一位并得一一二九三
二九除实不尽三○五七○
其三啇平行取根得九并初
二啇得立方根二○九不尽
者更欲细分之则用命分第
二法于馀实后加三圈得三
○五七○○○○为馀实依
上法再开之以前啇二○九
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自乘为四三六八一又三倍
之为一三一○四三取此六
筹列方筹左为平廉法又以
前啇二○九三倍之为六二
七取此三筹列方筹右为长
廉法于列筹(左筹/七)内并数取
其近少为约数试之至第二
格遇二六二○八六○八为
近少于馀实(三○五七/○○○○)另列
之为一三一○四三取此六
筹列方筹左为平廉法又以
前啇二○九三倍之为六二
七取此三筹列方筹右为长
廉法于列筹(左筹/七)内并数取
其近少为约数试之至第二
格遇二六二○八六○八为
近少于馀实(三○五七/○○○○)另列
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之向右平筹自乘数内平行
取四乘于长廉法六二七得
二五○八列近少数(二六二/○八六)
(○/八)下进一位并得二六二三
三六八八以除实不尽四三
三六三一二即取右根二为
啇数依法命为一十分之二
分也若欲再开则馀实后又
加三圈得四三三六三一二
取四乘于长廉法六二七得
二五○八列近少数(二六二/○八六)
(○/八)下进一位并得二六二三
三六八八以除实不尽四三
三六三一二即取右根二为
啇数依法命为一十分之二
分也若欲再开则馀实后又
加三圈得四三三六三一二
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○○○为馀实依上法以前
啇二○九二自乘为四三七
六四六四又三倍之得一三
一二九三九二取此八筹列
方筹左为平廉法又以前啇
二○九二三倍之为六二七
六取此四筹列方筹右为长
廉法于列筹(左九/筹)内并数取
其近少至第三格遇三九三
啇二○九二自乘为四三七
六四六四又三倍之得一三
一二九三九二取此八筹列
方筹左为平廉法又以前啇
二○九二三倍之为六二七
六取此四筹列方筹右为长
廉法于列筹(左九/筹)内并数取
其近少至第三格遇三九三
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八八一七六二七为近少于
馀实(四三三六三/一二○○○)另列之向
右平筹自乘数平行取九乘
于长廉法六二七六得五六
四八四列近少数(三九三八/八一七六)
(二/七)下进一位并得三九三九
三八二四六七以除实不尽
三九六九二九五三三即取
右根三为啇数依法命为二
馀实(四三三六三/一二○○○)另列之向
右平筹自乘数平行取九乘
于长廉法六二七六得五六
四八四列近少数(三九三八/八一七六)
(二/七)下进一位并得三九三九
三八二四六七以除实不尽
三九六九二九五三三即取
右根三为啇数依法命为二
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百○九又一百分之二十三
分也若再开则馀实后又加
三圈得三九六九二九五三
三○○○为馀实依上法以
前啇二○九二三自乘为四
三七七七一九二九又三倍
之得一三一三三一五七八
七取此十筹列方筹左为平
廉法又以前啇二○九二三
分也若再开则馀实后又加
三圈得三九六九二九五三
三○○○为馀实依上法以
前啇二○九二三自乘为四
三七七七一九二九又三倍
之得一三一三三一五七八
七取此十筹列方筹左为平
廉法又以前啇二○九二三
卷二十二 第 34b 页 WYG0788-0354b.png
三倍之得六二七六九取此
五筹列方筹右为长廉法于
列筹(左十/一筹)并数取约至第三
格遇三九三九九四七三六
一二七为近少于馀实(三九/六九)
(二九五三/三○○○)另列之向右平筹
自乘数平行取九乘于长廉
法六二七六九得五六四九二一列近少数(三九三/九九四)
(七三六/一二七)下进一位并得三九四○○○三八五三三
五筹列方筹右为长廉法于
列筹(左十/一筹)并数取约至第三
格遇三九三九九四七三六
一二七为近少于馀实(三九/六九)
(二九五三/三○○○)另列之向右平筹
自乘数平行取九乘于长廉
法六二七六九得五六四九二一列近少数(三九三/九九四)
(七三六/一二七)下进一位并得三九四○○○三八五三三
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七以除实不尽为二九二九一四七六六三即取右
根三为啇数依法命为二百○九又一千分之二百
三十三也馀实任开之终不尽何者无立方数不得
有立方根也
算子钱法(增/)
以筹布算其乘除诸法皆能去繁就简不待论矣若算
章中有用开平立方者有用开无名方者至难至赜也
用筹则比他算特为简易故附载此法 按九章算衰
分篇中有借本还利皆用乘法即此法之还原也今法
根三为啇数依法命为二百○九又一千分之二百
三十三也馀实任开之终不尽何者无立方数不得
有立方根也
算子钱法(增/)
以筹布算其乘除诸法皆能去繁就简不待论矣若算
章中有用开平立方者有用开无名方者至难至赜也
用筹则比他算特为简易故附载此法 按九章算衰
分篇中有借本还利皆用乘法即此法之还原也今法
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必用开方故为难耳
假如借银若干满若干年还本息总银若干问每年息
银若干
如本银一百两满一年总还一百二十两问息若干
法两数(本银一/总银一)相减馀二十是百两一年之息也又
满二年总还一百四十四两问每年息例若干法以
母银数(一/百)乘总还数(一百四/十四)得数为积开方得根数
为实以母银为法减之所馀者为原银一年之息也
若满三年总还一百七十二两八钱问息例若干又
假如借银若干满若干年还本息总银若干问每年息
银若干
如本银一百两满一年总还一百二十两问息若干
法两数(本银一/总银一)相减馀二十是百两一年之息也又
满二年总还一百四十四两问每年息例若干法以
母银数(一/百)乘总还数(一百四/十四)得数为积开方得根数
为实以母银为法减之所馀者为原银一年之息也
若满三年总还一百七十二两八钱问息例若干又
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满四年以上皆息转为本纷莫可寻则依图法求之
图说
图有直行有横行直行者每年所用之法与数横行
者诸同类之法同类之数也其直行之首无年数无
总银数者则上年之次法或又次法任用之(白字为/法墨字)
(为/数)
第一横行为满年数(借日至还日/积年之数)
第二横行为所还之总银(母银并息/银之总数)
第三横行为母银所用之法(或母银自乘或再乘三/乘等以求积而开方)
图说
图有直行有横行直行者每年所用之法与数横行
者诸同类之法同类之数也其直行之首无年数无
总银数者则上年之次法或又次法任用之(白字为/法墨字)
(为/数)
第一横行为满年数(借日至还日/积年之数)
第二横行为所还之总银(母银并息/银之总数)
第三横行为母银所用之法(或母银自乘或再乘三/乘等以求积而开方)
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第四横行为母银用法所乘出数与总银相乘得数
第五横行为各年所用开积之本法(如开方或/开立方等)
第六横行为所求之数(即满一年之总数/本息俱见者也)减原银得息
例
用法
假如初借母银三两满四年总还银四十八两问每
年若干起息(母银三两满一年总还若干即转为次/年之母依前例起息总应若干又转为)
(母如是岁岁递加母/数渐增息例如旧)
法依图试查满四年直行其第一格为年数(即/四)第二
第五横行为各年所用开积之本法(如开方或/开立方等)
第六横行为所求之数(即满一年之总数/本息俱见者也)减原银得息
例
用法
假如初借母银三两满四年总还银四十八两问每
年若干起息(母银三两满一年总还若干即转为次/年之母依前例起息总应若干又转为)
(母如是岁岁递加母/数渐增息例如旧)
法依图试查满四年直行其第一格为年数(即/四)第二
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格为总还(四十/八两)之银(原银若干息例若干/各依本例积成总数)第三格母
银所用之法为再乘即以原银三再自之得二十七
第四格以二十七(母所乘/出之数)乘四十八(总/银)得一二九六
为实积第五格本年所用开积之法为开平方二次
(积为一/二九六)初开得三十六再开得六六者满一年之总
银减原银三馀三为满一年之息
又如母银五十八两四钱满三年总还银一百二十
五两三钱问一年息若干
法用本行第三格曰自乘即原数自之得三四一○
银所用之法为再乘即以原银三再自之得二十七
第四格以二十七(母所乘/出之数)乘四十八(总/银)得一二九六
为实积第五格本年所用开积之法为开平方二次
(积为一/二九六)初开得三十六再开得六六者满一年之总
银减原银三馀三为满一年之息
又如母银五十八两四钱满三年总还银一百二十
五两三钱问一年息若干
法用本行第三格曰自乘即原数自之得三四一○
卷二十二 第 37b 页 WYG0788-0355d.png
五六以总银乘之得四四九二七六一六八第五格
法曰开立方用法开得七十六两五钱(不尽实加三/位开零根得)
八分九釐八毫不尽减原银馀十八两一钱八分九
釐八毫为满一年之息依此例求母银百两息几何
用三率法原银为一率息例为二率今银(一/百)为三率
依法得四率三十一两一钱四分六釐九毫不尽为
百两一年之息
此用递加倍数之法详见算学全义义见几何第十
卷
法曰开立方用法开得七十六两五钱(不尽实加三/位开零根得)
八分九釐八毫不尽减原银馀十八两一钱八分九
釐八毫为满一年之息依此例求母银百两息几何
用三率法原银为一率息例为二率今银(一/百)为三率
依法得四率三十一两一钱四分六釐九毫不尽为
百两一年之息
此用递加倍数之法详见算学全义义见几何第十
卷
卷二十二 第 38a 页 WYG0788-0356a.png
卷二十二 第 38b 页 WYG0788-0356b.png WYG0788-0356c.png WYG0788-0356d.png WYG0788-0357a.png
卷二十二 第 39a 页 WYG0788-0357b.png
新法算书卷二十二