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卷八十六 第 1a 页 WYG0789-0292b.png
钦定四库全书
新法算书卷八十六 明 徐光启等 撰
几何要法
界说章第一(凡八则/)
第一界
方形者四直线两纵两横相遇所成亦
谓之四边形如上甲图
第二界
新法算书卷八十六 明 徐光启等 撰
几何要法
界说章第一(凡八则/)
第一界
方形者四直线两纵两横相遇所成亦
谓之四边形如上甲图
第二界
卷八十六 第 1b 页 WYG0789-0292c.png
四边形之四线等而四直角者为直角
方形如上甲图
第三界
四边两两相等而俱直角者为长直方
形如上乙图
第四界
四边等但非直角者为斜方形如上丙图
第五界
四边两两相等但非直角者为长斜方形
方形如上甲图
第三界
四边两两相等而俱直角者为长直方
形如上乙图
第四界
四边等但非直角者为斜方形如上丙图
第五界
四边两两相等但非直角者为长斜方形
卷八十六 第 2a 页 WYG0789-0292d.png
如上丁图
第六界
已上方形四种谓之有法四边形四种
之外他方形皆谓之无法四边形如上
戊图等本卷多以直方形为论为其多有用也
第七界
凡形每两边有平行线为平行线方形
如上已图
第八界
第六界
已上方形四种谓之有法四边形四种
之外他方形皆谓之无法四边形如上
戊图等本卷多以直方形为论为其多有用也
第七界
凡形每两边有平行线为平行线方形
如上已图
第八界
卷八十六 第 2b 页 WYG0789-0293a.png
凡平行线方形若于两对角作一直线其直线为对角
线又于两边纵横各作一平行线其两平行线与对角
线交罗相遇即此形分为四平行线方形其两形有
对角线者为角线方形其两形无对角线者为馀方形
如甲乙丙丁方形于丙乙两角作一线
为对角线又依乙丁平行作戊巳线依
甲乙平行作庚辛线其对角线与戊巳
庚辛两线交罗相遇于壬即作大小四
平行线方形矣则庚壬巳丙及戊壬辛
线又于两边纵横各作一平行线其两平行线与对角
线交罗相遇即此形分为四平行线方形其两形有
对角线者为角线方形其两形无对角线者为馀方形
如甲乙丙丁方形于丙乙两角作一线
为对角线又依乙丁平行作戊巳线依
甲乙平行作庚辛线其对角线与戊巳
庚辛两线交罗相遇于壬即作大小四
平行线方形矣则庚壬巳丙及戊壬辛
卷八十六 第 3a 页 WYG0789-0293b.png
乙谓之角线方形而甲庚壬戊及壬己丁辛谓之馀
方形
审矩章第二
凡作方形必欲用矩故先论审矩法后论弃矩求方之
法矩以两尺纵横而成然必成直角方
准若稍出入必为锐钝两角而不成矩
今欲审直角先审两尺之棱如首卷第
一法后于他坚体上作半圜中画径线次以矩角倚
半圜之界视二尺棱正切径线与圜相交处则矩准
方形
审矩章第二
凡作方形必欲用矩故先论审矩法后论弃矩求方之
法矩以两尺纵横而成然必成直角方
准若稍出入必为锐钝两角而不成矩
今欲审直角先审两尺之棱如首卷第
一法后于他坚体上作半圜中画径线次以矩角倚
半圜之界视二尺棱正切径线与圜相交处则矩准
卷八十六 第 3b 页 WYG0789-0293c.png
而可用矣若有出入则当更改或于坚体上作一直
线更作一垂线四边作直角以一矩准四直角不爽
则至准矣
一直线上求立直角方形章第三
如甲乙线上求立直角方形先于甲乙
两界各立垂线为丁甲为丙乙皆与甲
乙线等次作丁丙线相联即得所求
有直线形求作直角方形与之等章第四
甲直线无法四边形求作直角方形与之等先作乙
线更作一垂线四边作直角以一矩准四直角不爽
则至准矣
一直线上求立直角方形章第三
如甲乙线上求立直角方形先于甲乙
两界各立垂线为丁甲为丙乙皆与甲
乙线等次作丁丙线相联即得所求
有直线形求作直角方形与之等章第四
甲直线无法四边形求作直角方形与之等先作乙
卷八十六 第 4a 页 WYG0789-0293d.png
丁形与甲等(本卷第五/第六章)而直角次任用一边引长之
如丁丙引之至己而丙己与乙丙等次
以丁己两平分于庚其庚点或在丙点
或在丙点之外若在丙即乙丁是直角
方形与甲等矣若庚在丙外即以庚为
心丁己为界作丁辛己半圜末从乙丙线引长之遇
圜界于辛即丙辛上直角方形与甲等如上图丙辛
壬癸
有三角形求作平行方形与之等而方形角又与所设
如丁丙引之至己而丙己与乙丙等次
以丁己两平分于庚其庚点或在丙点
或在丙点之外若在丙即乙丁是直角
方形与甲等矣若庚在丙外即以庚为
心丁己为界作丁辛己半圜末从乙丙线引长之遇
圜界于辛即丙辛上直角方形与甲等如上图丙辛
壬癸
有三角形求作平行方形与之等而方形角又与所设
卷八十六 第 4b 页 WYG0789-0294a.png
角等章第五
设甲乙丙角形丁角求作平行方形与甲乙丙角形等而
有丁角先分一边为两平分如乙丙边
平分于戊次作丙戊己角与丁角等次
自甲作直线与乙丙平行而与戊己线
遇于己末自丙作直线与戊己平行为
丙庚而与甲己线遇于庚则得己戊丙庚平行方形与甲
乙丙角形等而有丁角
有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角又
设甲乙丙角形丁角求作平行方形与甲乙丙角形等而
有丁角先分一边为两平分如乙丙边
平分于戊次作丙戊己角与丁角等次
自甲作直线与乙丙平行而与戊己线
遇于己末自丙作直线与戊己平行为
丙庚而与甲己线遇于庚则得己戊丙庚平行方形与甲
乙丙角形等而有丁角
有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角又
卷八十六 第 5a 页 WYG0789-0294b.png
与所设角等章第六
设甲乙丙五边形丁角求作平行方形与五边形等
而有丁角先分五边形为甲乙丙三(三/角)
形次依前章法作戊己庚辛平行方形
与甲等而有丁角次于戊辛己庚两平
行线引长之作庚辛壬癸平行方形与
乙等而有丁角末复引前线作壬癸子丑平行方形
与丙等而有丁角即此三形并为一平行方形与甲
乙丙并形等而有丁角自五边以上可至无穷俱仿
设甲乙丙五边形丁角求作平行方形与五边形等
而有丁角先分五边形为甲乙丙三(三/角)
形次依前章法作戊己庚辛平行方形
与甲等而有丁角次于戊辛己庚两平
行线引长之作庚辛壬癸平行方形与
乙等而有丁角末复引前线作壬癸子丑平行方形
与丙等而有丁角即此三形并为一平行方形与甲
乙丙并形等而有丁角自五边以上可至无穷俱仿
卷八十六 第 5b 页 WYG0789-0295a.png
此法
有多直角方形求并作一直角方形与之等章第
七
如五直角方形以甲乙丙丁戊为边任
等不等求作一直角方形与五形等先
作己庚辛直角而己庚线与甲等庚辛
线与乙等次作己辛线旋作己辛壬直
角而辛壬与丙等次作己壬线旋作己
壬癸直角而壬癸与丁等次作己癸线
有多直角方形求并作一直角方形与之等章第
七
如五直角方形以甲乙丙丁戊为边任
等不等求作一直角方形与五形等先
作己庚辛直角而己庚线与甲等庚辛
线与乙等次作己辛线旋作己辛壬直
角而辛壬与丙等次作己壬线旋作己
壬癸直角而壬癸与丁等次作己癸线
卷八十六 第 6a 页 WYG0789-0295b.png
旋作己癸子直角而癸子与戊等末作己子线而己子线
上所作直角方形即所求
有平行方形求作三角形与之等而三角形角如所设
角等章第八
如有甲乙丙丁平行方形戊角先作丁
乙己角与戊等遇甲丙线于己次以乙
丁线引长之为庚取丁庚度与乙丁等
末作己庚直线乙丙庚三角形与甲乙丙丁平行方形等
而有戊角即所求
上所作直角方形即所求
有平行方形求作三角形与之等而三角形角如所设
角等章第八
如有甲乙丙丁平行方形戊角先作丁
乙己角与戊等遇甲丙线于己次以乙
丁线引长之为庚取丁庚度与乙丁等
末作己庚直线乙丙庚三角形与甲乙丙丁平行方形等
而有戊角即所求
卷八十六 第 6b 页 WYG0789-0296a.png
一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角
又与所设角等章第九
设甲线乙角形丙角求于甲线上作平行方形与乙
角形等而有丙角先依本卷第五章法作丁戊己庚
平行方形与乙角形等而戊己庚角与
丙角等次于庚己线引长之作己辛线
次作辛壬线与戊己平行次于丁戊引
长之与辛壬线遇于壬次自壬至己作
对角线引出之又自丁庚引长之与对
又与所设角等章第九
设甲线乙角形丙角求于甲线上作平行方形与乙
角形等而有丙角先依本卷第五章法作丁戊己庚
平行方形与乙角形等而戊己庚角与
丙角等次于庚己线引长之作己辛线
次作辛壬线与戊己平行次于丁戊引
长之与辛壬线遇于壬次自壬至己作
对角线引出之又自丁庚引长之与对
卷八十六 第 7a 页 WYG0789-0296b.png
角线遇于癸次自癸作直线与庚辛平行又于壬辛引
长之与癸线遇于子末于戊己引长之至癸子线得丑
即己丑子辛平行方形如所求如欲即于甲线立形则
先依本章法作己辛子丑方形次于甲线一界作寅角
如辛己丑角等次取寅卯如己丑等末成平行方形即
得所求
设不等两直角方形如一以甲为边一以乙为边求别
作两直角方形自相等而并之又与元设两形并等
章第十
长之与癸线遇于子末于戊己引长之至癸子线得丑
即己丑子辛平行方形如所求如欲即于甲线立形则
先依本章法作己辛子丑方形次于甲线一界作寅角
如辛己丑角等次取寅卯如己丑等末成平行方形即
得所求
设不等两直角方形如一以甲为边一以乙为边求别
作两直角方形自相等而并之又与元设两形并等
章第十
卷八十六 第 7b 页 WYG0789-0296c.png
先作丙戊线与甲等次作戊丙丁直角
而丙丁线与乙等次作戊丁线相联末
于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半
于直角己戊己丁两腰相遇于己而等
即己戊己丁两线上所作两直角方形自相等而并之又
与丙戊丙丁上所作两直角方形等
两直线形不等求相等之较几何章第十一
甲与乙两直线形甲大于乙以乙减甲求较几何先任作
丁丙己戊平行方形与甲等次于丙丁线上依丁角作丁
而丙丁线与乙等次作戊丁线相联末
于丙丁戊角丙戊丁角各作一角皆半
于直角己戊己丁两腰相遇于己而等
即己戊己丁两线上所作两直角方形自相等而并之又
与丙戊丙丁上所作两直角方形等
两直线形不等求相等之较几何章第十一
甲与乙两直线形甲大于乙以乙减甲求较几何先任作
丁丙己戊平行方形与甲等次于丙丁线上依丁角作丁
卷八十六 第 8a 页 WYG0789-0296d.png
丙辛庚平行方形与乙等即得辛庚戊
己为相减之较矣
有圜求作一直角方形与之等章第十二
方圆圆方之法自古名贤究折而未准
吾师丁先生几何六卷之末设此神法
其法之用甚广今撮其要以推作方圆
圆方之法先设甲乙丙丁直角方形次
以乙为心以甲为界作甲丁限象任分
己为相减之较矣
有圜求作一直角方形与之等章第十二
方圆圆方之法自古名贤究折而未准
吾师丁先生几何六卷之末设此神法
其法之用甚广今撮其要以推作方圆
圆方之法先设甲乙丙丁直角方形次
以乙为心以甲为界作甲丁限象任分
卷八十六 第 8b 页 WYG0789-0297a.png
为若干度今姑分为九十度又分甲乙丙丁两线如前数
为九十次自乙心至象限逐度皆作虚线次从甲乙丙丁
两线对望作平行线其与限象线交处俱作点次从甲作
曲线贯诸点贯诸点之线则甲戊线为方圆圆方之根线
而乙甲为边乙丁为底次自甲至戊作一直线若乙戊直
线与所设欲方之圜半径等则甲乙线为所设圜限象之
界线若圜半径长则于乙丁线上截乙己与半径等引长
甲乙线作己庚与戊甲线平行庚至乙即长径圜限象之
界线若圜半径短则于乙丁线上截乙辛与半径等作辛
为九十次自乙心至象限逐度皆作虚线次从甲乙丙丁
两线对望作平行线其与限象线交处俱作点次从甲作
曲线贯诸点贯诸点之线则甲戊线为方圆圆方之根线
而乙甲为边乙丁为底次自甲至戊作一直线若乙戊直
线与所设欲方之圜半径等则甲乙线为所设圜限象之
界线若圜半径长则于乙丁线上截乙己与半径等引长
甲乙线作己庚与戊甲线平行庚至乙即长径圜限象之
界线若圜半径短则于乙丁线上截乙辛与半径等作辛
卷八十六 第 9a 页 WYG0789-0297b.png
壬线与戊甲平行则壬至乙即短径圜限象之界线今有
子丑圜或大或小其半径与乙辛等先
作一寅卯直线立一辰己垂线次从己
起取己午午未各与乙壬等次取己申
与乙辛等次两平分申未于酉以酉为
心以申或未为界作半圜切垂线于辰
末取己辰作直角方形之一边则此方
形与所设圜等以此可推不特一方与一圜即方之一边
线与圜一限象等方之半边线与圜半限象等
子丑圜或大或小其半径与乙辛等先
作一寅卯直线立一辰己垂线次从己
起取己午午未各与乙壬等次取己申
与乙辛等次两平分申未于酉以酉为
心以申或未为界作半圜切垂线于辰
末取己辰作直角方形之一边则此方
形与所设圜等以此可推不特一方与一圜即方之一边
线与圜一限象等方之半边线与圜半限象等
卷八十六 第 9b 页 WYG0789-0297c.png
有直角方形求作一圜与之等章第十三
如有甲线为方之边先取一圜依前法
求其作方之线如前度得申己次作辰
申直线次截戊己如所设甲线等次自
戊作戊卯线与辰申平行末以己卯为
半径之度作一圜即得所求
推用一法
依两章方圆圆方之法可推任有直线形可作一圜与之
等又任设一圜可作直线形与之等须先依前章法求多
如有甲线为方之边先取一圜依前法
求其作方之线如前度得申己次作辰
申直线次截戊己如所设甲线等次自
戊作戊卯线与辰申平行末以己卯为
半径之度作一圜即得所求
推用一法
依两章方圆圆方之法可推任有直线形可作一圜与之
等又任设一圜可作直线形与之等须先依前章法求多
卷八十六 第 10a 页 WYG0789-0297d.png
边直线形作一方形与之等次依本章法作一圜形与直
角方形等则得一圜与所设直线形等若又有圜求作一
三角形先依本章法作一方与所设圜等次依前法作三
角形如所设方形等则所作三角形如原设圜等
角方形等则得一圜与所设直线形等若又有圜求作一
三角形先依本章法作一方与所设圜等次依前法作三
角形如所设方形等则所作三角形如原设圜等
卷八十六 第 10b 页 WYG0789-0298a.png
新法算书卷八十六