钦定古今图书集成历象汇编历法典

　第一百四卷目录

历法典第一百四卷

测量部汇考五

《新法历书二》大测下表法篇第四

既得前六宗率更用三要法作表
要法一

前后两弦其能等于半径〈图说系法俱见本篇总论第十二条〉
要法二
图

有各弧之前后两弦，求倍本弧之正弦。
如上甲戊弧三十五度，其正弦为戊己，得五七三五七六四。其馀弦即乙己，得八一九一五二○。今以此二弦求倍，甲戊而为甲丁弧之正弦。其法：以乙戊半径千万为第一率，以戊己

正弦为第二率，以乙壬馀弦为第三率，即得壬庚第四率与辛癸等，为四六九八四六。二倍之得丁癸为九三九六九二四，其弧甲丁七十度。
论曰：乙戊己与乙壬甲两三角形比例等，则乙己与乙壬等，而戊己与甲壬亦等。乙己与乙壬等，故乙壬为馀弦也。而乙壬庚、乙戊己两形之比例等，故第四率为壬庚。壬庚与辛癸同为直角形之边，故等。又丁壬戊、戊壬甲同为直角，则甲戊、戊丁两弧等。甲壬、壬丁两弦亦等，而丁辛与壬庚亦等，故倍辛癸得丁癸也。又丁辛壬、壬庚甲两形之三边俱等，依句股法得甲庚边，倍之为甲癸，以减半径得癸乙为馀弦。
要法三

各弧之全弦上方与其正半弦上，偕其矢上两方并等，句股术也。
如左，甲丁弧之正弦为丁辛，其矢为甲辛。此两线上方并与甲丁上方等。
系法：有一弧之正弦及其馀弦，而求其半弧之正弦。如左，甲丁弧其正弦为丁辛，馀弦为乙辛而求甲戊
图

弧之甲己半弦。其法：于甲乙半径减乙辛馀弦，得甲辛矢其上方，偕丁辛半弦上方并，与甲丁通弦上方等。开方得甲丁线，半之得甲己为甲戊弧之正弦，其数如上：甲丁弧三十度，其半弦丁辛为五○○○○○○乙辛馀弦为八六六

○二五四。以减全半径得甲辛矢一三三九七四六，丁辛上方为二五。○○○○○○○○○○○○甲辛上方为一七九四九一九三四四五一六。并之得二六七九四九一九三四四五一六，开方得甲丁线五一七六三八○，即甲丁弧三十度之弦也。半之为甲己，半弦得二五八八一九○，其弧十五度。
用前三要法，即大测表大略可作。又有简法二题，其用甚便，但非恒有。
简法一
图

两正弦之较与六十度左右距等，弧之正弦等。〈见本卷第二篇〉
解曰：甲乙丙象限内有丙己小弧，丙己戊丁大弧。丙戊弧为六十度，而戊己戊丁两弧等其前两正弦。一为己辛，一为丁庚，其较丁癸。题言：丁癸较与己壬、壬
图

丁两正弦各等。
论曰：试作一己子线，则丁己子成三边等角形。何也。此形中有子丁壬、壬己子两三角形。此两角形等，又何也。子壬同腰而丁壬、壬己两腰等，则丁壬、己壬两直角亦等。而丁子、子己两底亦等，子丁己、子己丁两
图

角亦等。又丙戊弧既六十度，其馀戊乙弧必三十度。而乙甲戊角为三十度角。甲乙、庚丁既平行甲戊线，截二线于子，即内外角等。而丁子戊角亦三十度，戊子己角亦三十度，是丁子己为六十度角也。丁与全己、全子三角既等，两直角
图

〈一之三十二〉则共为一百八十度。于中减全子角六十度，则丁己两全角百二十度。而此两角既等，即各得六十度，则此形之三角三边俱等。夫丁己、己子两线等，则己癸垂线所分之丁癸、子癸两直角亦等。而己癸同腰，则丁癸与癸子必等。

丁癸为丁子之半，丁壬为丁己之半。全线等则所分必等，是丁癸与丁壬等，与壬己亦等。
系题两弧各有其正半弦、两半弦，至弧之点在六十度之左右，而距度点等。则前两正半弦之较即后两半弦。
如图丙己戊弧六十度，丙己弧五十度，己戊弧十度。丙己之正半弦己辛，先得七千六百六十。丙丁弧七十度，丁戊弧亦十度，丙丁弧之正半弦为丁庚，先得九千三百九十六。今求丁戊弧之半弦，其法以己辛、丁庚两半弦相减，得丁癸较一千七百三十六，即丁戊弧十度之丁壬半弦。〈此数半径设一万〉
次系有六十度，左右相离弧之正弦一率，又有其原正弦一率，而求其相对之彼正弦。其法有二：一以大求小，一以小求大。以大求小者，用大弧之正弦与相离弧之正弦相减，其较为小弧之正弦。
馀则称馀，倒则称倒。

以小求大者，用相离弧之半弦加小弧之半弦，即大弧之半弦。
图

如上丁壬离弧之正弦，即九度与丁癸较等，为一千七百三十六。丁庚大弦为九千三百九十六，相减得癸庚七千六百六十，即己丙弧之己辛，小弦反之。丁癸较为一千七百三十六，〈即丁壬离弦〉以加于癸庚。〈即辛己小弦〉七千六百六十，得丁庚

大弦九千三百九十六。
用此法于象限内，先得半弦六十率，用加减法即得其馀三十率。
简法二

有两弧不等之各正弦，又有其各馀弦，而求两弦相加、相减弧之各正弦。其法有二：一相加，一相减。相加者，以前弧之正弦乘后弧之馀弦，以后弧之正弦乘前弧之馀弦，各得数并之为实，以半径为法，而一得两弧相加为总。弧之正弦相减者，亦如前法。互乘得
图

各数相减，馀为实，以半径为法。而一为两弧相减弧之正弦。
如上甲乙前弧二十度，乙丙后弧十五度，总三十五度，其差五度。甲乙弧之半弦为三四二○二○一，其馀弧甲丁之半弦为九三九六九二六，乙丙弧之半

弦为二五八八一九○，其馀弧乙丁之半弦为九六五九二五八。以甲乙半弦与丙丁馀弦之半乘得三三○三六六○三八七○八五八，以乙丙半弦与甲丁馀弦乘得二四三三二一○二九九○五七四○，以相加得五七三三七六三。
以下满半收为一，不满去之。

三七七六五九八，以半径为法，而一得五七三五七六三，即三十五度弧之半弦。若以相减则馀八七一五五七三九六五一一八。以半径为法而一得八七一五五七，即○五度弧之半弦。此题多罗某所用全弦。故说中云半弦而图与数皆全弦，然全与全半与半比例等，则亦未有异也。
有前六宗率为资，有后三要法为具。
资为材料具如器械

即可作大测全表
如用前法，求得十二度弧之正半弦率，而求其相通之他率。
弧　　　　　　　　　度分　　　　　用法得半弦数正弧　　　　　　　　一二　　　　　　　　　　　　　　　　二○七九一一七〈半之〉　　　　　　○六　　　　　　　　　　　　　　　　一○四五二八五〈又半之〉　　　　　○三　　　　　　　　　　　　　　　　五二三三六○〈又半之〉　　　　　○一三○　　　　　　　　　　　　　　二六一七六九〈又半之〉　　　　　○○四五　　　　　　　　　　　　　　一三○八九六其馀弧　　　　　　　八四　　　〈六度之馀第一〉　　　　　九九四五二一九
八七　　　〈一度之馀〉　　　　　　　九九八六二九五八、八三○〈一度半之馀〉　　　　　　九九九六五七三八、九一五〈○度四十五分之馀〉　　　九九九九一四三

弧　　　　　　　　　度分　　　　　　　　　　　　　　　　用法得正弦数〈半其馀八十四度〉　四二　　　　　　　　　　　　　　　　六六九一三○六〈半之〉　　　　　　二一　　　　　　　　　　　　　　　　三五八三六七九〈又半之〉　　　　　十○三○　　　　　　　　　　　　　　一八二二三五五〈又半之〉　　　　　○五一五　　　　　　　　　　　　　　九一五○一六〈半其馀八十七度〉　四三三○　　　　　　　　　　　　　　六八八三五四六〈又半之〉　　　　　二一四五　　　　　　　　　　　　　　三七○五五七四〈半其馀八八○三○〉四十四　　十五　　　　　　　　　　　六九七七九○五又用前七率之馀弧而求其正弦
四八　　　〈四十二之第馀　　　一〉　七四三一四四八六九　　　〈二十一之馀〉　　　　　　九三三五八○四七九三○　〈十度半之馀〉　　　　　　九八三二五四九八四四五　〈八度十五分之馀〉　　　　九九五八○四九四六三○　〈四十三度半之馀〉　　　　七二五三七四四六八一五　〈二十一四十五分馀〉　　　九二八八○九六四五四五　〈四十四十五分之馀〉　　　七一六三○一九

又半前七率而求其正弦
二四　　　〈四十八之半〉　　　　　　四○六七三六六

弧　　　　　　　　　度分　　　　　　　　　　　　　　　　用法得正弦数
三四三○　〈六十九之半〉　　　　　　五六六四○六二一七一五　〈三十四三十分之半〉　　　二九六五四一六三九四五　〈七十九三十分之半〉　　　六三九四三九○二三一五　〈四十六三十分之半〉　　　三九四七四三九

又用前五率之馀弧而求其半弦
六六　　　〈二十四之第馀一〉　　　　九一三五四五五五五三○　〈三十四三十分之馀〉　　　八二四一二六二七二四五　〈十七度十五分之馀〉　　　九五五○一九九五○一五　〈三十九四十五分馀〉　　　七六八八四一八六六四五　〈二十三度十五分馀〉　　　九一八七九一二

又半前五率而求其正弦
三三　　　〈六十六之半〉　　　　　　五四四六三九○一六三○　〈三十三之半〉　　　　　　二八四○一五三○八一五　〈一十六三十分之半〉　　　一四三四九二六二七四五　〈五十五三十分之半〉　　　四六五六一四五

又用前四率之馀弧而求其正弦
五七　　　〈三十三之第馀一〉　　　　八三八六七○六

弧　　　　　　　　　度分　　　　　　　　　　　　　　　　用法得正弦数
七三三○　〈十六度三第十分之馀一〉　九五八八一九七八一四五　〈八度十五分之馀〉　　　　九八九六五一四六二一五　〈二十七四十五分馀〉　　　八八四九八七六

又半前四率而求其正弦
二八三○　　〈五十七度之半〉　　　　　四七七一五八八一四一五　〈二十八三十分之半〉　　　二四六一五三三三六四五　〈七十三三十分之半〉　　　五九八三二四六

又用前三率之馀而求其正弦
六一三○　〈二十八度第三十分馀一〉　八七八八一一一七五四五　〈十四度十五分之馀〉　　　九六九二三○九五三一五　〈三十六四十五分馀〉　　　八○一二五三八

又半前六十一度三十分而求其正弦
三○四五　　　　　　　　　　　　　　五一一二九三一

又用前三十○度四十五分之馀而求其正弦
五九一五　　　　　　　　　　〈第一〉八五九四○六四

以上皆十二度所生之率，再用其馀弧七十八度推之，亦如前法。又十二度之弧为前六宗率之十五边形也。其馀五形，如三边、四边、五边、六边、十边形亦如前法。作此既毕，即大测表之大段全具矣。何者。首得者四十五分，其次为一度三十分。又次为二度一十五分，如此常越，四十五分而得一率，乃至九十度皆然。所少者，其中之各第一以至四十四分也。今欲求初度一分以至四十五分，如何。其法以四十五分弧之半弦一三○八九六，用第二、第三法半之得二十二分三十秒之弧。其半弦为六五四四九，又半前弧得一十一分一十五秒之弧，其半弦为三二七二四。半夫二十二分三十秒之前弧，倍于一十一分十五秒之后弧，而前半弦亦倍于后半弦。盖繇初度之弦与弧切近略似，相合为一线故也。则用同比例法，〈即三率法〉以二十二分三十秒之弧为第一率，以其半弦六五四四九为第二，率设十分之弧为第三率，而得第四率为二九○八八。再用此法得一分之弧为二九○九，弱既得一分，即用前法推之，可至一十五分。此外更用前三要法推之，以至九十度。
其求切线，皆用三率法。
图

以馀半弦为第一率，以半弦为第二率，以半径为第三率，而得第四率切线。如三十度之弧，其馀半弦八六六○二五四为第一率，其半弦五○○○○○○为第二率，半径一○○○○○○○为第三率，则得第四率，五七七三五○

二。
其求割线，亦用三率法。
以馀半弦为第一率，半径为第二率，又为第三率，而得割线第四率。
如前戊乙为三十度之弧，其馀半弦甲丙八六六○二五四为第一率，半径甲戊一○○○○○○○为第二率，又以半径甲乙为第三率，而得甲丁一一五四七○○五，为三十度弧之割线。
其求割线之约法，不用三率而用加减法。
图

如上乙己弧二十度，其切线为乙戊，馀弧为己丙七十度。半之得己丁三十五度，即截乙庚弧与己丁等。次作乙辛切线得数以加乙戊切线，即两切线并为戊乙。辛切线与甲戊割线等。
其求矢法：以馀半弦减半
图

径得小矢。
如丙丁弧五十度，馀弧甲丁四十度。其馀半弦丁戊，即己乙为六四二七八七六，以减乙丙千万得己丙矢。
已上所述皆远西法也。彼自度以下递析为六十。今中历递用百析，为便故。须

会通前表为百分之表，其会通法如西。六十分即中之百分，半之三十分即五十分，又半之十五分即二十五分。以五为法，西三分即中五分。次用倍法：六分即十分，九分即十五分，十二分即二十分，如是以至六十。
〈三　六　九　十二　十五　十八　二十一　二十四　二十七　三十　五　十　十五　二十　二十五　三十　三十五　四十　四十五　五十三三　三六　三九　四二　四五　四八　五一　五四　五七　六十　五五　六十　六五　七十　七五　八十　八五　九十　九五　百〉通表法书各度之四种割圆线中西法皆同。所不同者，分也。其分数书五分，用其三分之率。书十分用其六分之率，如是递至于百。所阙者，每二率相距少其间四率耳。则用加减法求之。
如二十四度○三分，即中五分也。其小弦数〈小弦者十万为半径也〉四○七五三，又二十四度○六分，即中十分也。其小半弦四○八三三，其差八十五分之得十六为一差。以加于前小半弦，即得四○七六九，得中历二十四度六分之半弦，再加一差得四○七八五，为七分之半弦。三加得四○八○一，为八分之半弦。四加得四○八一七，为九分之半弦。五加得四○八三三，为十分之半弦。合前率矣。如是递加之得六十与百分相通之全表。
西法每二率各有差，其差大抵半度，而一更也。若差数有畸零不尽者，如西表二十四度二十七分之半弦为四一三九○，又二十四度三十分之半弦为四一四六九，其差得七十九。五分之得十五又五分之四，为一差通之，则从中表二十四度四十五分，首加一差。
二〈十四〉度四十五分　　　　　　　四一三九○
〈差法〉一五　　　　　五之四
四十六分　〈加一差〉　四一四○五　　　　　五之四四十七分　〈加二差〉　四一四二一　　　　　五之三四十八分　〈加三差〉　四一四三七　　　　　五之二四十九分　〈加四差〉　四一四五三　　　　　五之一五十○分　〈加五差〉　四一四六九

如上有畸零者，满半收为一，不满去之。
考表法　作表未必无误故立考之之法

如表书，七十七度一十八分，其切线为四四三七三四九九。此率如属可疑，则以前后各二率考之。
图缺表用篇第五
表用一　有弧数求其正弦

如三十七度五十四分之弧，求其正弦。查本度本分表得六一四二八五三。
又如三十七度五十四分四十六秒，求其半弦。查本度本分之半弦为六一四二八五三又取次率五十五分之半弦为六一四五一四八，相减得差二二九五。〈若表上有差率即取本差〉此差以当六十秒用三率法。以六十秒为第一率，以二二九五差为第二率，以四十六秒为第三率，而求第四率得一七五九。以加所取之前半弦六一四二八五三，共得六一四四六一二，即所求。
系凡求切线割线，同上法。
次系有正弧求馀弦，视本弧同位之馀度分，向正弧表上取其正弦。
如求三十度之馀弦。视正弧表上与同位者为馀弦六十度，即向正弧六十度取其弦八六六○二五四，即三十度之馀弦。
表上逆列同位者为五十九度六十分，而此言六十度，盖并其六十分为六十度。其逆列六十度者，则是六十一度何者。凡所书弧分，皆所书弧度之算外分故也。

又如求五十度○分之馀弦，本表逆列同位者为三十九度六十分，即于正弦表上简三十九度六十分之弦，得六四二七八七六，即所求。
三系测三角形欲得见弧
见弧者，有已得之弧而求其弦也。隐弧者，有已得之弦而求其弧也。凡已得者称见，未得者称隐。诸线、诸角之属皆仿此。

之各线查表之本度分，直取之则各线咸在也。如弧三十度求其割圆各线，即查表之三十度初分，又查其同位之六十度，所得如左：
三十度初分正弦　　　　　五○○○○○
切线　五七七三五○三割线　一一五四七○○五

馀〈五十九度六十分〉弦　八六六○三五四
切线　一七三二○五○八割线　二○○○○○○○

四系有钝角求其各线。如钝角一百四十二度六分，
图

其正弦则以一百四十二度六分减半周，馀三十七度五十四分，查表求其正弦得六一四三八五三。如上丙丁正弦，当丙乙小弧亦当丙戊大弧。故当丙甲丁锐角，亦当丙甲戊钝角，何者。甲上锐钝二角，原当两直角。而表上无钝角

之弧与其正弦，故减钝角于百八十度，得锐角三十七度五十四分。其半弦丙丁以当丙戊大弧，即以当大弧之钝角也。
表用二　有正弦求其弧

与前题相反，如有正弦八八八八八三九，欲求其弧。查表上正弦格得此数，即得本度为六十二本分，为四十四也。
又如正弦五七六五八三四，求弧。查表无此数，即取其近而略小者，得三十五度十二分之弦为五七六四三二三，与见弦相减馀一五一一。又取其近而略大者，得五七六六七○○，与前小弦相减馀二三七七。以此大差当六十秒。用三率法，以二三七七大差为第一率，以六十秒为第二率，以一五一一小差为第三率，而得第四率为三十五度十二分三十秒，即所求。他各线求弦俱仿此。
表用三　有弧求其通弦

如七十五度四十八分之弧，求通弦。其法：半之得三十七度五十四分，求其正弦得六一四二八五二。倍
图

之得一二二八五七○四，即所求。
如甲乙弧七十五度四十八分，半之为乙戊弧，求得乙丁正弦。倍之即乙丁甲通弦也。因通弦无表，故用半弧正弦倍之即是。他准此。
表用四　有弧求其
图

大小矢
如乙丁弧三十七度五十四分，求两矢。查表截矢数得乙丙小矢为二一○九一五九，以减全径二○○○○○○○，得大矢一七八九○八四一。如表无小矢，即求见弧之馀弦得七八九○八四一，以减半径
得小矢。测平篇第六

测平者，测平面上三角形也。凡此形皆有六率，曰三边，曰三角。角无测法，必以割圆线测之，其比例甚多。今用四法以为根本，依此四根法可用大测表测。一切平面三角形亦执简御繁之术也。凡测三角形，皆用三率法。〈即同比例〉三率法又以相似两三角形〈几何六卷四〉为宗，下文详之。
根法一
图

各三角形之两边与其各对角两正弦比例等。一云右边与左边，若左角之弦与右角之弦。
如上甲乙丙平面三角形，其甲丙两为锐角，即以甲为心，甲乙为半径作乙戊弧。次作乙己垂线，即乙戊弧之正弦，亦即甲角之正

弦也。又以甲乙为度，从丙截取丙庚，从丙心庚界作庚辛弧，又作垂线庚丁，即庚辛弧与丙角之正弦也。题言：乙角之甲乙右边与乙丙左边若，左角丙之庚丁正弦与右角甲之乙己正弦。
论曰：乙丙己三角形，有乙己、庚丁两平行线，即乙丙与乙己若。庚丙与庚丁，而丙庚原与甲乙等，即乙丙与乙己若。甲乙与庚丁更之，即甲乙与乙丙若，庚丁与乙己。
如左：甲乙丙形乙与直角有丙乙、丁戊两平行线，即
图

甲丙与丙乙若，甲丁与丁戊而乙丙与甲丁等，即甲丙与丙乙若。丙乙与丁戊反之。则丙角之丙乙右边与丙甲左边若，左角甲之丁戊弦与右角乙之丙乙弦
如右甲乙丙形乙为钝角，其正弦丙壬。而甲戊线与
图

乙丙等，甲角之正弦为戊己。题言丙角之甲丙右边与丙乙左边若，左角乙之丙壬弦与右角甲之戊己弦，何也。试于形外，引甲乙至丁作丙丁线与丙乙等，即丁角与乙锐角等依首条甲丙与丙丁若，丙壬与戊己即甲丙与丙乙亦若，
图

丙壬与戊己
总论之，各三角形各两边之比例与两对角之两正弦比例等者，何也。试于形外作切圈，则三边为三弦。而本形之各边皆为各对角之通弦，即乙丙边与甲乙边若，甲角之弦与丙角之弦也当己即是岂止同

比例而已乎。夫全与全半与半比例等，则各半弦与各通弦之比例亦等。
此题为用对角根本。
根法二

各三角形以大角为心，小边为半径作圈。而截两边各为圈内外两线，即底线与两腰并，若腰之外分与底之外分。
如左甲乙丙形其小边甲丙，其底乙丙。以甲为心，甲丙为半径作圈，截底于戊，截大腰于庚。题言乙丙底
图

与乙甲、甲丙两腰并，若腰外分，乙庚与底外分乙戊。论曰：试作乙己引出线，即甲己与甲丙等，而乙己与两腰并等。乙己乙庚矩内形与乙丙乙戊矩内形两容等。〈几何三卷三五〉即两形边为互相视之边。而乙己与乙丙若，乙戊与乙庚即得乙

戊底外分以减全底得戊丙。半之得垂线，所至为丁丙。
此题为用垂线根本
根法三

有两角并之数，又有其各正弦之比例，求两分角之数。
如左乙甲丙角，有其弧乙辛丙之数，其两分之大角为乙甲壬，小角为壬甲丙。未得数，但知大角正弦，乙丁小角正弦，丙戊之比例亦未得数。而求两分角之
图

数。其法：以乙辛丙弧两平分于辛作甲辛线，乙甲辛、辛甲丙两角等，而辛甲壬角为半弧与小弧之差，又为大弧与小弧之半差。次截辛庚弧与辛戊等，作甲庚线，即庚甲壬角为大小两弧之差。夫乙丙者，总角之弦乙丑平分弧之正弦。

而己辛为乙辛半弧之切线，辛癸为辛丙半弧之切线，此二线等。而辛壬、辛庚各为半差弧之切线亦等。又乙丁子、子丙戊两形为两正弦上三角形。此两形之丁与戊皆直角，又同底，即两正弦之对角为子上两交角亦等。〈几何一卷十题〉而丁乙子、子丙戊两角亦等。〈几何一卷三二〉则两形为相似形。而乙丁正弦与丙戊正弦若，乙子与子丙〈几何六卷四〉先既有乙丁、丙戊两正弦之比例，即得乙子与子丙之比例，而又得乙子与子丙之较为子寅。夫乙丙、己癸两线同为甲辛半径上之垂
图

线，即平行。甲乙丙、甲己癸两形之各角等，即为相似之形。〈六卷四〉而两形内所分之各两三角形，如甲庚癸、甲寅丙之类，俱相似，即以两线之并数乙丙为第一率，以两线之差数子寅为第二率，以两半弧之两切线己癸为第三率，则得两

差弧之切线庚壬为第四率矣。而此比例稍繁，别有简者则半之曰：丙丑与子丑若癸辛与壬辛也。有更简者则曰：乙丙与子寅若辛癸与辛壬也。今用第三法云：乙丙为两边之并数，子寅其较数，辛癸为两角总数，内半弧之切线。而辛壬为大小两角较弧之切线。既得辛壬切线，即得辛甲壬角。以加乙甲辛半角即得乙甲壬大角。以减辛甲丙半角即得壬甲丙小角。
以数明之乙甲丙角为四十度，所包大小两隐角为
图

乙甲壬、壬甲丙。其两正弦乙丁丙戊之比例为七与四，即乙子子丙之比例亦七与四。而乙丙之总数如十一平分之于丑，即乙丑丑丙各得五有半，而乙辛辛丙两弧各二十度。又以大线七与半线相减馀一有半，以半线五有半与小

线四相减，亦馀一有半。又甲辛为半径，即辛丙二十度。弧之切线辛癸为三六三九七○二，即以丑丙五有半为第一率，以辛癸切线三六三九七○二为第二率，以子丑一有半为第三率，而得辛壬切线九九二六四六为第四率。既得第四率，即得辛壬所当。辛甲壬角为五度四十○分八秒，以减辛丙二十度，馀壬甲小角一十四度一十九分五十二秒。以加半弧乙辛，得乙甲壬大角二十五度四十○分八秒。
此题为用切线根本
图

根法四
凡直角三边形之各边皆能为半径。
其一以弦线为半径作弧，即馀两腰。包直角者，各为其对角之正弦。
如上甲乙丙形，其乙丙为对直角之弦线以为半径作丁丙弧，即甲丙小腰为
图

对角乙之正弦，甲乙大腰为对角丙之正弦。
其二以大腰为半径，即小腰为小角之切线，而弦线为小角之割线。
如上甲乙大腰为半径，即甲丙小腰为乙小角之切线，而乙丙为乙角之割线。其三以小腰为半径，即大
图

腰为大角之切线，而弦线为大角之割线。
如上甲丙小腰为半径，即甲乙大腰为丙大角之切线，而乙丙弦线为其割线。
此题为用割圆各线根本。〈以上原本卷二〉